MỤC LỤC
Trang
A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2
I.Lời nói đầu...............................................................................................................2
II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2
B.Giải quyết vấn đề
I. h c ại

t

...........................................................................3

dạng t n ha đƣ c

d ng.........................................................3

II. C c dạng bài tập thƣờng gặp.................................................................................3
C.Kêt luận.........................................................................................................20

1


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời nói đầu
Tr ng chƣơng trình ình h c gi i t ch p
b n cạnh c c dạng t n uen
thu c nhƣ vi t phƣơng trình ặt ph ng phƣơng trình đƣờng th ng . Ta c n gặp
c c bài t n tì v tr của đi
đƣờng th ng ha

60
66,7

hận bi t
nhƣng không
bi t vận d ng
20
22,2

hận bi t và
bi t vận d ng
chƣa gi i đƣ c
h àn ch nh
9
9,9

hận bi t và
bi t vận d ng
gi i đƣ c bài
h àn ch nh
1
1.1

ng trƣ c thực trạng tr n v i tinh thần u th ch b
n nhằ gi p c c e
h ng th hơn tạ ch c c e niề đa
u th ch
n t n ở ra
t c ch
nhìn nhận vận d ng inh h ạt ng tạ c c i n th c đã h c tạ nền t ng ch c c

- i t phƣơng trình tha
của d
- i  d có t a đ the tha
t
à hình chi u vu ng góc của đi

(α)

n d hi

ud MH  0

-Tì t u ra t a đ của .
II. C c ạng i tậ th ờng gặ
1.Cac i t n cực tr liên qu n đến t
t đi
th
B i t n 1:
1, A2, ..An
1, k2,.,kn
(α).
k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn
(α)
-Tì

đi

điều i n ch tr
1+ k2+ ….+ n




i đi

th a GA + GB +GC = 0 thì à tr ng t của ta gi c ABC và
G(0;-2;1)
1) Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG có gi tr
:

nh nhất hi
à hình chi u vu ng góc của
n ặt ph ng (α)
nhận n = (2; -2; 1) à vect ch phƣơng
x = 2t

y = -2-2t
hƣơng trình tha
z = 1+3t

T ađ
ng v i t à nghi phƣơng trình
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
ậ v i (- 0 - ) thì MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
2)
i I(
z) à đi th a IA -2IB  3IC  0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23
3
 x = 4; y = - ; z = - vậ I(4;  23 ;  3 )

3
0t
2(4  2t)  2(  2t)  3(  3t)  10  0  17t 
2
34
2
2
ậ v i M( 

5 245 135
;
;
) thì MA -2MB  3MC đạt gi tr nh nhất.
17
34
17

B it n
kn = k .
k1MA12

 k2 MA22

1

A2 ….An

1,

(

k1+ k2+ ….+

n

n

= k > 0,

T

= k < 0,

t.
V

Ch
ặt ph ng (α) + + z + = 0 và ba đi A(
-1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 + MB2 có gi tr nh nhất.
2) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 - MB2 – MC2 có gi tr n
nhất.

Gi :1) G i đi
Ta có


3
3
2  t  2(  2t)  2(  2t)  7  0  9t  9  0  t  1
2
2
1 7
 M (1;  ;  )
2 2

5


2
2

+ MB2

AB 2
+ MB = 2MI +
, do AB2
2
2

2

2

(α).
2) i (
z) à đi th a JA - JB -JB = 0

ua đi

3  t  2(3  2t)  2.2t  7  0  9t  4  0  t  
23 35 8
; ; )
9
9 9
23 35 8
ậ v i M ( ;  ;  ) thì
9
9 9

4
9

 M(

V
A(0;

A2 - MB2 – MC2 có gi tr

Cho đƣờng th ng d có phƣơng trình
- ) B( ) C( 3 3). ã tì đi
2
2
1) MA - 2MB có gi tr n nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.

n nhất.


