A
A'
CHUY ÊN Đ : Ề
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
VÀ M T S D NG TOÁN LIÊN QUANỘ Ố Ạ
A.Tóm t t lí thuy t:ắ ế
I.Góc gi a hai đ ng th ng:ữ ườ ẳ
1.Góc gi a hai đ ng th ng a và b đ c đ nh nghĩa b ng góc gi a hai đ ngữ ườ ẳ ượ ị ằ ữ ườ
th ng ẳ
a’ và b’ cùng đi qua m t đi m O và l n l t song song v i a và b.ộ ể ầ ượ ớ
2.
// '
// '
a a
b b



thì góc gi a hai đ ng th ng a và b b ng góc gi a hai đ ng th ng a’vàữ ườ ẳ ằ ữ ườ ẳ
b’
3.Góc gi a hai đ ng th ng luôn không tù.ữ ườ ẳ
II.Góc gi a đ ng th ng và m t ph ng:ữ ườ ẳ ặ ẳ
1. Cho đ ng th ngườ ẳ
V
và m t ph ng ặ ẳ
( )
α
. N u ế
V
không vuông góc v i ớ
( )

O
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi ho c ∆ ấ ẳ ứ ả ỉ ặ
⊥
(α) ho c m // ∆’ ( đó ∆’ làặ ở
hình chi u vuông góc c a ∆ lên (α)). ế ủ
4. N u ∆ // a và (α) // (P) thì góc gi a đ ng th ng ∆ và (α) b ng góc gi aế ữ ườ ẳ ằ ữ
đ ng th ng a và (P).ườ ẳ
5. Cho đ ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (α). Khi đó v i m i đ ng th ngườ ẳ ớ ặ ẳ ớ ọ ườ ẳ
∆ ta có t ng góc gi a đ ng th ng ∆ và m t ph ng (α) và góc gi a hai đ ngổ ữ ườ ẳ ặ ẳ ữ ườ
th ng ∆ và a b ng ẳ ằ
90
o
.·
( )
·
( ,( )) , 90
o
a
α
+ =
V V
6 .Cho hai m t ph ng (ặ ẳ α) và (β) vuông góc v i nhau. Khi đó v i m i đ ng th ngớ ớ ọ ườ ẳ
∆ ta có:
·
·
( ,( )) ( ,( )) 90
o




Thì
·
·
(( ),( )) (( '),( '))
α β α β
=
.
4.N u ế
( )
( )a
α
β
⊥


⊥

V
thì
¶
·
( , ) (( ),( ))a
α β
=
V
.
5.N u ế

S
H
B.M t s d ng toán liên quan:ộ ố ạ
I.GÓC GI A Đ NG TH NG VÀ M T PH NG:Ữ ƯỜ Ẳ Ặ Ẳ
Bài 1:
Cho hình chóp đ u S.ABCD, đáy có c nh b ng a và có tâm O.G i M,N l n l tề ạ ằ ọ ầ ượ
là trung đi m c a SA,BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng ể ủ ế ữ ằ
60
o
.
Tính MN,SO và
·
( ,( ))MN SAO
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i P là trung đi m AO.ọ ể
Khi đó MP // SO và SO
⊥
(ABCD) do đó:
·
·
( ,( D)) 60 .MN ABC MNP= =
o

Trong
V
NCP theo đ nh lí hàm s cosin ta cóị ố
2
2 2 2
5

M'
A
C
B'
C'
A'
B
Do đó
·
·
( ,( )) .MN SAC NMH=
Ta có
1 2 5
, .
2 4 2
a
NH OB MN a= = =
Do đó trong tam giác vuông MHN ta có
·
1
sin .
2 5
NH
NMH
MN
= =
V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) b ng ậ ữ ặ ẳ ằ
α
th a mãn ỏ
1

Ta có
1 3
.
2 4
a
MP AN= =
2
2 2 2
2
2
3a
' ' ' '
4
9a
' .
16
MC MM M C b
PC b
= + = +
⇒ = +
4
P
N'
M'
B
C
A
C'
A'
B'

' 'MM NN
<
.
{ }
' 'P MN M N= ∩
.
Khi đó:
MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM
⇒
MNcosα = ( PN – PM )cosα
= PNcosα – PMcosα
= PN’ – PM’ = M’N’.
⇒
M’N’= MNcosα
Do đó : M’N’ =
2 2
' 'BN BM+
= MNcosα (1)
Ta có
MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’
=a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2)
T (1) và (2) suy raừ
2 2
( 2 os sin ) 2( ' ' ) ( ' ')MN c BN BM a BN BM
α α
+ = + + − +

