Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

THễNG TIN CHUNG V SNG KIN
1.

Tờn sỏng kin: Dy hc mụn Toỏn theo nh hng phỏt trin nng lc hc sinh

lp 11 THPT qua chuyờn : Gúc trong khụng gian.
2.

Lnh vc ỏp dng sỏng kin: Giỏo dc

3.

Thi gian ỏp dng sỏng kin: T ngy 1/9/2014 n ngy 20/5/2015

4.

Tỏc gi:
H v tờn: Phm Thanh My
Nm sinh: 1985
Ni thng trỳ: Giao Xuõn, Giao Thu, Nam nh
Trỡnh chuyờn mụn: Thc s Toỏn hc
Chc v cụng tỏc: Giỏo viờn
Ni lm vic: Trng THPT Giao Thu
in thoi: 0973673306
T l úng gúp to ra sỏng kin: 100%.

5.


hin theo bi/tit trong sỏch giỏo khoa nờn trong phm vi 1 tit hc se khụng thi gian
cho y cỏc hot ng hc ca hc sinh theo tin trỡnh s phm ca mt phng phỏp
dy hc tớch cc.
4. Kim tra ỏnh giỏ theo nh hng phỏt trin nng lc cng cn ỏnh giỏ nng lc
vn dng kin thc vo gii quyt cỏc vn tng hp. iu ny se khú khn khi kin
thc mt bi cũn ri rc, cha trn vn cho mt hot ng, mt vn , tỡnh huụng c th.
5. To iu kin cho giỏo viờn i sõu nghiờn cu cỏc vn trng tõm trong chng
trỡnh v s dng cỏc phng phỏp dy hc, kin to dy hc tớch cc vo quỏ trỡnh dy
hc nhm phỏt trin nng lc cho hc sinh nh dy hc theo nhúm...
6. Giỳp hc sinh cú nhiu c hi tham gia vo cỏc hot ng nh t hc, tho lun
nhúm gii quyt vn , nhim v hc tp, bỏo cỏo kt qu tho lun, thc hnh vn
dngTrờn c s ú, phỏt trin cỏc nng lc t duy sỏng to ca hc sinh, giỳp hc sinh
phỏt hin vn v gii quyt vn bi toỏn t ra cú hiu qu hn, phỏt huy tớnh tớch
Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

2


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

cc, hng thỳ vi tit hc, trỏnh t tng hc toỏn khụ khan, nhm chỏn; phỏt trin nng
lc cng tỏc lm vic, nng lc giao tip, tng cng s t tin; phỏt trin nng lc phng
phỏp. Cựng vi vic phỏt trin nng lc cho hc sinh, tit hc giỳp cho hc sinh t mỡnh
xõy dng c cỏc phng phỏp hc tp, cỏc mụ hỡnh c bn (bi toỏn gục), t ú ỏp
dng vo gii quyt cỏc bi toỏn phc tp hn.
II. Mễ T GII PHP
II.1. Mụ t gii phỏp trc khi to ra sỏng kin
Trong nhng nm hc trc, khi dy chuyờn gúc cho hc sinh lp 11 v hc
sinh lp 12, tụi ó kt hp nhiu phng phỏp dy hc trong ú ch yu l phng phỏp

A. NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ

1. GÓC GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG

B. TỔ CHỨC DẠY HỌC
CHUYÊN ĐỀ

1. MỤC TIÊU

1. BẢNG MÔ TẢ CÁC

2. CHUẨN BỊ CỦA

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG

C. XÂY DỰNG BẢNG MÔ TẢ
CÁC YÊU CẦU VÀ BIÊN
SOẠN CÁC CÂU HỎI VỀ
KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ

MỨC YÊU CẦU CẦN

GIÁO VIÊN VÀ HỌC

ĐẠT CHO MỖI LOẠI


giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a
và b.

b'
O

1.2. Phương pháp
1.2.1. Cách 1: Phương pháp sử dụng định nghĩa
Gi¸o viªn: Phạm Thanh My – Tæ To¸n tin – Trêng THPT Giao Thủy

4


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

- T mt im O bt k k cỏc ng thng a v b ln lt song song vi hai ng
thng a v b. Khi ú gúc gia hai ng thng a v b bng gúc gia hai ng thng a v
b.
- Chỳ ý 1: Thng chn im O nm trờn ng thng a hoc b.
1.2.2 Cỏch 2: Phng phap vect
uu
r uur
- Gi u1 , u 2 ln lt l cỏc vect ch phng ca ng thng a v b; l gúc gia
uu
r uu
r
hai ng thng a v b. Khi ú: cos cos u1 , u 2 .


giao im ca a v (P), ly mt im A trờn a khỏc giao im trờn, dng hỡnh chiu ca A
trờn (P) theo cỏc cỏch:
a.