Ta có

A2 - 2MB2 = (MI + IA)2  2(MI + IB)2

 IA2  2IB2  MI2 + 2MI(IA  2 IB)  IA 2  2IB2  MI 2
Do IA 2 - 2 IB2 h ng đ i n n A2 -2 MB2 n nhất hi I2 có gi tr nh nhất
ha
à hình chi u vu ng góc của I n d.
x = 1+t

d y = 2+ 2t
z = 3+ t


ƣờng th ng d có vtcp u  (1;2;1) , phƣơng trình tha

M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)

hi

vu ng góc của I n d n n IM.u  0  6t  4  0  t  

1 2 7
3 3 3

ậ v i M ( ; ; ) thì

A2 - 2MB2 có gi tr


Khi
à hình chi u vu ng góc của I
n đƣờng th ng

gi c

nh

d

thì

1
1 5
GM .u  0  6t  3  0  t    M ( ;1; )
2
2 2
1 5
ậ v i M ( ;1; ) thì A2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.
2 2
B i t n 3: Cho
A,B
(α) .
.

(α)

+
(α)


Ta có A + B có gi tr nh nhất hi
à gia đi của AB và (α).
ƣờng th ng AB ua đi B nhận AB  (1; 1;0) à vect ch phƣơng
hƣơng trình tha
T ađ

x  2  t

của AB  y  t
z  2


ng v i t à nghi

phƣơng trình 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

4 2
3 3

Hay M ( ; ;2) à đi
V

2
3

cần tì .

Ch
ặt ph ng (α) có phƣơng trình x – y + z = 0 và ba đi

1
3 3
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =  H( ; ; 0)
2
2 2
à trung đi

Do

x A ' = 2x H  x A  2

AA n n y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'

A B có vtcp A'B  (1;0; 3)
x  2  t

A B y  1
z  1  3t


hƣơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

phƣơng trình

ƣờng th ng A C có vtcp A'C  (1; 3; 3)
x  2  t

A C y  1  3t
z  1  3t


hƣơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

phƣơng trình

2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 
5
4

5
4

5
4

ậ v i M ( ;  ;  ) thì MA - MC có gi tr

5 5 5
3
hay M ( ;  ;  )
4

đi

f(t) t đó u ra t

x-1 y + 2 z-3
=
=
và hai đi
2
2
1

tr n d a ch

C+

C(-

) D(3

D đạt gi tr nh nhất.
:

ƣờng th ng d có phƣơng trình tha

 x  1  2t

 y  2  2t
z  3  t


phƣơng của d1 và d2 ).
- Tì t a đ
và t uận.
-

V

Ch hai đƣờng th ng

d1 :

x-5 y+1 z -11
x+ 4 y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3

1) Ch ng inh d1, d2 ch nhau
 d1 và  d 2 a ch đ dài
2) Tì đi
1) d1 qua M1(



+ 3t )

MN  ( - t - t – 9 t – t + 3t + t – 7)

6t ' 6t  6  0
t  2
MN.u1  0




Ta có 
62
t
'

6
t

50

0
MN
.
u

0

t '  1

AB có di n t ch nh nhất

- Lấ đi
góc của

tr n d
n AB

- Ta

AB có di n t ch S =

gi c

i

A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tì

à hình chi u vu ng
1
AB.MH đạt
2

gi tr nh nhất hi
nh nhất ha
đ ạn vu ng góc chung của AB và d.
Ta thấ d ua 1(2; 4 - ) có vtcp u  (1;1;0)

à


ậ
(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) hi đó
= 2 3 , AB = 2 2
1
Di n t ch SMAB  AB.MH  6
2
V

x  0
3: Ch đƣờng th ng d: y  t . Tr ng c c
z  2  t


v i c hai đƣờng th ng d và tr c
có b n nh nh nhất.
i
ặt cầu (S) có t I
Ta thấ
=I +I ≥
MN hi và ch hi
nh
ƣờng th ng d ua (0 0
ua (0 0

hã vi t phƣơng trình

c

ặt cầu (S)


'

0
MN
.
i

0

t '  0


ậ

(0

)

(0 0 0)
MN

2
1
1
ặt cầu (S) x 2  ( y  )2  ( z  )2 
2
2

ặt cầu (S) có t
hƣơng trình


:
à hình chi u vu ng góc của B n ặt ph ng
(α) hi đó ta gi c AB vu ng tại
và h ng
c ch d(B (α)) = B
AB. ậ d(B (α)) n nhất
bằng AB hi A
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua
A và vu ng góc v i AB.
i

V
1: i t phƣơng trình ặt ph ng (α) đi ua đi
I(3 - - )
t h ng n nhất.

