Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN
TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Dạng 1: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;…; An.Xét ve tơ:
w  k1 MA1  k2 MA2  k3 MA3  ...  kn MAn và mp(P): ax + by + cz = d = 0
Trong đó k1; k2; k3;...; kn  R vàk1  k2  k3  ...  kn  0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao
cho w nhỏ nhất.
PP:
+Gọi G là điểm thỏa mãn: k1GA1  k2 GA2  k3 GA3  ...  kn GAn  0 . Xác định điểm G
+Ta có: MAk  MG  GAk với i =1, 2, 3,…,n
i

i

w  (k1  k2  k3  ...  kn ) MG  k1GA1  k2 GA2  k3 GA3  ...  kn GAn

+ w = (k1  k2  k3  ...  kn ) MG.
w  k1  k2  k3  ...  kn MG .

+Vì k1  k2  k3  ...  kn là hằng số khác khơng nên w có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
MG nhỏ nhất, mà M  (P) nê
n M=hc( P)G

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) và mặt
phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
2MA  4MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 2GA  4GB  3GC  0  G(6;5; 6)

1
2
2
 x – 2y  2z 6  0


32
x  9

 32 1 10 
1

Vậ
y: M
; ;
 y 

9
9 9 
9


10

z  9


Dạng 2: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;…; An. Xét biểu thức:
T  k1MA12  k2 MA22  k3 MA32  ...  kn MAN2


 MG2  2MG.GA  GA2

Do đó
: T=  k1  k2  k3  ...  kn  MG2  k1GA12  k2GA22  k3GA32  ...  knGAn2

Vì k1GA12  k2GA22  k3GA32  ...  knGAn2 khô
ng đổ
i nê
n:
a)k1  k2  k3  ...  kn  0; T đạt giátr ònhỏnhấ
t  MG nhỏnhấ
t
b)k1  k2  k3  ...  kn  0; T đạt giátròlớ
n nhấ
t  MG nhỏnhấ
t
màM  (P) nê
n MG nhỏnhấ
t  M  hc( P )G
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) và mặt phẳng
(P): 3x - 3y -2z - 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
a) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất
b) MA2 + 2MB2 – 4 MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
a) Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: GA  GB  GC  0  G(1;2;2)

Ta có: MA2  MB2  MC2  3MG2  GA2  GB2  GC2
 MA2  MB2  MC2   MG nhỏnhấ
t  M  hc( P)G  M (4; 1; 0)


Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 2 -


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
Khi đó MA + MB  AB vẫn đúng nhưng khơng có dấu đẳng thức.
- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B khác phía với mp(P) và MA’ = MA
nên MA + MB = MA’ + MB  A' B ; min(MA + MB) = A’B  M  A' B (P)
b) MA  MB lớn nhất
Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA  MB  AB dấu đẳng thức xãy ra
 A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đường thẳng AB.

Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
- Vì A, B cùng phía với mp(P) nên max MA  MB = AB

 M  AB

(P)

Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).
Khi đó MA  MB  AB vẫn đúng nhưng khơng có dấu đẳng thức.
- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B cùng phía với mp(P) và MA’ = MA
nên MA  MB = MA ' MB  A’B max MA  MB = A’B  M  A' B (P)


Tọa độđiể
m M  3
y điể
m M  1; ; 
2
2   y  Vậ
3
3 3

2x  y  z3  0 

2

z


3

AB  (3;2; 2)  ( AB) :

b) MA  MC có giá trị lớn nhất
Ta có MA  MC  AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
nên max( MA  MC ) = AC  M  AC (P)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 3 -

Ta có MA + MC  AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
Gọi H(x;y;z) = hc(P)A ; (d) là đường thẳng đi qua A vả vng góc với mp(P)

Ta cóu( d )  vtptn( P)  (2; 1; 1)  ( d) :

x 1 y  1 z 2


2
1
1

Ta cóH=hc( P) A  H  (d) ( P)

1
x


3

 x 1 y  1 z 2
 1 1 8 


1


Tọa độđiể
m H:  2
H ; ; 



