LÝ THUYẾT BẬC TÔPÔ TRÊN ĐA TẠP
COMPACT ĐỊNH HƯỚNG ĐƯC
Nguyễn Quốc Hưng - Phan Hồ Anh Thư - Võ Nguyễn Thủy Tiên
June 26, 2009
2
Mục lục
1 Một số kiến thức cơ sở 5
1.1 Khái niệm và một số tính chất về đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Giá trò chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Đònh lý về phân loại đa tạp 1-chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Phép đồng luân và phép hợp luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Đa tạp đònh hướng được 11
2.1 Đònh hướng trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Đònh hướng trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Đònh hướng trên đa tạp tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Đònh hướng trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Xây dựng bậc tôpô trên đa tạp 21
3.1 Đònh nghóa bậc tôpô trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Bậc tôpô bất biến với phép đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Bậc tôpô bất biến với sự lựa chọn giá trò chính qui . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Ứng dụng của Bậc Topo trên đa tạp 29
3
4 MUÏC LUÏC
PHẦN 1
Một số kiến thức cơ sở
1.1 Khái niệm và một số tính chất về đa tạp
Mệnh đề 1. Tích của một đa tạp không có biên X và một đa tạp có biên Y là một
đa tạp có biên. Hơn nữa: ∂(X × Y ) = X × ∂Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y và
T (X × Y )
(x

0
) có một lân cận vi đồng phôi
với tập mở trong H
m+n
Vì x
0
∈ X nên x
0
có lân cận U
x
0
vi đồng phôi với tập mở U
1
ϕ(x
0
)
trong R
m
qua
ánh xạ ϕ.
ϕ : U
x
0
→ U
1
ϕ(x
0
)
Vì y
0

0
)
⊂ R
m
× H
n
= H
m+n
nên (x
0
, y
0
) có lân cận U
x
0
× V
y
0
vi đồng
phôi với tập mở U
1
ϕ(x
0
)
× V
1
ψ(y
0
)
của H

qua
phép tham số hoá nào đó. Như vậy:
5
6 PHẦN 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
∂(X × Y ) =

(x
0
,y
0
)∈X×Y

(x, y) ∈ U
x
0
× V
y
0
| (ϕ(x), ψ(y)) ∈

U
1
ϕ(x
0
)
× V
1
ψ(y
0
)

∈X,y
0
∈Y

(x, y)|x ∈ U
x
0
, y ∈ V
y
0
, ψ(y) ∈ V
1
ψ(y
0
)
∩ ∂H
n

(∗)
=
{(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } = X × ∂Y
Trong đó ta cần chứng tỏ đẳng thức (*). Ta đã biết:
∂Y =

y
0
∈Y

y ∈ V
y

n

B = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y }
Ta sẽ chứng minh A=B.
Lấy (x, y) ∈ A như vậy tồn tại (x
0
, y
0
) ∈ X × Y sao cho x ∈ U
x
0
, y ∈ V
y
0
, ψ(y) ∈
V
1
ψ(y
0
)
∩ ∂H
n
. Suy ra x ∈ X và y ∈ ∂Y .
Ngược lại, cho (x, y) ∈ B ta có
x ∈ U
x
và y ∈

y
0

,y
0
)
= T (X)
x
0
× T (Y )
y
0
, với mọi (x
0
, y
0
) ∈ X × Y
Theo trên ta có,
T (X × Y )
(x
0
,y
0
)
= dΦ
(ϕ(x
0
),ψ(y
0
))
(H
m+n
)

0
× T (Y )
y
0

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có kết quả sau
Mệnh đề 2. Tích của một đa tạp có biên X và một đa tạp không có biên Y là một
đa tạp có biên. Hơn nữa: ∂(X × Y ) = ∂X × Y , dim(X × Y ) = dim X + dim Y và
T (X × Y )
(x
0
,y
0
)
= T (X)
x
0
× T (Y )
y
0
, với mọi (x
0
, y
0
) ∈ X × Y .
1.2. GIÁ TRỊ CHÍNH QUI 7
1.2 Giá trò chính qui
Mệnh đề 3. Cho M, N là các đa tạp không có biên m chiều. Ánh xạ f : M → N là
hàm trơn và y là giá tròï chính quy của f. Khi ấy {x ∈ M : f(x) = y} = f
−1

(y) hữu hạn.

Cho Y, Z là đa tạp bất kỳ ( có biên hoặc không có biên ) và dim(Y ) ≥ dim(Z).
Cho f : Y → Z là hàm trơn. Ta đặt S(f) là tập hợp các giá trò chính qui của f.
Đònh lý 1 (Sard). S(f) trù mật trong Z
Chứng minh
Chi tiết xem trong [2], Corollary, page 11.

1.3 Đònh lý về phân loại đa tạp 1-chiều
Đònh lý 2 (Phân loại đa tạp 1-chiều). Cho M là đa tạp 1-chiều liên thông, chỉ có 4 khả
năng xảy ra:
(i) nếu M là đa tạp 1-chiều compact, không có biên thì vi đồng phôi với S
1
(ii) nếu M là đa tạp 1-chiều compact, có biên thì vi đồng phôi với [0,1]
(iii) nếu M là đa tạp 1-chiều không compact, không có biên thì vi đồng phôi với (0,1)
(iv) còn không thì M là đa tạp 1-chiều không compact, có biên lúc này M vi đồng
phôi với (0,1]
Chứng minh
Chi tiết xem trong "Topology from the Differentiable viewpoint" của John W.Milnor (
page 55,56 & 57 )

