Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên
Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel
bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan
hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y.
1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc
Định lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử là các
giá trị của X có tính chất với j = 1, 2, Khi đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ có
phân phối
, i= 1, 2,
Ví dụ 1.2. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X -1 0 1 2
P 0,3 0,1 0,2 0,4
Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
a- U = 2X + 1
b- V =
Giải. a- U = 2X + 1 sẽ nhận các giá trị -1, 1, 3, 5. Ta có
P(U = -1) = P(X = -1) = 0,3; P(U = 1) = P(X = 0) = 0,1;
P(U = 3) = P(X = 1) = 0,2; P(U = 5) = P(X = 2) = 0,4;
Vậy phân phối xác suất của U là
U -1 1 3 5
P 0,3 0,1 0,2 0,4
b- V = sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2. Ta có
P(V = 0) = P(X = 0) = 0,1
P(V = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,5
P(V = 2) = P(X = 2) = 0,4
Vậy phân phối xác suất của V là
V 0 1 2
P 0,1 0,5 0,4

2. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục
a. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên rời rạc

trong đó g
-1
(y) là hàm ngược của hàm g(y).
Chứng minh. Giả sử g là một hàm tăng. Khi đó hàm phân phối của Y là

Vậy hàm mật độ của Y là Tương tự, nếu g là một hàm giảm thì

Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối F
X
và hàm mật độ f
X
.
Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = aX + b,
Giải. Ta có . Vậy theo Định lý 2.1 ta nhận được

Ví dụ 2.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Xác định hàm mật độ và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y = -lnX.
Giải. Do nên . Để thì Vậy

Hàm phân phối của Y là

Chú ý: Ta có thể tìm trực tiếp hàm phân phối F
Y
trước rồi từ đó tìm f
Y