Tọa độđiể
m M  11
1
7
2x  y  z 3  0


A 'C  (


1
x


5

 1 1 12 
1

 y  Vậ
y điể
mM ; ; 
5
 5 5 5

 12
z  5


 3 3 3 

7
x  3

 x  2 y 1 z
 7 5 10 


5


Tọa độđiể
mM  1
Vậ
y điể
mM ; ;
2 10   y 

3
 3 3 3 
2x  y  z3  0 

10

z  3

Dạng 4: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A, B, A1, A2, A3,…, An.và đường thẳng
x  x 0  ta1



Nguyễn Bá Tường

- Trang 5 -


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a)Vì M  (d)  M(1  t; 2  t;2t),t  R
Ta có
: OM=(1  t; 2  t;2t); AM  ( t; t  6;2t  2); BM  (2  t; t  4;2t  4)
w  3OM  2AM  4BM  (5  t; t  2;2t  12)
2

 3  319
319
 w  6t  54t  173  6  t   

t  R
2
2
 2
2

min w 

 5 7



 2
2
2
7
7
7


minS( MAB) 

 12 5 38 
24
19
t
M
; ; 
7
7
7
7 7


Dạng 5: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và đường

x  x 0  ta1

thẳng  d  : y  y 0  ta2 . Tìm điểm M trên (d) sao cho
z  z  ta
0


Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 6 -


Gia sư Thành Được
b) MA  MB  k

www.daythem.edu.vn
(t  a)2  m2  (t  b)2  n2

Trong mp Oxy xé
t điể
m N(t;0)  Ox, H(a;m); K(b;n) vớ
i m.n>0(m  n)
MA  MB  k HN  KN  kHK; max( MA  MB )  HK
N,H,K thẳ
ng hà
ng

 N  Ox KH
H,K
nằ
m
cù
n
g

3

20
20
 (t  2)2 
 MA  MB  3(HN  KN)  3HK
9
9
H,N,K thẳ
ng hà
ng
min(MA  MB)  3HK  
 N  HK Ox
m hai phía trục Ox
vì H, K nằ

HN  KN  t 2 

(HK) : 20x  3y  20  0  N(1; 0)  N(t; 0)  t  1
Vậ
y điể
m M(1;0;2)
VD2: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) và đường thẳng

x  1  t

(d) : y  2t
Tìm điểm M trên (d) Sao cho
 z  1  t


35
1
35
HN  KN  (t  )2 
 (t  )2 
 MA  MB  6( HN  KN )  6HK
6
36
3
9
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 7 -


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

H,N,K thẳ
ng hà
ng
max( MA  MB )  6HK  
 N  HK
m cù
ng phía trục Ox
vì H, K nằ
2

Giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đó OH  OB









d O;  P  OH  OB  maxd O;  P = OB

Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận OB  (1; 2;  1) làm véc tơ pháp tuyến.
mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0  x  2 y  z  6  0
Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) và đường thẳng

x  x 0  ta1

 d : y  y 0  ta2 .
z  z  ta
0
3

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất.
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất
PP:
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên (d),
+ mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu
của H lên (P))

(Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc(d)A
x  3
 x 1 y z 1
 


 H  (Q) (d); Tọa độđiể
mH  2
 y  1  H(3;1; 4)
1
3
2x  y  3z  19  0 z  4


+ Mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình
chiếu của H lên (P))
+ Ta có : HI  AH = const  d (d,(P)) lớn nhất  HI lớn nhất  A  I. Khi đó
(P) đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. Ta có AH = (-7 ; -1 ; 5)
(P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 0
 7x + y - 5z – 77 = 0
b)Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P).
Ta có: d (A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc và đường xiên).
Do đó max d(A,(P))= AH  K  H; mp (P) đi qua H và nhận AH = (-7 ; -1 ; 5)
làm VTPT  (P): 7x + y - 5z - 2 = 0
Dạng 8: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (Q); 2 đường thẳng (d) và (d’). Lập
phương trình mp(P) chứa (d) sao cho
a) Góc giữa mp(P) và mp(Q) nhỏ nhất ((d) khơng vng góc với mp(Q)).
b) Góc giữa mp(P) và (d’) lớn nhất ( (d) và (d’) chéo nhau)
PP:
a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( a 2  b 2  c 2  0 ) chứa (d)



Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

1 2 3 H phng trỡnh 2 n



Gúc gia (P) v (d) ln nht nht khi Kmax
x t

VD: Trong khụng gian vi h Oxyz cho 2 ng thng (d) y 1 2t ;
z 2 t


(d) x 1 y 2 z 3 v mp(Q): 2x y 2z 2 = 0. Vit phng trỡnh mp(P) cha ng
1

1

1

thng (d)
a) To vi mp(Q) mt gúc nh nht
b) To vi (d) mt gúc ln nht
Gii:
Gi (P): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 0) cha (d).


1
2

c
c
2 4 5
b
b



((P),(Q))min cos((P),(Q))



max

1



3

c
2 1 3
b
1
c
cos((P),(Q))
1


2



(3')


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
2c

 b  0  sin((P),(d') 

6c2

2
3



2
 b  0  K  sin((P),(d')) 

c
3
b

2x  3







x  2
f '(x)  0  24x  12x  72  0  
 x  3

2
2

BBT
3
2

-

x
f’(x)
f(x)

-

+

2

0

b) (d) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất ( (d’) khơng đi qua A)
c) (d) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP:
a) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 11 -


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Gọi u(d)  (a; b; c)làmộ
t VTCP củ
a (d)(a2 +b2 +c2 >0)
Vì d  (P)  u(d)  n(P)  (1); TìmAB;  u(d) ,AB


 u(d) ,AB


 d(B,(d)) 
(2)
u(d)
(1)(2)   d(B,(d))  f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ
c b, c)

(2)
 u(d) ,u(d') 


(1)(2)   d((d),(d'))  f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ
c b, c)

+ xé
t b=0  d(B,(d))
 xé
t b  0 đặ
t t=

c
 d(B,(d))  f (t)
b

a

Tìm Max f(t);  t   b  pt(d)
c

c) nằm trong mp(P) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
* Vì ln tồn tại đường thẳng (d) đi qua A và tạo với đường thẳng (d’) một góc 900,
nên Max((d),(d'))  90  VTCP u(d)   n(P) ,u(d) 
0

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

b

a

Tìm Max f(t);min f(t)  t   b  pt(d)
c

VD: Trong khơng gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – 1 = 0; điểm A(1; 0; 0)và
B(0; 2; -3)
a)Viết phương trình của đường thẳng (d)  (P) đi qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ
nhất.
b) Viết phương trình của đường thẳng (d)  (P) đi qua điểm A và cách
(d’):

x 1 y 1 z

 một khoảng lớn nhất.
1
2 1

c) Viết phương trình của đường thẳng (d)  (P) đi qua điểm A và tạo với đường thẳng
(d’):

x 1 y 1 z

 một góc lớn nhất, nhỏ nhất.
1
2 1

Giải:

www.daythem.edu.vn

 Nế
u b=0(a  0)  d(B,(d))  6
12t 2  24t  54
a
 Nế
u b  0  d(B,(d)) 
(vớ
i
t=
 R)
b
2t 2  4t  5
12t 2  24t  54
96t  96
Đặ
t f(t)=

f
'(t)

2t 2  4t  5
(2t 2  4t  5)2
f '(t)  0  t  1
BBT t

-
f’(t)
f(t)

1 1

 min  d(B,(d))  

6  b  0 chọn a=1; c=1

b)Ta cóVTPT n(P)  (1;2; 1). VTCP u(d')  (1; 2;1);d'  M(1; 1; 0)
Gọi u(d)  (a; b; c)làVTCP củ
a (d) (a2 +b2 +c2 >0)
Ta cód  (P)  u(d)  n(P)  a  2b  c  0  c  a  2b(1)
 u(d)  (a; b;a  2b);  u(d) ,u(d')   (2a  5b;2b; 2a  b); AM  (0; 1; 0)


 u(d) ,u(d')  AM  2b



 u(d) ,u(d')  AM
2b
4b2


d((d),(d')) 


