A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết.
Giải pháp mới của tôi là:
"Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức"
Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết:
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7, đặc biệt hai năm học liên tiếp
( 2016-2017 và 2017-2018 ) và tham khảo đồng nghiệp, bản thân tôi và
nhiều GV cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để HS thấy dễ hiểu.
Còn HS thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệ thức. Kết quả học tập
của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học
sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo, chặt chẽ, trình bày sáng sủa khoa
học, song cũng có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự
sáng tạo.Tôi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy HS thấy toán về tỉ
lệ thức dễ hiểu, dễ học. Tôi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếp bài tập tỷ lệ
thức sao cho các em có thể giải được bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng
nhất.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
Giúp cho học sinh có được phương pháp giải toán đạt hiệu quả cao, rèn
được kỹ năng, vận dụng kiến thức suy luận logic chặt chẽ khi giải toán.
Để các em thấy yêu thích loại toán về tỉ lệ thức, từ đó có đam mê học toán.
Thông qua đó hình thành phẩm chất, nhân cách và năng lực mới của HS.
3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu
- Trong chương trình toán đại số lớp7
- Học sinh lớp 7C trường THCS NHƯ QUỲNH
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
 Cơ sở lý luận:


Bất kỳ một môn học nào trong trường phổ thông cũng có nhiệm vụ là


2. Thời gian tạo ra giải pháp, các biện pháp tiến hành.
- Thời gian tạo ra giải pháp: Năm học 2017-2018
- Các biện pháp tiến hành: khảo sát thực tiễn, đánh giá, dùng bảng
đối chiếu, trao đổi kinh nghiệm, trao đổi tài liệu, thu thập và xử lý
thông tin.
Biện pháp khảo sát thực tiễn bắt đầu vào phần luyện tËp nhằm
phát hiện, đánh giá chất vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để
đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát.
Câu 1. Tìm x, y, z biết:
x y z
  và x + y + z = 150
2 3 5

Câu 2. Tìm x, y biết:
x y
 và x.y = 300
3 4

Câu 3. Tìm x, y, z biết
x y y z
 ;  và 2x - 3y + z = 6
3 4 3 5

Đáp án:
Câu 1. Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
x y z x  y  z 150
  



* Với k=5  
 y 4.5 20
 x 3.( 5)  15

* Với k=-5  
 y 4.( 5)  20
Câu 3.

x y
x y
  
3 4
9 12
y z
y
z
 

3 5
12 20



x y
z
 
9 12 20

Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:


%

Số lượng

%

Số lượng

%

30

88%

2

6%

2

6%

+ Đối tượng I (30 em chiếm 88%) chỉ mới làm được bài 1.

4


+ Đối tượng II (2 em chiếm 6%) các em đã làm được bài 1 và bài 2.
Song vẫn còn một số em mắc sai lầm:

Phân dạng bài tập riêng cho các sai lầm hay mắc phải.
- Khả năng và phạm vi ứng dụng:
5


Môn toán, đặc biệt đại số lớp 7 chương I- Số hữu tỉ, số thực, chương
II- Hàm số và đồ thị.
Môn vật lý 7, 9 phần Quang học.
- Hiệu quả sau áp dụng:
Chất lượng dạy và học được nâng cao, đối với bài tập về tỉ lệ thức
GV thấy dễ dạy, HS học thấy dễ hiểu và yêu thích loại toán này.
HS vận dụng vào giải các bài tập toán và bài quang hình học trong
môn vật lý dễ dàng.
- Kết quả thực hiện
Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy:Các em làm bài tập toán với một
phong cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách
giải. Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải
khác nhau. Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán.
Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài
kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận
thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.
Dưới đây là một ví dụ: Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như
sau:
Đề bài:
Câu 1. Tìm x, y, z biết:
3x = 2y; 7y = 5z và x - y + z = 32
Câu 2. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b+d) (b  0; d  0) thì
a c

b d


x = 2.10 = 20
y = 2.15 = 30
z = 2.21 = 42
Vậy x = 20; y = 30; z = 42

Câu 2.
Từ

2bd = c(b+d)



