Véc tơ ngẫu nhiên
1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên
Giả sử X
1
,X
2
,…,X
n
là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất
( , , P), nhận giá trị trong không gian đo (R, B(R).
Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X
1
, X
2
,…, X
n
) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trị
trong R
n
.
Định nghĩa 1.2. Với mỗi tập Bôren B B
n
, trong đó B
n
là -đại số Bôren các tập
con của R
n
, P[ : X B] được gọi là phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X
= (X
1
, X

,…, X
n
.
Tính chất 1.4.
 F(x
1
, x
2
,…, x
n
) là hàm đơn điệu không giảm theo các biến.
 F(x
1
, x
2
,…, x
n
) là hàm liên tục bên phải theo các biến.
 F(x
1
, x
2
,…, x
n
) = 1 và F(x
1
,x
2
,…,x
n

F(x,y) =
a- Xác định hàm phân phối của X ; của Y.
b- Tính P1 X < 2; 1 Y < 2]
Giải. a- Hàm phân phối của X là

Hàm phân phối của Y là

b- P[ 1 X < 2; 1 Y < 2] = F(2; 2) – F(1; 2) – F(2; 1) + F(1;1)
= 1 -
=
2. Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc
Ta xét trường hợp 2 chiều. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử X
nhận các giá trị x
1
,

x
2
, , x
n
, và Y nhận các giá trị y
1
, y
2
, y
m
,
Định nghĩa 2.1. Dãy các xác suất
P([ : X = x
i


x
2
p
21
P
22
p
2mx
n
p
n1
p
n2
p
nm

 Hàm phân phối đồng thời của X và Y là
F(x,y) = (x;y) R
2
.
Từ phân phối đồng thời của X và Y ta nhận được
Ø Phân phối xác suất của X là
P[X = x

P [Z = 4] = P [X = 2; Y = 2] + P [X = 3; Y = 1] = 0,18 + 0,20 = 0,38
P [Z = 5] = P [X = 3; Y = 2] = 0,16
Vậy phân phối xác suất của Z = X + Y là
Z = X + Y 2 3 4 5
P[X + Y =
i]
0,1 0,36 0,38 0,16
Ví dụ 2.3. ( Phân phối đa thức.)
Xét dãy n phép thử độc lập G
1
, G
2
, G
n
mà trong mỗi phép thử G
i
đều có r biến
cố có thể xảy ra là A
1
, A
2
, , A
r
. Giả sử p
1
là xác suất xuất hiện biến cố A
1
trong
mỗi phép thử; p
2

r
] =
trong đó n = k
1
+ k
2
+ + k
r
; p
1
+ p
2
+ + p
r
= 1.
Phân phối xác suất dạng trên được gọi là phân phối đa thức.
Ví dụ 2.4. Tìm xác suất để khi gieo ngẫu nhiên 20 lần một con xúc xắc cân đối và
đồng chất sẽ có 4 lần xuất hiện mặt 1 chấm; 3 lần xuất hiện mặt 2 chấm; 5 lần
xuất hiện mặt 3 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 4 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 5 chấm và
4 lần xuất hiện mặt 6 chấm.
Giải. Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm có khả
năng xuất hiện như nhau với xác suất bằng , nghĩa là p
1
= p
2
= = p
6
= với
p
i