CHUYÊN ĐỀ 8
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :
. Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì
∀
AB
JJJG
+
BC
JJJG
=
AC
JJJG

. Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2
cạnh là 2 vectơ đã cho.
. I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có:

MI
=
JJJG
2
MA MB+
JJJJG JJJJG

. G là trọng tâm của
Δ
ABC ⇔
GA

G
1
e
G
,
2
e
G
có nghóa:

a
=
G
α
1
e
G
+
β
2
e
G
(
α
,
β

∈
R)
và sự phân tích trên là duy nhất .

e
G
(
α
,
β
,
γ
∈
R)
. G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD
+ +
GC
+
⇔
GA
JJJG
GB
JJJG
JJJG
GD
JJJG
=
0
G

Ghi chú :
1) Nếu một trong 3 vectơ ,
a
G

OB
, đồng phẳng
JJJG JJJG
OC
JJJG
⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Cho một hình lăng trụ ABC
A
′
B
′
C
′
. Gọi I,
I
′
lần lượt là trọng tâm của
Δ
ABC và
Δ
A
′
B
′
C
′
, O là trung điểm của I
I
′

′
. Chứng
minh rằng O, M, G thẳng hàng.
c) Tính tỉ số
OM
OG
JJJJG
JJJG

Giải
a) +
OA
+ +
OA
JJJG
′
JJJJG
OB
JJJG
OB
′
JJJJG
+
OC
JJJG
+
OC
′
JJJJG
=

OC
JJJG
) =
0
GOA
+ +
OC
= 3
OI
⇒
JJJG
OB
JJJG
JJJG JJG
Tương tự, là trọng tâm của
I
′
Δ
A
′
B
′
C
′OA

OC
JJJG
+
OC
′
JJJJG
=
= 3
OI
JJG
+ 3
OI
′
JJJG
= 3(
OI
JJG
+
OI
′
JJJG
)
=
0
G
(vì 0 là trung điểm I
I
′
)
b) O, M, G thẳng hàng

GO
JJJG
+
OC
JJJG
) + (
GO
JJJG
+
OC
′
JJJJG
) =
0

G
⇒
OA
+ +
OC
+
OC
JJJG
OB
JJJG
JJJG
′
JJJJG
= 4
OG

OA
′
JJJJG
+
OB
′
JJJJG
= 4
OG
JJJG
+ 2
OM
JJJJG2
⇒
0
= 4 + 2
OM

G
OG
JJJG
JJJJG
⇒
OM
= –2
JJJJG
OG

JJJG
= –2
Ví dụ 2:

Cho hình hộp ABCD.
A
′
B
′
C
′
D
′
với
AA
′
JJJJG
=
a
G
,
AB
JJJG
=
b
G
,
/
AC
JJJJG

′
C
′
D
′
thì :
AD
JJJG
=
AC
′
JJJJG
+
/
CD
′
JJJJJG
+
DD
′
JJJJG
=
c
G
–
b
G
–
a
G

BB
′
JJJJG
+
BA
JJJG
+
AD
JJJG

= –
a
G
–
b
G
+
c
G
– –
b
G
a
G
= – 2
a
G
– 2
b
G

G
= – 2
b
G
+
c
G

* * *
D
′

A

B
′

′
c
G

B
C
D
A
a
C
′

G