( ' ') ( ' ')BN BM a BN BM a≥ + + − + =

5

H ng d n gi i:ướ ẫ ả

a) G i I là hinh chi u c a S lên (ABC), theo gi thi t, ta có:ọ ế ủ ả ế

·
· ·
= = = αSAI SBI SCI
(1)
Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung c nh góc vuông SI và th a (1) nên b ng nhau .ạ ỏ ằ
V y IA=IB=ICậ
⇒
I O≡
.
b) Ta có :
AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong
ABCV
)
⇒
a=2R.sin(
90
2
α
−
o
)=
2R. os
2
c
α
⇒

SOB vuông)
=
2a sin os asin
a tan
2 2 2
os
2 os 2 os os
2 2
c
c
c c c
α α α
α
α α
α
α
= =
Bài 5:
Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a.ụ ề ạ
AA’
⊥
(ABC).Đ ng chéo BC’ c a m t bên BCC’B’ h p v i (ABB’A’) góc ườ ủ ặ ợ ớ
30
o
.
G i M,N l n l t là trung đi m c a AC và BB’.ọ ầ ượ ể ủ
a)Tính AA’
b) góc[MN,(BA’C’)].
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Tính AA’:

⇒

'IC BV
vuông t i I ạ
⇒

'
' 3
sin 30
C I
BC a
°
= =
' 'BB CV
vuông:
7
K
N
J
M
A
C
B'
A'
C'
B
H
⇒
BB’=
2 2 2 2

uuur uuuur uuur uuur uuuruuuur uuur uuur
⇒
MN.BJ.cos(
,MN BJ
uuuur uuur
)=
2
4
a
(2)
Mà :
2 2
2 2
2
2 2 2
3a a 5
4 2 2
3a 11
2a
4 2
a
MN BM BN
a
BJ BM MJ
= + = + =
= + = + =

V y (3) ậ
⇒


55
>0.
V y góc[MN,(BA’C’)] = góc(ậ
,MN BJ
uuuur uuur
) = arccos
1
55
.
Bài 6:
Cho hình lăng tr ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân t i A.ụ ạ
AA’
⊥
(ABC).G i M,N l n l t là trung đi m c a AB và B’C’.Bi t r ng MN=aọ ầ ượ ể ủ ế ằ
và góc[MN,(ABC)]=
α
, góc[MN,(BCC’B’)]=
β
.
a)Tính các c nh đáy và c nh bên c a lăng tr theo a, ạ ạ ủ ụ
α
.
b)CMR: cos
α
=
2 sin
β
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a/ G i I là trung đi m BC,ọ ể

⇒
AB=2a.cos
α

( MI là đ ng trung bình ườ
ABCV
)
BC=2a
2
.cos
α
(3) (
ABCV
vuông cân)
T (2) ừ
⇒
AA’=BB’=CC’=a.sin
α
.( IN = AA’)
b)Ta có:
MI // AC, MI=AC/2
⇒
MI
⊥
AB,MI=MB
⇒
MIBV
vuông cân (4)
G i J là trung đi m BI thì MJ ọ ể
⊥

J
B
A
C
M
K
L
H
D

⇒
BI=2MJ=2asin
β
(do (4))

⇒
BC=2BI=4asin
β
(5)
T (3) và (5) ừ
⇒
2a
2
.cos
α
= 4asin
β⇒

AC
ABD
AH hcAM
AK hcAM
AL hcAM
=
=
=
⇒
·
·
·
α = β = λ =MAH, MAK, MAL
Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho:
sin ,sin ,sin
MA MK ML
AM AM AM
α β λ
= = =
⇒
2 2 2
2 2 2
2
sin sin sin
MH MK ML
AM
α β λ
+ +
+ + =
L n l t d ng các đo ng vuông góc HJ,HI t H đ n AB,AC thì AJHI là hình ch nh t.ầ ượ ự ạ ừ ế ữ ậ

2
MH HI HJ
AM
+ +
=
10
x
y
D
B
C
A
M
N
S

2 2
2
1
MH AH
AM
+
= =
(
AMH∆
vuông).
II.GÓC GI A HAI M T PH NG:Ữ Ặ Ẳ
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD c nh a, trong mp(P).Hai đi m M,N di đ ng trên CB vàạ ể ộ
CD, Đ t CM=x,CN=y.Trên đ ng th ng At vuông góc v i (P) l y đi m S.Tìmặ ườ ẳ ớ ấ ể

. . os
( ) ( ) 2( ( ) )( ( ) ).
MN MA AN MA NA c MAN
MN a a x a a y a a x a a y
= + −
= + − + + − − + − + −
Mà MN
2
=
2 2
x y+
nên
11
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
x 4 2ax 2a 2( ( ) )( ( ) )
2( ( ) )( ( ) ) 4 2ax 2a .
4a ( ) 4 2ax ( ).
y a x y y a a x a a y
a a x a a y a y
x y x y a y x y
+ = + + − − − + − + −
⇔ + − + − = − −
⇔ + + = + +
b) Do (SAM)
⊥
(SMN) và MN
⊥
SA

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =
AC = a, góc
·
o
BAC 120=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'.
Chứng minh
∆
AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (AB'I).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Cách 1 :
Gọi H là trung điểm
BC AH BC.⇒ ⊥
∆
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒
a
AH
2
=
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =
/ /
IB C∆
vuông có:
2 2
/2 /2 / /2 2

/
I vuông tại A.
Ta có:
/
2
/
AB I
1 1 a 5 a 10
S .AI.AB . .a 2
2 2 2 4
= = =
2
ABC
1 1 a a 3
S .AH.BC . .a 3
2 2 2 4
= = =
12
A
/
B
/
C
/
A
B
C
30
o
H

đôi một vuông góc,
A(0; 0; 0),
/
/ /
a 3 a a 3 a
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a 3 a a 3 a a 3 a a
B ; ; a ,C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2 2 2 2
   
−
 ÷  ÷
   
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
/
a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
   
= = −
 ÷  ÷
   
uuur uur
Ta có:
2 2 2
/

a 3a 3 2a 3 a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r

với
2
n (1; 3 3; 2 3)= −
r
.
Gọi
α
là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +
Bài 10:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng t i B, có AB = a, ạ

K
I
A
B
D
C
H
S
E
P
Q
a) Ch ng minh ứ
2
2
1 os
tan .tan
os
c
c
α
α β
α
+
=
.
b) Tam giác ABC th a mãn đi u gì đ ỏ ề ể
0
60
β
=

Do
~
AH SH
ABH SAH
AB SA
=> =# #
.
~
BC SC
SHK SCB
HK SH
=> =# #
Ta có
tan tan .
SH SC SC
SA SH SA
α β
= =
.
Mà
2
1 os
os os
a a c
AC SC
c c
α
α α
+
= => =

α
α α
α α
+
=> = = + = +
2 2 2
tan 2 3tan tan 1 tan 1
α α α α
=> + = => = => = ±
Do
0 90
o o
α
< <
tan 1 45
o
α α
=> = => =
V y tam giác ABC vuông cân t i B.ậ ạ
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u n i ti p đ ng trònữ ụ ề ộ ế ườ
đ ng kính AB = 2a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và ườ ớ ặ ẳ
3SA a=
.
a) Tính góc gi a (SAD) và (SBC)ữ
b) Tính góc gi a (SBC) và (SCD)ữ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
14
a) G i ọ
I AD BC= ∩

)
Nên AI = AB = 2a
2 2 2 2
7SI SA AI a= + =
=>
7SI a=
~SAI DEI# #
(do 2 tam giác vuông có góc nh n I chung)ọ
=>
1
7 7
DE DI a
SA SI
a
= = =
=>
3
7 7
SA a
DE = =
Ta có
( )BD SAD⊥
nên
BD DE⊥
.
Trong
BDE#
, ta có :
3
tan 7

O
B
A
C
I
H
Do đó
·
·
(( ),( ))PAQ SBC SCD=
Xét
#
vuông SAH, ta có :

2 2 2 2
1 1 1 5
AS 3AP AH a
= + =
=>
3
5
AP a=
.
#
SAC có
SA AC
⊥
, SA = SC =
3a
nên

PAQ =
V y ậ
·
10
(( ),( )) arccos
5
SBC SCD =
.
Bài 12:
Cho t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc. Bi t OA = a, OB = b, OCứ ệ ộ ế
= c và kho ng cách t O đ n m t ph ng (ABC) = h. G i α, β, γ là các góc t oả ừ ế ặ ẳ ọ ạ
b i (ABC) v i cái m t ph ng (OAB), (OBC), (OCA). Ch ng minh r ng :ở ớ ặ ẳ ứ ằ
a)
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
.
b)
os +cos +cos 3c
α β γ
≤
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) K ẻ
( )OH ABC⊥
t i H. Kéo dài ạ
{ }
CH AB I∩ =
Ta có :

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
OH OI OC OA OB OC
= + = + +
HAY :
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
= + +
.
T (3), ta có: ừ
·
·
CIO COH
α
= =
(c nh t/ vuông góc).ạ ư
=>
OH
os osCOH=
OC
h
c c
c
α
= =
.
T ng t : ươ ự
h
os , os =

≤
.(đpcm)
Bài 13:
Cho t di n ABCD có DAứ ệ
⊥
(ABC), tam giác ABC vuông t i B, ạ
·
45
o
BDC =
. G iọ
·
ADB
α
=
. Xác đ nh α đ góc gi a 2 m t ph ng (ADC) và (BDC) b ng ị ể ữ ặ ẳ ằ
60
o
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
D ng ự
BI AC⊥
.
Ta có :
( ( ))BI DA DA ABC⊥ ⊥
=>
( )
BI DAC⊥
=>
BI DC

2 2
3 1 4
2 3
BI BJ
BI BJ
= => =
M t khácặ
#
DBC vuông t i B và ạ
·
45
o
BDC =
=>
#
DBC vuông cân t i B=>BD = BCạ
Ta có:
AB AB
Sin AB BC sin
BD BC
α α
= = => = =
H n n a trong ơ ữ
#
ABC vuông t i B, ta có :ạ
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
BI AB BC BC sin
α

1 8 15
1
3 5
sin
sin
α
α
 
=> + = => =
 ÷
 
V y ậ
15
arcsin
5
α
=> =
.
Bài 14:
Cho
#
ABC vuông t i A có BC là c nh huy n thu c m t ph ng (P). G i β,γ l nạ ạ ề ộ ặ ẳ ọ ầ
l t là góc h p b i 2 đ ng th ng AB,AC v i m t ph ng (P). G i α là góc h pượ ợ ở ườ ẳ ớ ặ ẳ ọ ợ
b i m t ph ng(ABC) v i m t ph ng (P).Ch ng mình r ng:ở ặ ẳ ớ ặ ẳ ứ ằ

2 2 2
Sin Sin Sin
α β γ
= +
.

AH AH AH
IA AB AC
=> = +
V y ậ
2 2 2
Sin Sin Sin
α β γ
= +
.
18
I
K
B
A
S
D
C
H
A
C
B
S
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông t i A,B v iạ ớ
AB=BC=a,AD=2a,SA
⊥
(ABCD) và SA=a
2
.G i I là trung đi m c a SC.ọ ể ủ
a) Ch ng minh AIứ

⊥
AS, do SA
⊥
(ABCD) nên:
CD
⊥
(SAC)
⇒
CD
⊥
AI.
Ta có: AI
⊥
SC và CD
⇒
AI
⊥
(SCD).
b) Ta có giao tuy n c a (ABCD) và (SCD) là CD.ế ủ
Theo câu a), CD
⊥
(SAC) nên CD
⊥
AC và CD
⊥
SC.
Do đó góc gi a (ABCD) và (SCD) là ữ
α
=
·

SC
2
=
1
AC 2
2
=a.V y ậ
·
cosIAD
=
1
2

⇒
β
=
60
o
.
Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B và BA=BC=a, SA vuôngạ
góc v i đáy ,SA=a.Tính góc ớ
α
gi a hai m t ph ng (SAC) và (SBC).ữ ặ ẳ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
19
O
C'
H
A

a.
a 2
2
=
2
a 2
4
.
Vì BC
⊥
AB và BC
⊥
SA nên tam giác SBC vuông t i B.ạ
Ta có :
SBC
S
=
1
2
SB.BC=
1
2
AB
2
.BC=
2
a 2
2
.
V y ậ

Ta có: OH//AA’
⇒
OH
⊥
(ABC)
⇒
OH
⊥
BH.
2 2 2 2
1 1 1 16 3
3a 4
a
HI
HI HB HO
= + = ⇒ =
.
· ·
·
·
= = > ⇒ >
⇒ = ⇒ = π −
o
AH 2
tanAIH 1 AIH 45
IH
3
2 2
AIH arctan AIC 2arctan .
3 3

