BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
MÔN TOÁN THPT
Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới

hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số
Người thực hiện: Bùi Thị Lan Anh
Bùi Thị Thúy Hà
Phạm Thị Lan
Trường: THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC

NĂM HỌC: ……………………


LỜI NÓI ĐẦU
Dãy số là phần kiến thức không thể thiếu trong chương trình dạy toán cho các trường
chuyên. Các bài tập phần dãy số, giới hạn của dãy số, bài tập về số liên quan đến dãy số
cũng là những bài tập thường gặp trong các kì thi HSG cấp tỉnh, trại hè Hùng Vương,
Olimpic 30-4, quốc gia, quốc tế, Olimpic Toán khu vực.
Dãy số được trình bày trong chương trình toán bậc phổ thông như là là cầu nối giữa đại
số và giải tích. Lần đầu tiên học sinh làm quen với khái niệm dãy số, giới hạn, tính liên tục
mà được sử dụng nhiều về sau này. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian nên thời lượng dành
cho việc dạy và học dãy số và giới hạn của dãy số trong chương trình toán PT không được
nhiều, bởi vậy học sinh chỉ học một số khái niệm ban đầu và làm quen với một số bài tập
hết sức đơn giản. Vì vậy mà các bài tập về dãy số và số là các bài toán tương đối khó với
các em học sinh và ngay cả với các thầy cô giáo ít quan tâm với những bài tập này.
Trong sách giáo khoa của lớp 11 có rất ít các bài tập về dãy số và giới hạn và hiện nay
không có nhiều tài liệu tham khảo về phần này. Điều đó gây không ít khó khăn cho việc dạy
và học đối giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện các đội tuyển HSG các cấp.


1.4. Dãy bị chặn:

1.5. Dãy số có giới hạn:
+ Dãy số tăng và bị chặn trên là dãy có giới hạn.
+ Dãy số giảm và bị chặn dướilà dãy có giới hạn.

I. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG


Dạng 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số :
Bài 1: Cho (

) xác định bởi:

Xây dựng công thức

eo n.

Giải:
Ta có:

Ta viết:
Do đó:

• Chú ý: Các bước thực hiện
B1: Dự đoán công thức của
B2: Chứng minh công thức đúng với n = 1 (n = n0)
B3: Giả sử công thức đúng với n = k ta chứng minh công thức đúng với n = k+1
Bài 2: Cho (un) xác định:


ta phải CM CT (1) đúng


+) Giả sử (2) đúng với n = k tức

ta phải cm (2) đúng với n = k+ 1

Ta có

Vậy :

Bài 4:

a) Chứng minh rằng:

chứng minh rằng

một cấp số cộng. Suy ra biểu thức của

b)

.
Giải:
a) Suy ra theo quy nạp.
=
b)

Bài 5:


Giải :

Ta có :
+) Với n = 1 ta có

ta chứng minh bằng quy nạp :
(*) đúng.

+)Giả sử (*) đúng với n = k tức là
ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+1.
Thật vậy :

(Đpcm)

Bài 8 :
CMR : Tồn tại một cấp số nhân (Vn)và hằng số
Giải : Ta có :

.
.
.


Nhân vế với vế các đẳng thức trên và giản ước các thừa số ta có :

Trong đó:

Bài 9 : Cho dãy số (un) xác định :
Xác định un ?
Giải : Ta có



Bài 12 :
CMR :

Giải :
a) Chứng minh bằng quy nạp.
b)
c)

Bài13 :

(Đề thi olimpic 30/4 năm 2011)


:

Vậy :

Bài 14:
CMR :

Giải :


Bài 15 :

Giải :
Ta có :



ưới bởi 1nên có giới hạn.

Bài 18 :


Ta có :

Ta có :

Bài 19 : Cho trước số dương a, xét dãy số

:

.

+ Nếu

Vậy
+ Xét :

bị chặn trên thì

không bị chặn trên nên

có giới hạn hữu hạn L. Khi đó


Bài 20 : Tìm
Giải :


Thay vào giả thiết, ta được :

(vì
Hay
Đặt

)
.

,

ta có :

Theo cách đặt :

Do đó :

Bài 23:

Tìm số dư khi chia
Giải:
Phương trình đặc trưng

chia cho 2011?


Từ giả thiết có :

Theo ĐL nhỏ Fecma có: (5, 2011) = 1


.


Lại có :

Dạng 3:Một số bài toánliên hệ giữa dãy số và phần nguyên :
Bài 1: Dãy số

được xác định như sau :
CMR :

Giải :

(1)
Chú ý:

Vậy từ (1) suy ra :

là số chẵn (2).

Rõ ràng :
Ta có :
Vì
phần nguyên ta có :

là một số nguyên và

nên theo ĐN


1996-n


Bình phương hai vế đẳng thức trên ta có: