SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔ

Người thực hiện: Nguyễn Lê Minh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HÓA NĂM 2016


MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU
Hàm số là một khái niệm cơ bản của toán học, nó đóng vai trò trung tâm
trong chương trình toán THPT, Hàm số cũng là nền tảng của nhiều lĩnh vực khác
nhau của Toán học và các khoa học khác. Nắm được các vấn đề về hàm số
không chỉ giúp người học giải quyết các bài toán có những ràng buộc phức tạp,
mà còn rèn luyện tư duy hệ thống, sáng tạo, có thói quen xem xét sự vật, hiện
tượng trong sự vận động và phụ thuộc lẫn nhau.
Trong kỳ thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi những năm gần đây bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, là bài toán có tính
phân loại cao. Một phần lớn trong các bài toán này có thể giải được bằng
phương pháp hàm số. Tuy nhiên sách giáo khoa chỉ trình bày vấn đề này với các
ví dụ và bài tập ở mức độ vận dụng thấp, các sách tham khảo, các website toán


giá trị nhỏ nhất của f(x).
c. Hàm số f(x) đồng biến trên D, nếu ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
d. Hàm số f(x) nghịch biến trên D, nếu ∀x1; x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Hàm số f(x) nếu liên tục trên [ a; b ] có đạo hàm trên ( a; b ) thì bằng cách xét
sự biến thiên trên đoạn được chỉ ra ta có thể xác định được giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm f(x).

3


Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ba
biến thì việc quan sát, nhận xét về biểu thức cần đánh giá là hết sức quan trọng,
thông qua việc nhận xét tính chất đối xứng, sự bình đẳng về vai trò của các biến,
mối quan hệ giữa các biến, từ đó xác định biến mới, điều kiện xác định của biến
mới và xây dựng được hàm số.
2.2 Thực trạng vấn đề
Học sinh trường THPT Nông Cống 3 là học sinh được tuyển từ vùng 3
của huyện Nông Cống, một vùng còn rất nhiều khó khăn, điểm tuyển sinh đầu
vào còn thấp. Trog khi đó bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một vấn đề
khó trong chương trình toán THPT. Vì vậy học sinh rất ngại khi gặp loại toán
này, các em thường không biết bắt đầu từ đâu, khai thác giả thiết đã cho như thế
nào, sử dụng sự đối xứng, hoặc tìm ra sự đối xứng của các biến, xác lập các
quan hệ có ích của các biến để có thể đánh giá cũng là một khó khăn lớn đối với
các em.
Trong năm học 2014 – 2015, khi chưa dạy chuyên đề này. Sau khi dạy
phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cho lớp 12A1, tôi cho lớp
làm bài kiểm tra thì kết quả thu được là khiêm tốn.
Kết quả qua bài kiểm tra thử ở lớp 12A1 - Trường THPT Nông Cống III
Điểm 8 trở lên
Năm học

lượng

Tỷ lệ

21

42.9%

2.3 Nội dung
2.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng.
Loại 1: Với mọi số thực a, b, c ta luôn có các kết quả sau:
i)

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

(a + b + c) 2
ii ) a + b + c ≥
3
2

2

2

iii ) (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca )
iv) a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c )
v) ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 3abc(a + b + c )

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
Loại 2: Với mọi số thực dương x, y, z ta có

1
1
3
+
+
≥
. Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
1 + x 1 + y 1 + z 1 + 3 xyz

2.3.2 Xét hàm một biến
Bài toán 1: Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 1 Thỏa mãn x + y + z =
biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2

3
tìm giá trị lớn nhất của
2

Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 khi đó

1
≤ z ≤1
2

2

9
3

Có P = x + y + z ≤  − z ÷ + z 2 = 2 z 2 − 3z +
4

4
4
4 8
2
2 
5
1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , khi x = 0, y = , z = 1 hoặc các hoán vị của nó.
4
2
Bài toán 2: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 ,
và x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y 5 + z 5
(Đề tuyển sinh Đại học Khối B năm 2012)
Lời giải
Từ giả thiết x + y + z = 0; x 2 + y 2 + z 2 = 1
Có: 0 = ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 2 x ( y + z ) + 2 yz = 1 − 2 x 2 + 2 yz
1
Nên yz = x 2 −
2
y2 + z 2 1 − x2
1 1 − x2
6
6
Mặt khác yz ≤
=
⇒ x2 − ≤
⇒−
≤x≤
2
2


P = x + (1 − x )  −(1 − x 2 ) x +  x 2 − ÷x  +  x 2 − ÷ x
2  
2


5
P = (2 x3 − x)
4
 6 6
3
;
Xét hàm số f ( x) = 2 x − x . ∀x ∈  −

3
3 

5

2

Có f '( x) = 6 x 2 − 1; f '( x) = 0 ⇔ x = ±

 6
6
6
f −
;
÷= f 
÷= −

Khi

6
6

5 6
36


6

6
x =
3
x =


3
⇔
 y + z = −x

y = z = − 6
1 1
2
 yx = x − =

6
2 6



t ∈  3;3

5 t3 − 5
Có f '(t ) = t − 2 = 2 > 0 ∀t ∈  3;3 do đó f(t) đồng biến trên  3 ;3
t
t
5
14
⇒ f ( 3) ≤ f (t ) ≤ f (3) ⇒
≤ f (t ) ≤
3
3
Vậy giá trị lớn nhất của A là

5
14
khi x = y = z = 1; giá trị nhỏ nhất của A là
3
3

khi hai trong ba số bằng 0 số còn lại bằng

3.

Bài toán 2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
3(a 2 + b 2 + c 2 ) + ab + bc + ca = 12
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

a 2 + b2 + c 2


2

+ 12 − 3(a 2 + b 2 + c 2 )

2
2
2
Đặt t = 24 − 5( a 2 + b 2 + c 2 ) vì a + b + c ∈ [ 3;4] nên t ∈ [ 2;3]

7


1
(24 − t 2 )
24 − t 2 1 2
24 12
Và P = 5
+ 12 − 3
= (3t − t + ) −
t
5
5
t
5
24
2
∀t ∈ [ 2;3]
Xét hàm số f (t ) = 3t − t −
t

3

3

3

y 
z
y 
z  y z   y z 


⇔  1 + ÷ + 1 + ÷ + 3  1 + ÷ 1 + ÷ + ÷≤ 5  + ÷
x 
x
x 
x  x x   x x 


y
z
Đặt a = ; b = , khi đó a, b là các số dương thỏa mãn 1 + a + b = 3ab và bất
x
x
đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(1 + a)3 + (1 + b)3 + 3(1 + a)(1 + b)(a + b) ≤ 5(a + b)3
⇔ 2 + 6a + 6b + 6a 2 + 6b 2 + a 3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 + 6ab ≤ 5(a + b)3
⇔ 2 + 6(a + b) + 6ab + 6a 2 + 6b 2 + (a + b)3 ≤ 5( a + b)3
⇔ 1 + 3( a + b) − 3ab + 3(a + b) 2 ≤ 2(a + b)3
⇔ 2(a + b) + 3( a + b) 2 ≤ 2( a + b)3

=
Đặt t = ab + bc + ca ⇒ 0 ≤ t = ab + bc + ca ≤
3
3
 1
2
t ∈ 0 ; 
Xét hàm f (t ) = t + 3t + 2 1 − 2t ,
 3
2
2
f
'(
t
)
=
2
t
+
3
−
,
f
''(
t
)
=
2
−
≤0.



a + b + 4c
a 2 + b 2 + 2ab + 4ac + 4bc
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a + b + a + b + 2(a + c ) + 2(b + c )
≤
≤ 2( a 2 + b 2 + c 2 )
2
4
9
−
Khi đó P ≤
2
2
2
a 2 + b 2 + c 2 + 4 2(a + b + c )
(a + b) (a + 2c)(b + 2c) ≤ (a + b)

Đặ t = a 2 + b 2 + c 2 + 4 ⇒ t > 2

+∞

4
0
5
8

-

5
8
5
Vậy giá trị lớn nhất của P là dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2
8
Nhận xét. Ngoài cách đánh giá và xét hàm như trên ta còn có cách đánh giá và
xét hàm như sau:
1
1
1
2
a 2 + b 2 + c 2 + 4 ≥ (a + b) 2 + (c + 2) 2 ≥ ( a + b + c + 2 ) ;
2
2
4
Từ bảng biến thiên ta có P ≤

3(a + b) ( a + 2c)(b + 2c) ≤ (3a + 3b)

a + b + 4c 1
= (3a + 3b)(a + b + 4c)

− 2 , ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ta được f (t ) ≤ f (6) = từ đây ta
t + 2 2t
8
cũng có kết quả tương tự.
Bài toán 3:
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x2
y+z
1 + yz
P= 2
+
−
x + yz + x + 1 x + y + z + 1
9
(Tuyển sinh Đại học Khối A, 2014)
Lời giải:
Ta có
0 ≤ ( x − y − z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 zx + 2 yz = 2(1 − xy − xz + yz )
⇒ x 2 + yz + x + 1 = x ( x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz ) ≥ x ( x + y + z + 1)
Xét hàm số f (t ) =

x2
x
≤
2
x + y + x +1 x + y + x +1
Mặt khác:
( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z ) + 2 yz = 2 + 2 yz + 2 x( y + z )
≤ 2 + 2 yz + [x 2 + ( y + z ) 2 ]=2 + 2yz + x 2 + y 2 + z 2 + 2 yz = 4(1 + yz )

t2
⇒ P ≤ f (t ) =
−
t + 1 36

t ∈ 0; 6 

1
t
(t − 2)(t 2 + 4t + 9)
− =−
⇒ f (t ) = 0 ⇔ t = 2
Ta có f '(t ) =
(t + 1) 2 18
18(t + 1) 2
Bảng biến thiên
t
f’(t)

0
+

2
0

6
-

11


≤
Lời giải: Trước tiên ta chứng minh kết quả sau đây:
2
2
1+ a 1+ b
1 + c2
Thật vậy: ab + bc + ca = 1 nên 1 + a2 = (a + b)(a + c); 1 + b 2 = (b +c)(b + a)
a
b
a
b
a (b + c) + b(c + a )
+
=
+
=
do đó:
1 + a 2 1 + b 2 (a + b)( a + c) (b + c)(b + a) ( a + b)(b + c )(c + a )
⇒ f (t ) ≤

=

5
9

1 + ab
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )

≤


Ta có f '(c) =
2
2
(1 + c ) 1 + c
T
f’(t)

1 + c2

+

0
+

3
0
10

+∞
-

f(t)

12


Từ bảng biến thiên của hàm số ta có P ≤ 10 , dấu bằng xảy ra khi
a = b = 10 − 3
a = b; c = 3
⇔

x
y
z
1
1
1
P=
+
+
=
+
+
2 x + 3 y y + z z + x 2 + 3 y 1 + z 1 + x Áp dụng BĐT (*)
Ta có
x
y
z
1
2
⇒P≥
+
x
y
x , dấu bằng xảy ra khi = 1 hoặc z 2 = xy
2+3
1+
y
x
y
Đặt

t ∈ [ 1;2]

 4t 4 − 3t 3 + 6t 2 − 3t + 9 
2t (2t 2 + 3) − 4t 3
2
f '(t ) =
−
= −2 
÷< 0, ∀t ≥ 1
2
2
2
(2t 2 + 3) 2
(t + 1) 2
 (2t + 3) (t + 1)


13


Suy ra P ≥ f (t ) ≥ f (2) =

34
34
. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi và chỉ khi
33
33

x 2

+
= +1=
2 x + 3x x + z z + x 5
5

Nếu z = xy ta có bảng biến thiên sau:
z

xy
0

1

P’(z)

-

4
+

P(z)
P ( xy )
Từ bảng biến thiên ta có P ( z ) ≥ P( xy ) =
=

x
+
2x + 3y

Đặt t =

2
t2
2
P( z ) ≥
+
= 2
+
,
3 1 + t 2t + 3 1 + t
2+ 2
t
1

x
y
+
+
2 x + 3 y y + xy

t ∈ [ 1;2]

14


Tới đây ta tiếp tục như cách 1.
Bài toán 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + c)(b + c) = 4c 2 . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
32a 3
32b3
a 2 + b2


 + 3÷  + 3÷
c
 c

a
b
( x > 0; y > 0)
Đặt x = ; y =
c
c
Khi đó điều kiện của bài toán trở thành xy + x + y = 3 và
32 x3
32 y 3
P=
+
− x2 + y2
3
3
( y + 3) ( x + 3)
Với mọi u > 0, v > 0 ta có
3
(u + v)3
u 3 + v 3 = (u + v)3 − 3uv(u + v) ≥ (u + v)3 − (u + v)3 =
4
4
3
3
 ( x + y ) 2 − 2 xy + 3x + 3 y 
 x

= ( x + y − 1)3 − ( x + y ) 2 + 2( x + y ) − 6
Đặt t = x + y ta có
( x + y )2
t2
3 = x + y + xy ≤ x + y +
= t + ⇔ (t − 2)(t + 6) ≥ 0 ⇔ t ≥ 2
4
4
P ≥ f (t ) = (t − 1)3 − (t 2 + 2t − 6

f '(t ) = 3(t − 1) 2 −

∀t ≥ 2

t +1
t 2 + 2t − 6

Với t ≥ 2 ta có 3(t − 1) 2 ≥ 3 và

t +1
t 2 + 2t − 6

= 1+

7
7 3 2
≤
1
+
=

+
+
Ta có P =
2
2
(1 + y ) (1 + z ) 8 − (1 + x) 2
1
1
1
+
≥
Đầu tiên ta chứng minh BĐT
(*)
2
2
(1 + y ) (1 + z ) 1 + yz
Thật vậy
1
1
1
2
+
≥
⇔ (1 + yz ) (1 + z ) 2 + (1 + y ) 2  ≥ [ (1 + y )(1 + z ) ]
2
2
(1 + y ) (1 + z ) 1 + yz
⇔ (1 + yz )(2 + 2 z + 2 y + z 2 + y 2 ) ≥ (1 + yz + z + y ) 2
⇔ 2( z + y )(1 + yz ) + 2(1 + yz ) + (1 + yz )( y − z ) 2 + 2 yx(1 + yz )
≥ (1 + yz ) 2 + 2(1 + yz )( y + z ) + ( y + z ) 2

2
4 + (1 + x) 8 − (1 + x) 2

Do −1 − 2 2 < x < −1 + 2 2 ⇒ (1 + x) 2 ∈ [ 0;8]
2
Đặt t = (1 + x) ⇒ t ∈ [ 0;8] và P ≥ f (t ) =

Có

4
1
+
,
4+t 8−t

∀t ∈ [ 0;8]

4
1
−3t 2 + 72t − 240
f '(t ) = −
+
=
⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 4; t = 20
(4 + t ) 2 (8 − t ) 2
(4 + t ) 2 (8 − t ) 2

(loại)
Bảng biến thiên



3
khi x = -3, y = z = 1
4

Bài toán 5 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [ 1;3] và thỏa mãn điều kiện
a + b + c = 6 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 + 12abc + 72 1
P=
− abc
ab + bc + ca
2
( Đề thi THPT Quốc gia 2015)
Giải. Ta có
2
( ab + bc + ca ) = a 2b2 + b 2c 2 + c 2a 2 + 2abc(a + b + c) = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 + 12abc

( ab + bc + ca )
⇒P=

2

+ 72 1
− abc
ab + bc + ca
2
(a + b + c) 2
= 12
Đặt x = ab + bc + ca ≤
3

a + b + c = 6
a = 1


160
⇒ P ≤ f ( x) ≤ f (11) =
dấu " = " khi ab + bc + ca = 11 ⇔ b = 2
11
abc = 6
c = 3


160
Vậy giá trị lớn nhất của P =
khi a = 1; b = 2; c = 3.
11
2.3.5 Phương pháp tiếp tuyến
Đối với một số hàm số, tiếp tuyến tại một điểm nào đó luôn nằm trên hay
nằm dưới đồ thị hàm số.
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng I, liên tục và có đạo hàm trên I
khi đó tiếp tuyến tại điểm x0 ∈ I có phương trình y = a( x − x0 ) + b sẽ luôn nằm
trên hoặc nằm dưới đồ thị của hàm f(x).
f ( x) ≤ a ( x − x0 ) + b hoặc là f ( x) ≥ a ( x − x0 ) + b ∀x ∈ I
Do đó
x1 , x2 ,......, xn ∈ I ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( x2 ) ≤ a ( x1 + x2 + .... + xn − nx0 ) + nb
Hoặc là f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( x2 ) ≥ a( x1 + x2 + .... + xn − nx0 ) + nb
Bài toán 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a
b

Do vậy ta sẽ chứng minh
với 0 < x < 3
3− x
4
Giải.

18


Do tính thuần nhất của ba biến a, b, c nên không mất tính tổng quát giả sử
a + b + c = 3 khi đó bất đẳng thức trở thành

a
b
c
3
+
+
≥
3− a 3−b 3−c 2

a
3a − 1
≥
3−a
4
a
3a − 1
≥
⇔ 4a ≥ −3a 2 + 10a − 3 ≥ 0 ⇔ 3( a − 1) 2 ≥ 0

4
a
b
c
9
+ 2
+ 2
≤
2
a + 1 b + 1 c + 1 10
1
Bất đẳng thức có dấu bằng tại a = b = c = nên ta viết phương trình tiếp tuyến
3
Ta chứng minh

1
x
tại x = của hàm số f ( x) = 2
3
x +1
1
1
1 36 x + 3
Tiếp tuyến có phương trình: y = f '( )( x − ) + f ( ) =
3
3
3
50
a
36a + 3

c
36a + 3 + 36b + 3 + 36c + 3 9
+ 2
+ 2
≤
=
Cộng các vế có 2
a +1 b +1 c +1
50
10
1
Dấu " = " khi a = b = c =
3

19


Bài toán 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất
3b − c
3c − a 
 3a − b
+ 2
+ 2
của biểu thức. P = (a + b + c)  2
÷
 a + ab b + bc c + ca 
(Khảo sát chất lượng lớp 12 THPT năm học 2015 – 2016)
Lời giải
Đây là bất đẳng thức thuần nhất với cả ba biến a, b, c nên ta có thể chuẩn
hóa a + b + c = 1

− +
−
a + b a b + c b c + a c 1− c a 1− a b 1− b c
5a − 1 5b − 1 5c − 1
P=
+
+
a − a 2 b − b2 c − c2
1
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên b + c > a ⇔ 1 − a > a ⇔ a