⊥
(SCD) và AM=AN.
Suy ra: góc[(SBC),(SCD)]=
60
o
⇔
góc (AM,AN)=
60
o
⇔
tam giác AMN đ u ề
⇔
MN=AM.
Ta tính đ c AM=ượ
2 2
ax
a x+
,
2
2 2 2
.
D
MN SM SM SB x
B SB SB a x
= = =
+
2.MN a⇒ =
2 2
ax
a x+

∩
(SDN)=DN
Do đó
(SAM)
⊥
(SDN) (SA
⊥
DM)
. 0
AM DM
AM DN
⇔ ⊥
⇔ =
uuuuruuur
(*)
Đ t ặ
, ,BA a BC c AM m= = =
uuur r uuur r
.
Ta có
.AM AB BM a k c= + = − +
uuuur uuur uuuur r r
và
( 1)DN DA AN DA BN BA c k a= + = + − = − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
(*)
⇔
(
.a k c− +
r r

Bài 20:
21
C'
D'
B'
D
B
C
A
A'
Cho t di n ABCD có các c p c nh đ i b ng nhau.G i ứ ệ ặ ạ ố ằ ọ
, ,
α β λ
l n l t là sầ ượ ố
đo c a các góc gi a mp(ABC) v i các mp (DBC),(DCA),(DAB).Ch ng minh:ủ ữ ớ ứ
a)
1
os . os . os
27
c c c
α β λ
≤
b)
2 2 2
1
os os os
3
c c c
α β λ
+ + ≥

.
Do đó:
ABC
S S=
=
DCB
S
+
CAH
S
+
ABH
S
=S(
osc
α
+
osc
β
+
osc
λ
).
⇒
osc
α
+
osc
β
+

trên.
b) Áp dung BĐT B.C.S:
2 2 2
os os osc c c
α β λ
+ +
2
( os os os ) 1
3 3
c c c
α β γ
+ +
≥ =
.
Bài 21:
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’. G i ộ ữ ậ ọ
, ,
α β λ
l n l t là các góc gi aầ ượ ữ
mp (ACB’) v i các m t (BCB’),(ABC) và (BAB’).Ch ng minh:ớ ặ ứ
a)
os . osc c
α β
+
os . osc c
λ β
+
os . osc c
α λ


(ACB’)
⇒
BD’
⊥
AC, ta l i có ACạ
⊥
BB’,AC
⊥
BD’,
do đó AC
⊥
(BB’D’D)
⇒
AC
⊥
BD nên ABCD là hình vuông
⇒
AB=BC
Cm t ng t ta có BC=BB’ươ ự
Suy ra hình h p đã cho là hình l p ph ng.ộ ậ ươ
Bài 22:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng n m trên m t m t ph ng th a đi u ki n:ằ ộ ặ ẳ ỏ ề ệ
·
xOy
=
o
90
,
·
·

2A .
AB AB BC C BC c AOB
AB BC AB
c AOB
C BC
= + −
+ −
⇔ =
23
z
x
y
O
A
C
B
V i AB=ớ
3
2,
2
a
a AC BC= =
⇒
·
osc AOB =
1
3
−
.
V y góc gi a hai mp (xOz) và (yOz) có s đo là ậ ữ ố

.
Ta có :
OAC OBC
=
# #
( OA = OB, OC c nh chung, ạ

·
·
60
o
AOC BOC= =
)
=>
BC Oz⊥
.
V y ậ
·
ACB
α
=
.
Xét
ABC#
, ta có :
2 2 2
2 .AB AC BC AC BCCOS
α
= + −
2 2 2

B
A'
C'
-1
os =
3
c
α
=>
-1
=arccos
3
α
 
=>
 ÷
 
.
V y ậ
( ) ( )
( )
·
-1
xOz , =arccos
3
yOz
 
 ÷
 
.

' ' 8a
' '
' ' ' ' 5a (2a ) 4ax 9a
A B A A AB
BC BC CC a x
A C A C C C x x
= + =
= + = +
= + = + − = − +
·
2 2 2
2 2 2 2 2
' ' 90
' ' ' '
4 9 8
0
A BC
BC A B A C
x ax a a a x
x
=
⇔ = +
⇔ − + = + +
⇔ =
o
b)
·
2 2 2
' 90 ' ' ' 'BA C BC A B A C= ⇔ = +
o

A BC
A C C C C C a a a A C a
S A B A C a a a
S
a
S
a
ϕ
+ + = + = ⇒ =
= = =
= = = =
25