Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Chương 4:
BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Bài 2.
X = I
1
+ I
2
+ I
3
+ I
4
Y = min(I
1
, I
2
, I
3
, I
4
)
Z = max(
1 2 3 4
, , ,I I I I
)
Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}
Mặt khác ta có X
1
(4, )
4
β

1 3
[X=4] =C 0.0039
4 4
P X C
P
P
P
P
   
= = =
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
Vậy ta có P[X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ] = P[X = 0]P[Y=0/X=0] P[Z = 0/X=0 , Y = 0] = P[X=0] =
0.316

(-5)] .[F
y
(2
-
)].P([-
∞
,-
2
]
∪
[
2
,+
∞
)
= [F
x
(5) - F
x
(-5)].[F
y
(2)].[F
z
(
2
) + (1-F
z
(
2
)]

)]
Trang
1
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6]
=F
x
(6
-
). F
y
(6
-
). F
z
(6
-
)
Bài 4:
a. hàm xác suất đồng thời cho (X
1
,X
2
)
Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có

X
1
X
2

1
36
1
36
1
2
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
3
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36

36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
b. với
( )
( )



=
=
21
21
,max
,min
XXY
XXX
Bài 9:

2
2
2 2
( , )

0
( ) 1
y
by by
X
F y bye dy e
− −
= = −
∫
Suy ra
2
2
2 2
1 1 x > 0, y > 0
( , )
0 u
by
ax
X
e e
F x y
ne
−
−

 
 
− −

 

− −
−
= =− = −
∫
2
2
( )
bx
P X Y e
−
⇒ > = −
c) Tìm các hàm mật độ biên
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2 2
0
0
2 2
( )
1 1
( )
2
(1 0)
by by

0
( )
by by
ax
X
f y axe bye dx bye
+∞
− −
−
= =
∫

Bài 10.
a.
b. Nếu hoặc thì hàm mật độ
Nếu
Nếu
Trang
3
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Nếu
Nếu
c. Hàm mật độ biên của X
Hàm mật độ biên của Y
Bài 11.
Miền giới hạn bởi :
1
22
≤+
yx

∫ ∫
=⇒
π
ϕ
2
0
1
1..
o
drrkd
π
πϕ
π
1
11
2
2
0
=⇔=⇔=⇔
∫
kkd
k
Hàm mật độ biên :
ππ
11
)(
1
0
==
∫

0
0
1
0
1
1
0
=+++
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
− −−
+−
+−−
+
x
x
x
x
kdydxkdydxkdydxkdydx
k
dxxdxxdxxdxx
1
)1()1()1()1(
0
1
1
0
1
0
0
1

kk
dxx
Bài 12:
Vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời
2
,
( , ) 2
x y
X Y
f x y e e
− −
=

0, 0x y> >
Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:
a.
{ 8}X Y+ ≤
Ta có :
P[
{ 8}X Y+ ≤
] =
8 8 8
2 2
0 0 0
8
2 ( )
0
x
x y x y
x

e e e e e e e
− − − − − − −
= − − = − + − + = − +
.{ }b X Y<
Ta có: P[
{ }X Y<
]　
2 2 2
0 0 0 0
2 2 ( ) 2 ( 1)
0
y
y x y x y y
y
e dy e dx e dy e e e dy
∞ ∞ ∞
− − − − − −
= = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
3 2 3 2
0 0
2
2 2 ( ) ( )
0 0
3
y y y y
e dy e dy e e
∞ ∞
− − − −
∞ ∞

0 0
3
y y y y
e dy e dy e e
∞ ∞
− − − − − −
∞ ∞
= − + = −
∫ ∫

10 10
2 2
(0 ) (0 1) 1
3 3
e e
− −
= − − − = − +
Bài 13:
Cho X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời:
f
X,Y
(x,y) = xe
-x(1+y)
x > 0, y > 0
Hàm mật độ biên của X và củaY:
Trang
5
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Bài 14 :
Lúc

f x y
Trên miền
1
D
2 2
1
2
4
2
x y
D
P e dxdy
π
 
 
 
 
− +
=
∫∫

Chuyển sang tạo độ cực ta được.
0
2
π
ϕ
≤ ≤
,
0 r R
≤ ≤

2
2
2
2
1
2
1 .
2
R
R
e
e
π
π
−
−
 
 
 
 
 
 
 
−
= − − =

Bài 24:
X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong đoạn [0,1]
a.Tính P[X
2