Lưu ý 1. Nếu M là đa tạp bất kỳ thì nó sẽ là hội những đa tạp liên thông có chiều là
dim(M). Do đó,M là đa tạp 1-chiều bất kỳ thì M sẽ vi đồng phôi T , trong đó T là hội
của những S
1
, [0,1], [0,1), (0,1).
8 PHẦN 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.4 Phép đồng luân và phép hợp luân
Đònh nghóa 1. (Phép đồng luân)
Cho X ⊂ R

e
−
1
x
nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0.
ψ(x) =
ϕ(x −
1
3
)
ϕ(x −
1
3
) + ϕ(
2
3
− x)
Khi đó ψ : R → [0, 1] là hàm trơn và
ψ(x) =

0 nếu 0 ≤ t ≤
1
3
1 nếu
2
3
≤ t ≤ 1
1.4. PHÉP ĐỒNG LUÂN VÀ PHÉP HP LUÂN 9
Đặt:

1
6
g(x) nếu
1
3
≤ t ≤
1
2
G
1
(t, x) =



g(x) nếu
1
2
≤ t ≤
2
3
h(x) nếu
5
6
≤ t ≤ 1
Bây giờ đặt:
K(t, x) =



F

0
, x
0
) ∈ (
1
2
, 1] × X là tương tự )
Vì F
1
trơn tại (t
0
, x
0
) nên F
1
có một mở rộng trơn F
2
, F
2
xác đònh trên một tập
mở của R × R
k
chứa (t
0
, x
0
) . Ta ký hiệu tập mở này là (a, b) × U , với U mở trong R
k
, t
0

).
* Nếu (t
0
, x
0
) ∈ {
1
2
} × X :
Trên miền (
1
3
,
2
3
) × X ta có K(t,x) = g(x). Vì g trơn trên X , ta suy ra K (t,x)
trơn trên (
1
3
,
2
3
) × X . Vậy K trơn tại (t
0
, x
0
) .
Tóm lại f ∼ h qua phép đồng luân K.
Vậy quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương.
2/ Chứng minh quan hệ hợp luân là quan hệ tương đương : dễ thấy

hướng thì một cơ sở β bất kỳ của V sẽ có sign(β) = 1 hoặc sign(β) = −1. Hơn nữa,
để đònh hướng cho V, ta chỉ cần chọn một cơ sở β nào đó của V và đặt sign(β) = 1;
sau đó, gán dấu 1 cho các cơ sở cùng đònh hướng với β, gán dấu là −1 cho các cơ sở
ngược hướng với β.
Xét V, W là hai không gian vector được đònh hướng. Cho A : V → W là một
đẳng cấu. Khi đó,nếu β và β

cùng thuộc một lớp tương đương trên V thì 2 cơ sở , Aβ
và Aβ

tương ứng cũng thuộc cùng lớp tương đương trên W. Như vậy, với mọi cơ sở β
của V, Aβ luôn luôn cùng dấu hoặc luôn luôn ngược dấu với β, ta nói A bảo toàn đònh
hướng hoặc đảo ngược đònh hướng. Nếu A bảo toàn đònh hướng, đặt sign(A) = 1, nếu
A đảo ngược đònh hướng, đặt sign(A) = −1.
2.2 Đònh hướng trên đa tạp
Cho X là một đa tạp m chiều ( có biên hoặc không có biên ) , ta nhắc lại đònh
nghóa đònh hướng trên đa tạp.
Một đònh hướng của đa tạp X là một cách lựa chọn đònh hướng cho tất cả các
không gian tiếp xúc T X
x
(x thuộc X ) sao cho : tại mỗi điểm x ∈ X , tồn tại một lân
cận được tham số hóa bởi ánh xạ ϕ : U → X và với mọi u ∈ U , dϕ
u
: R
m
→ T X
ϕ(u)
mang đònh hướng dương của R
m
thành đònh hướng dương trên T X

y
và ký
hiệu (α × 0, 0 × β) là cơ sở {(v
1
, 0), ..., (v
m
, 0), (0, w
1
), ..., (0, w
n
)}của T (X × Y )
(x,y)
. ta
xác đònh đònh hướng cho T (X × Y )
(x,y)
như sau:
sign(α × 0, 0 × β) = sign(α)sign(β) (2.1)
Trước hết ta chứng minh rằng đònh hướng như trên không phụ thuộc vào việc
chọn cơ sở α, β . Xét α
1
, β
1
là hai cơ sở khác của X và Y , ta sẽ chỉ ra rằng sign(α ×
0, 0 × β) = sign(α
1
× 0, 0 × β
1
) khi và chỉ khi ma trận chuyển cơ sở từ (α × 0, 0 × β)
sang (α
1

a
j
× 0 = γ
1j
(c
1
× 0) + ... + γ
mj
(c
m
× 0) + δ
1j
(0 × d
1
) + ... + δ
nj
(0 × d
n
) (2.2)
0 × b
j
= ξ
1j
(c
1
× 0) + ... + ξ
mj
(c
m
× 0) + ε

1≤i≤n,1≤j≤m
D = (ε
ij
)
1≤i≤n,1≤j≤n
2.3. ĐỊNH HƯỚNG TRÊN ĐA TẠP TÍCH 13
Hơn nữa, do (2) , (3) ta có
a
j
=
m

i=1
γ
ij
c
i
, ∀j = 1..., m
Suy ra ma trận chuyển cơ sở từ α qua α
1
là A
0 =
n

i=1
δ
ij
d
i
, ∀j = 1..., m

Mặt khác ,
sign(α × 0, 0 × β) = sign(α
1
× 0, 0 × β
1
)
khi và chỉ khi
sign(α)sign(β) = sign(α
1
)sign
n
(β
1
)
Điều này tương đương :

sign(α)sign(α
1
) > 0, sign(β)sign(β
1
) > 0
hoặc sign(α)sign(α
1
) < 0, sign(β)sign(β
1
) < 0
tức là :

detA > 0, detD > 0
hoặc detA < 0, detD < 0