Cỏch 1: Phng phỏp Hỡnh chiu chõn ng vuụng gúc"
Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

5


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC),

S

tam giỏc ABC vuụng ti B. H AH (SBC).

H

Khi ú H l hỡnh chiu ca A trờn (SBC).

A

C

B

Cỏch chng minh kt qu trờn chớnh l to ra hai mt phng vuụng gúc v k ng


M'
P

Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

6


D¹y häc m«n To¸n theo ®Þnh híng ph¸t triÓn n¨ng lùc häc sinh líp 11 – THPT qua
chuyªn ®Ò “Gãc trong kh«ng gian”

- Cách 2 cho ta phương pháp dựng hình chiếu của điểm M trên (P) bằng cách kẻ
đường thẳng qua M song song với đường thẳng vuông góc với (P) có trước.
- Phương pháp này chúng ta thường dùng khi đã có một đường thẳng d vuông góc với
(P). Khi đó để dựng hình chiếu của điểm M trên (P), ta thực hiện các bước sau :
+ Bước 1 : Tìm giao tuyến  của (P) với (M,d)
+ Bước 2: Trong (M,d), kẻ đường thẳng qua M, song song với d, cắt  tại M’
+ Bước 3: Kết luận M’ là hình chiếu của M trên (P).
c.

Cách 3 : “Phương pháp hai mặt phẳng vuông góc”
Cho (P)  (Q), A  (P).

P

Gọi  = (P)  (Q)

A




P

I

H

Với phương pháp trên, học sinh không cần xác định góc mà có thể tính ngay được góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua khoảng cách, và cách tính khoảng cách có thể
đơn giản hơn nhiều so với cách xác định và tính góc như phần 2.2.1.
Gi¸o viªn: Phạm Thanh My – Tæ To¸n tin – Trêng THPT Giao Thủy

7


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

b. Cach 2: Tớnh gúc da vo gúc ph
a
b

Cho b (P).
A

Gi l gúc gia hai ng thng a v
(P), l gúc gia a v b




Q

3.2 Phng phỏp
a.

S dung inh nghia

b.

S dung cach xac inh gúc gia hai mt phng

Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

8


D¹y häc m«n To¸n theo ®Þnh híng ph¸t triÓn n¨ng lùc häc sinh líp 11 – THPT qua
chuyªn ®Ò “Gãc trong kh«ng gian”

m   P  � Q  �
�
 R  m
�
�
 R  � P   a �
 R  � Q   b �
�
 góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa a và b.


9


D¹y häc m«n To¸n theo ®Þnh híng ph¸t triÓn n¨ng lùc häc sinh líp 11 – THPT qua
chuyªn ®Ò “Gãc trong kh«ng gian”

B. TỔ CHỨC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ
1. MỤC TIÊU
1. Kiến thức

2. Kỹ năng

3. Thái đô

- Khái niệm góc

- Xác định và tính

Thái độ học tập

Phát triển năng

giữa hai đường

góc giữa hai

nghiêm túc, tích

lực phát hiện và


hợp tác, năng lực

- Khái niệm góc

phẳng.

học sinh.

giao tiếp, năng

giữa hai mặt

- Xác định và tính

Tăng cường sự

lực sử dụng ngôn

phẳng.

góc giữa đường

tự tin cho học

ngữ, năng lực

thẳng và mặt

sinh.


trong khụng gian?
- Giỏo viờn gii thiu lý do xõy dng chuyờn , tờn chuyờn , ni dung chớnh ca
chuyờn : Gúc trong khụng gian.
3.2 Cỏc hot ụng hc tp
3.2.1 GểC GIA HAI NG THNG (60 phỳt)
Hot ụng 1: Cung cụ ly thuyt (10 phỳt)
Phiu hoc tõp: Suy ngh cõu hoi v cõu tr li liờn quan n cỏc ni dung sau:
1. Gúc gia hai ng thng: nh ngha gúc gia hai ng thng, min giỏ tr ca
gúc gia hai ng thng.
2. Mụi liờn h ca gúc gia hai ng thng vi hai vect ch phng ca hai ng
thng ú.
3. Ni dung nh lý sin, nh lý cụsin v h qu.
Hot ụng:

tHot
ca nhõn
Giỏong
viờncagiao
nhim
vlp
(ton lp): mi hc sinh suy ngh
* Hỡnh thc t chc: -hot
nhõn
ton
ngh
ton lp

+ t cỏc cõu hoi v tr li cỏc cõu hoi cú liờn quan n ni
dung trong phiu hc tp.
+ Trỡnh by kt qu va lm, suy ngh lp lun bo v kt

nh lý cụsin.
-

Qua hot ng 1, hoc sinh:
+ Ghi nh c kin thc c.
+ Bit cỏch t cõu hoi trc cỏc tỡnh huụng hoc tri thc mi, t ú tỡm tũi cỏch gii

quyt hoc li gii cho cõu hoi ú, phỏt trin t duy sỏng to, s ham hc hoi, tỡm tũi tri
thc.
+ Tng cng kh nng lm vic c lp, phỏt trin nng lc s dng ngụn ng, nng
lc giao tip,
Trong ton b hot ng trờn, thc hin bc Giỏo viờn giao nhim v l yờu cu
quan trng, giỏo viờn cn nờu rừ nhim v hc sinh phi t c, nh hng cho hc
sinh cỏch t chc hot ng, ni dung kin thc v nng lc cn t. Nhim v giao cng
chi tit thỡ hc sinh hot ng cng hiu qu hn.
Hot ụng 2: Xỏc nh v tớnh gúc gia hai ng thng (30 phỳt)

Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

12


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian

Bi 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v B,
AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD), SA = 2a. Hóy tớnh gúc gia:
a) SD v BC
b) SB v CD
c) BG v AM trong ú G l trng tõm SCD, M nm trờn cnh SD thoa món SM =

nhúm
bỏo
cỏo ktphỏp
qutớnh
Rỳtviờn
kt lun
bi i
hcdin
v hng
nh,
phng
hot
cang
nhúm mỡnh,
mtlm.
cõu: i din
gúc ng
gia hai
thng, 3knhúm
nng mi
trỡnhnhúm
by bi
nhúm bỏo cỏo, cỏc nhúm khỏc nhn xet, t cõu hoi, i din
nhúm tr li cỏc thc mc ca cỏc bn trong lp.
+ Giỏo viờn hng dn hc sinh tho lun, gv cú th t cõu
sinhỏp
thc
hin
nhim
v: hng

phng
phapỏp
tớnh
gúcmc
gia
hai
ng
chc
v gii
thc
nu
cn
thit thng. Nu
dựng phng phap vect, cú inh hng gỡ khi bin i
khụng?
Hot ụng:
Trong trng hp tớnh gúc gia SB v CD, nu dựng
tHot
Nhúm
inh nghia tớnh gúc thỡ nờn dng hỡnh nh th no?(dng
ngh
13
ng song
ng
trờn mt
ỏy)Giao Thy
Giáo viên: Phm Thanh
My song
Tổvi
Toán

b.

S

gúc gia SB v CD bng gúc gia SB v
BE.

M

BE a 2, SE a 5, SB a 5

G
A

2a 2
1

cosSBE 2

2a 10
10
gúc gia SB v CD bng vi cos

E

B

D

C






- Qua hot ng 2, hoc sinh:
+ Tng hp c cỏc phng phỏp tớnh gúc gia hai ng thng, k nng trỡnh by
bi lm.
+ Phỏt trin nng lc phỏt hin v gii quyt vn , tng cng s t tin khi thuyt
trỡnh trc lp, phỏt trin nng lc hp tỏc khi lm vic nhúm, nng lc phng phỏp
lm vic khoa hc khi phõn chia cụng vic trong nhúm hp lý, nng lc s dng ngụn
ng, nng lc giao tip,
Giỏo viờn cn chỳ ý k nng lm bi, tớnh toỏn, trỡnh by chớnh xỏc. Rốn k nng tụt
giỳp cho hc sinh cú t duy lụgic, tớnh khoa hc trong lm vic.
Hot ụng 3: Bi tp cung cụ (20 phỳt)
Bi 2: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng a. Tớnh gúc gia cỏc cp
ng thng sau:
a) AB v BD, AC v BD.
b) AC v MN vi M, N ln lt l trung im ca AD v DC.
* Hỡnh thc t chc: Hot ng ca nhõn ton lp
Tho lun:

Hot ụng:
Ca nhõn
tHot
ngh

ton lp

- Gv hng dn hs tho lun: thu bi lm ca 3 hs, gi 1 hs lờn bỏo cỏo kt qu.

đều).
BD  (ACC’A’)  BD  A’C  góc giữa BD và A’C bằng 900.
b. MN // AC  góc giữa A’C với MN bằng

A

B

M

� ' với
góc giữa A’C với AC, bằng ACA
� '
tan ACA

D
N

C

2
.
2
A'

D'

B'

C'


- Nêu cách xác định góc giữa a và (P) khi
a không vuông góc với (P)?

- Hs trả lời.

- Nếu a // (P) hoặc a  (P) thì có thể kết
luận gì về góc giữa hai đường thẳng a và

- Hs trả lời.

(P)?
- Trong trường hợp a cắt (P) và không
vuông góc với (P) ta có thể xác định góc

- Hs trả lời.

như thế nào?
* Gv gọi hs khác nhận xét, bổ sung kiến

* Học sinh củng cố kiến thức cũ, định

thức, từ đó rút ra cách xác định góc giữa

hình các bước xác định góc giữa đường

đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt trong

thẳng và mặt phẳng, đặc biệt trong trường


B

a) Tớnh gúc gia SA v (SBC).
b) Tớnh gúc gia SA v (SBD).

D

C

c) Tớnh gúc gia BM v (ABCD).

* Hỡnh thc t chc: hot ng nhúm ton lp.
- Giỏo viờn giao nhim v (ton lp): chia lp thnh cỏc nhúm, mi nhúm cú 4 hc
sinh, c nhúm trng. Yờu cu cỏc nhúm:
+ Tỡm hng gii ca cỏc cõu trờn.
+ Tỡm cỏc cỏch gii khỏc nhau.
+ Trỡnh by bi lm.
+ nh hng lm ca cõu a v b cú tng t nhau khụng? Cú xõy dng c bi toỏn
gục cho hai dng bi tp trờn khụng?
+ Rỳt kt lun bi hc v hng xỏc nh, phng phỏp tớnh gúc gia ng thng v
mt phng, k nng trỡnh by bi lm.
- Hc sinh thc hin nhim v: hot ụng nhúm
+ Nhúm trng iu hnh nhúm tho lun, phõn cụng nhim v da trờn nng lc ca
cỏc thnh viờn, c ngi vit, ngi bỏo cỏo
+ Giỏo viờn quan sỏt hot ng ca hc sinh, hng dn hs t chc hot ng v gii
ỏp thc mc nu cn thit
Mụ hỡnh ca giy vit hot ng nhúm: giy A2 c chia nh sau (hc sinh cú th
nhỏp ngc xuụi tựy theo v trớ ngi).
Hs1 nhỏp
Hs2 nhỏp

c bi toỏn gc cho hai dng bi tp trờn khụng?
Bi toan: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC). Dng hỡnh chiu ca A trờn
(SBC) trong cỏc trng hp sau:
a. ABC vuụng ti B

S

C

A

B

b. ABC khụng vuụng ti B v C

Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

19


Dạy học môn Toán theo định hớng phát triển năng lực học sinh lớp 11 THPT qua
chuyên đề Góc trong không gian
S

C

A

B


AB 2.
tan ASN
SA
b. H AH BD ti H, AK SH ti K
Chng minh AK (SBD).

K

B

I
H
D

C

hỡnh chiu ca SA trờn (SBD) l SK


gúc gia SA v (SBD) bng gúc gia SA v SK, bng ASH
vi tan ASH

AH
2

SA
5

.
Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

Hot ng ca giỏo viờn
* Giỏo viờn giao nhim

Hot ng ca hc sinh
* Hs suy ngh lm vic

Ni dung

v: yờu cu hs hot ng cỏ nhõn: tỡm v nờu
cỏ nhõn:

hng gii bi toỏn da

- Tỡm ra hng gii ca

trờn kin thc ó hc.