2
2
8a2  24ab  30b2
 u(d) ,u(d') 
8a  24ab  30b

2
2(8t  12)
3
 f '(t) 
; f '(t)  0  t  
2
2
2
4t  12t  15
(4t  12t  15)
2

-

t



f’(t)

+

3
2

+

0

-

Gọi u(d)  (a; b; c)làVTCP củ
a (d) (a2 +b2 +c2 >0)

Ta cód  (P)  u(d)  n(P)  a  2b  c  0  c  a  2b(1)
 u(d)  (a; b;a  2b)
Gọi   (d,d')  cos 

u(d) .u(d')
u(d) . u(d')

 Nế
u b=0(a  0)  cos=

2a

2a2


6a2  12ab  15b2
6 2a2  4ab  5b2

3
3

2t 2
a
 Nế
u b  0  cos 
(vớ
i t=  R)

5

0

+
+
1
3

8
279

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 15 -


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2 62
3
 cos 
93
3
 max cos 


z


2
5 8

Dạng 10: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1), (d2)và hai điểm A,B (A  (d1) ).
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất
c) (d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP:

a)Giảsử(d) (d1)  M  Tọa độđiể
m M theo t
VTCP u(d)  AM; AB;  AM,AB


 AM,AB


d(B,(d)) 
=f(t)
AM
Tìm maxf(t); min f(t)  t  (d)

b)Giảsử(d) (d1)  M  Tọa độđiể
m M theo t
VTCP u(d)  AM; d2  M 0 (x 0 ; y 0;z0 ); VTCP u(d2 )
Tính  u(d2 ) AM  ; AM 0;  u(d2 ) AM  AM 0

  (d,d2 )  cos  cos(AM,u(d2 ) ) 

 f (t)

AM . u(d2 )

Tìm min f(t); max f(t)  t  (d)
VD: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1):

x 1 y z  2
x5 y z
 

 và
, (d2):
2
1
1
2
2 1

hai điểm A0;-1;2), B(2;1;1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất
c)(d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:

a)Giảsử(d) (d1 )  M  M(1  2t; t;2  t),t  R

VTCP u(d)  AM  (2t  1; t  1;  t); AB  (2;2; 1)  AM,AB  (t  1; 1;2t  4

1
2
1
2

-

f’(t)

+

0

+
-

41
10

f(t)
5
6

5
6

+ khơng tồn tại min f(t)


x  0

b)Giảsử(d) (d1 )  M  M( 1  2t; t;2  t),t  R
VTCP u(d)  AM  (2t  1; t  1;  t)
d2  N(5; 0; 0); VTCP u(d2 )  (2; 2;1)
 u(d2 ) AM   (t  1; 4t  1;6t); AM 0  (5;1; 2);  u(d2 ) AM  AM 0  6  3t





 u(d2 ) AM  AM 0
6  3t
t 2  4t  4


d(d,d2 ) 

3
2
53t 2  10t  2
 u(d2 ) AM 
53t  10t  2


t 2  4t  4
48t 2  420t  222
đặ
t f (t) 
 f '(t) 
53t 2  10t  2
(53t 2  10t  2)2

f(t)

1
53
225
7901

1
53

max f(t)=f(

37
4

x y 1 z  2
1 1
1 1


)=  u(d) =(-2; ; )  (d) :
1
1
2
2
9
2 2
2

2


Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 18 -


Gia sư Thành Được
BBT: t

1
4



f’(t)

www.daythem.edu.vn

+

0

23
2

-

+

2
4
4
23
15
25 23
x y 1 z  2
 u(d)  (22; ;
)  (d) :


+min f(t)=f( )=
25
23
2
206
2 2
22
2
2

Người thực hiện:

Nguyeãn Baù Töôøng

- Trang 19 -