D(

-

3) và c ch đi

G i:
t h ng n nhất hi (α) à

(α) c ch đi
I(3 - - )
ặt ph ng đi ua D và
vu ng góc v i DI.


ặt ph ng

(α)
à hình chi u vu ng góc của A lên ∆
Ta có d(A (α)) = A
A
n nhất thì H
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua ∆ và vu ng góc
v i A . Hay (α) ua ∆ và vu ng góc v i p( A).
V
1 Ch ba đi
A(
3) B(3 0 ) C(0 trình ặt ph ng (α) đi ua hai đi
A B và c ch C
nhất.

).

i t phƣơng
t h ng n

13


:
ặt ph ng (α) đi ua hai đi A B và c ch C
t h ng
hai đi A B và vu ng góc v i p(ABC).
AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)

V
: Cho ặt ph ng (α)
– +z+
= 0 và đi
i t phƣơng trình đƣờng th ng nằ tr n (α) ua đi
)
t h ng
) h nhất .
) L n nhất.

A (-3; 3; -3).
A và c ch đi

B( 3

:
Ta thấ (α)có v ctơ ph p tu n n  (2; 2;1)
1) i à hình chi u vu ng góc của B n (α)
hƣơng trình B
T a đ đi

x  2  2 t

y  3  2t
z  5  t


ng v i t à nghi

của phƣơng trình

i
i
h
3) i
h
1)
2)

tr ng (α), qua A và vu ng

A(

- ) B(-

t phƣơng trình
t phƣơng trình
ng c ch t A đ
t phƣơng trình
ng c ch t A đ

1) ƣờng th ng d ua đi

(

x  1  t

0) và đƣờng th ng d  y  0
z  t



y  1  t
z  1  t


phƣơng trình

2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t  
8 4 4
BH  ( ; ; ) 
3 3 3
Ta thấ u1 và ud

4
4
(2; 1; 1)  u1 
3
3

1

đi ua hai đi

5 2 4
1
 H( ; ; )
3 3 3
3

nhận u1 à


nhất hi
B ha 2 nằ tr ng (α)và vu ng góc v i AB.
Ta có [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u2  2 nhận u2 à v c tơ ch phƣơng
ặt h c u2 và ud h ng c ng phƣơng n n d và 2 c t nhau (d c ng thu c ặt
ph ng (α))
x  1

hƣơng trình 2: y  2  t
 z  t


B i t n 4:

(α)
(α)

(α)
.

(α)
.
:
i d1 à đƣờng th ng ua A và ng
ng v i d B à gia đi của d v i (α).
t ( ) à ặt ph ng (d1 )
và I à hình
chi u vu ng góc của B n ( ) và d1.
Ta thấ h ng c ch gi a và d à B và
B
BI n n B


d y  2  2t
z  3  t


i B à gia đi của d và (α) t a đ B ng v i t à nghi
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
t d1 à đƣờng th ng ua A và ng ng v i d

phƣơng trình

16


hƣơng trình tha

x  1  t

đƣờng th ng d1: y  1  2t
z  1  t


i I à hình chi u vu ng góc của B n d1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có BI.u  0  -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)
ƣờng th ng có vtcp u  [BI , n ] = (-5; -10; 4)
x+1 y-1 z -1


5 10

có vtcp u  (

i B à gia đi

của

i

ng

+

ng v i (P)
n nhất.

– z + 2= 0

-3) (α) có vtpt n  (1;1;-1)

và (α) t a đ B ng v i t à nghi

à đƣờng th ng ua A và

hƣơng trình tha

ng

h ng c ch gi a d và

ng v i ( ) có phƣơng trình

ng v i

x  1  2 t

đƣờng th ng 1: y  1  t
z  2  3t


à hình chi u vu ng góc của B n

 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t)
3
3
1
BH  (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có BI .u  0  2 + 4t + t - + 9t = 0  t = 
2
2
28
13
43 3
1
1
) = (26; -43; 3) = u1
 BH =( ;  ;
14
28 28
28
28
1


. D vậ góc (d ) nh nhất hi
AB AB
đƣờng th ng A .
óc (d ) n nhất bằng 900 hi  d và có vtcp u  [ud , n ]
V

Ch

th ng d

ặt ph ng (α)

+

–z–

= 0 đi

A(

ha

à

- ) và đƣờng

x+2 y-1 z -3
.



t góc n nhất hi 1  d
D đó 1 có vectơ ch phƣơng u1  [ud , n ] = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)
hƣơng trình tha

x  1  t

của 1: y  2  t
 z  2


t đƣờng th ng d1 qua A và

2)

hƣơng trình d1:
i

x-1 y-2 z +2


1
1
1

ng
ấ đi

ng v i d
B(



t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi

A và

1 1 13
AK  ( ; ; )
9 9 9

- ) có vectơ ch phƣơng u2  9.AK  (1;1;13)
x-1 y-2 z +2


1
1
13

hƣơng trình

2

V

Ch

d:

ng v i t à nghi

( + t) + (3 + t) – (- 1 – t) – 7 = 0

ua A vu ng góc v i d và

t góc nh nhất.
i:

ƣờng th ng d có vectơ ud  (2;1;1)
t ặt ph ng (α) ua A và vu ng góc v i d  nằ tr n (α)
(α) nhận ud  (2;1;1) à vectơ ph p tu n.
hƣơng trình (α)
+ + z – 2 = 0.
i à hình chi u vu ng góc của B n (α) B có vectơ ud  (2;1;1)
hƣơng trình tha
phƣơng trình
tạ v i AB
ua A(

của B

x  2 t

y  2  t t a đ
z  t


của

t -2 + t + t – 2 = 0  6t – 4 = 0  t 
t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi

ng v i t à nghi

t inh nghi
đƣ c r t ra à trƣ c h t
h c inh ph i n ch c c c i n th c cơ b n bi t vận d ng inh h ạt c c i n th c
nà t đó
i dạ c c chu n đề ở r ng n ng ca
h c u i n th c
t c ch
h p v i c c đ i tƣ ng h c inh nhằ b i dƣ ng n ng hi u r n n ng ch h c
sinh.
Nh ng điều tôi đã thực hi n nhƣ nêu ở trên đã có m t s tác d ng đ i v i h c
sinh,c th là : C c e t ra rất a
h ng th v i dạng toán này. đó có th c i
à
t thành c ng của ngƣời gi vi n. t th c đề tài nà t i đã kh sát lạicho
c c e h c inh p A,12B. K t qu nhƣ sau:

S ƣ ng
T ( %)

Không
nhận
bi t
đƣ c
0
0.0

hận bi t
nhƣng h ng
bi t vận d ng
3

c đ ch ca c
à ngu n đ ng vi n t ch cực của ngƣời thầ . D vậ t i
ng ƣ c đƣ c chia ẻ v i
u đ ng nghi p
t
u nghĩ nhƣ au
t bài t n có th có rất nhiều c ch gi i ng vi c tì ra
t ời gi i h p
ng n g n th v và đ c đ
à
t vi c h ng dễ. D đó đ ch à
t chu n đề
trong rất nhiều chu n đề
t phƣơng ph p tr ng hàng vạn phƣơng ph p đ gi p
ph t tri n tƣ du ự ng tạ của h c inh. i vi n trƣ c h t ph i cung cấp ch
h c inh n ch c c c i n th c cơ b n au đó à cung cấp ch h c inh c ch nhận
dạng bài t n th hi n bài t n t đó h c inh có th v n d ng inh h ạt c c i n
thƣc cơ b n ph n t ch tì ra hƣ ng gi i b t đầu t đ u và b t đầu nhƣ th nà à
rất uan tr ng đ h c inh h ng
hi đ ng trƣ c
t bài t n hó à dần tạgây
h ng th a
n t n t đó tạ ch h c inh t c ph ng tự h c tự nghi n c u.
20


Tu n i dung của chu n đề h r ng
ng tr ng hu n h thời gian có hạn
ngƣời vi t cũng ch ra đƣ c c c v d bài t n đi n hình.
ất

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
..............................................
Vĩnh L c, Ngày 14 tháng 5 n m
2013
Thay mặt H KH cơ sở
Chủ T ch

Nguyễn V n Tân
21


VII. TÀI LIỆU T AM K ẢO
1. ình h c
Bài tập hình h c
– nhà B D n
00
2. ình h c n ng ca Bài tập hình h c
n ng ca – nhà B D n
3. Tạp ch T n h c và tu i trẻ n
0 0.
4. C c dạng T n LT
của han u h iB à in
00

00 .

22