S

N

bi tp trờn.
F

- Nờu hng gii.

B

A


- Cú AN (SBC).

Giáo viên: Phm Thanh My Tổ Toán tin Trờng THPT Giao Thy

21


D¹y häc m«n To¸n theo ®Þnh híng ph¸t triÓn n¨ng lùc häc sinh líp 11 – THPT qua
chuyªn ®Ò “Gãc trong kh«ng gian”

hướng giải đơn giản hơn. chiếu song song, thảo
luận các câu hỏi sau:
+ Có đường thẳng nào

- Dựng hình chiếu của D trên (SBC)

đã vuông góc với (SBC) bằng cách dựng đường thẳng qua D
chưa?

song song với AN, cắt (SBC) tại F.

+ Dựng hình chiếu song
song như thế nào?
- Xác định hình chiếu F:
Xác định giao tuyến của (AND) với
(SBC) là đường thẳng Nx, song
+ Chân hình chiếu được

song với BC và AD.



hs xây dựng công thức

H

tính dựa vào khoảng
cách:

- Hs: Ta có
� 
sin DSF

- Câu hỏi: Nếu không
dựng hình chiếu của SD

DF d  D,  SBC  

SD
SD

và tính d(D,(SBC)) dựa
vào cách tính khoảng

Gọi I = a  (P), A  a, A  I.
 là góc giữa hai đường thẳng a
và (P)
H là hình chiếu của A trên (P)

Gi¸o viªn: Phạm Thanh My – Tæ To¸n tin – Trêng THPT Giao Thủy


SD
SD

* Hs trỡnh by li gii
bi tp chớnh xỏc

Cú AD // (SBC)
d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AN

* Gv yờu cu hs trỡnh

- Hs cng cụ kin thc.
sin

by li gii bi tp trờn.

AN
2

SD
5

gúc gia SD v (SBC) bng

- Gv cng cụ li phng
phỏp tớnh gúc da vo

vi sin

khong cỏch c s


Ni dung
S

v: yờu cu hs hot ng cỏ nhõn: tỡm v nờu
cỏ nhõn

hng gii bi toỏn da

- Tỡm ra hng gii ca

trờn kin thc ó hc.

L
J
M

E

bi tp trờn.

B

A

- Nờu hng gii.
* Tho lun, bỏo cỏo

P



tho lun tỡm hng gii. lun tỡm hng gii:
- Xỏc nh giao im L ca SC vi
+ Chng minh SC
(AMN).

(AMN) EL (AMN).
Xỏc nh giao im P ca DE vi
(AMN).

+ Nờu hng tớnh gúc
gia DE v (AMN)?

hỡnh chiu ca DE trờn (AMN)l
LP.
gúc gia DE v (AMN) bng gúc
.
gia DE v LP, bng LPE
* Tớnh gúc da vo gúc phu:
Cho b (P)

* Giỏo viờn hng dn
hs xõy dng cụng thc
tớnh gúc da vo gúc

Gi l gúc gia hai ng
thng a v (P), l gúc gia a v b
+ = 900

ph.



I

P

H

tính góc giữa đường và
mặt phẳng thông qua

* Lời giải tóm tắt:

mối liên hệ trên không?

- Chứng minh SC  (AMN)
- Gọi 1 là góc giữa DE và (AMN)

- Gv chính xác kiến

- Hs củng cố kiến thức.

SC  (AMN),  là góc giữa DE

thức, phân tích ưu điểm

và SC

của phương pháp tính


3
3
 góc giữa DE và (AMN) bằng 1

pháp tính góc dựa vào

1
với sin 1  ,00 �1 �900 .
3

góc phụ nếu có sẵn
đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng.
3.2.3 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Hoạt đông 1: Củng cố lý thuyết (10 phút)
* Phiếu học tập:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước mỗi câu trả lời sau mà em cho là
đúng.
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng mệnh đề nào sai.
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:
A. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.
Gi¸o viªn: Phạm Thanh My – Tæ To¸n tin – Trêng THPT Giao Thủy

25