2bd = bc + dc



(a+c)d = bc + cd



ad + cd = bc + cd



ad = bc



a c

x y z
  =k
4 6 9



x = 4k
y = 6k
z = 9k



x3 + y3 + z3 = (4k)3 + (6k)3 + (9k)3 = 1009
= 1009k3 = 1009
7




k3 = 1  k=1



x = 4.1 = 4
y = 6.1 = 6
z = 9.1 = 9
Vậy 3 số nguyên đó là 4; 6; 9

Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (xem bảng
dưới đây)

Đối tượng I: Có 2 em chỉ mới làm được câu 1.

Đối tượng II: Có 16 đã làm được hai câu 1 và 2 hoặc 1 và 3
Đối tượng III: Có 16 em đã làm hoàn chỉnh cả 3 bài;
Có 4 em gặp lúng túng khi đến

x y z
 
4 6 9

2. Các giải pháp thực hiện
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng
cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng
của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt
những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để
làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng
toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:
Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết
Bài toán 1: Tìm x, y biết:
a)

x y
 và xy = 90
2 5

b)

x y
 và xy = 252
7 9

Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích
hợp.
Đặt

 x 2k
x y
 k  
2 5
 y 5k

Mà xy = 90 

2k.5k = 90
10k2 = 90
 k 3

k2 = 9  
 k  3
* Với k = 3 

x = 2.3 = 6
y = 5.3=15

* Với k = -3 

x = 2.(-3) = -6
y = 5.(-3) = -15

Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15)



y2
9  y 2 225  y 15
25

Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
Qua việc hệ thống hoá, khái quát hoá và chọn hướng đi cho các em
để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.
Bài toán 2. Tìm x, y, z biết
a)

x y y z
 ; 
và x + y + z = 37
2 3 5 14

b)

x y y z
 ;  và 2x + 3y - z = 186
3 4 5 7

c)

x y y z
 ;  và x + y + z = 92
2 3 5 7

d)

10




y
x y z
x
z
37
  
 1
10 15 12 10 15 12 37



x = 10.1 = 10
y = 15.1 = 15
z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung
gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu
xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất
của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán
cho thích hợp.
x y
x 1 y 1
x
y

x = 15.3 = 45
y = 20.3 =60
z = 28.3 = 84
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù
hợp cho phần c và d.
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết
a)

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158

b)

2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60

c)

2x = 3y = 5z và x + y - z = 95

Giải:
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song
tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
11


tích hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải
và chọn lời giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ
đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

z
158
  

2
40 24 15 40 24 15 79



x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Hướng thứ hai (ít dùng): Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân
của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó
các em có lời giải của bài toán như sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
3x.

Từ 3x = 5y = 8z
Hay

1
1
1
5y.
8z.
120
120

.24080
3

12


y=

1
.24048
5

z=

1
.24030
8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ
đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp
các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các
em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:
+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y
+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z


10x = 15y = 21z


10

y=

1
.84056
15

z=

1
.84040
21

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng
toán này.
Bài toán 4. Tìm x, y, z biết rằng
a)

x 1 y 2 z 2


vµx  2y  z 12
5
3
2

b)






5
3
2
2.3
6
x  1 2y  4  (z  2) x  2y  z  3 12 3



1
5 6  2
9
9


x-1=5  x =6
x-2=3  y=5
z - 2 = 2  z =4

Hướng thứ hai: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải
sau:
x 1 y 2 z 2


k
5




k=1

Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y=3.1+2=5
z=2.1+2=4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng
để tự giải phần (b) và (c) của bài toán 4.
14


Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng
a)

y
x
z


x  y  z
y  z1 x  z1 x  y  2

b)

y  z1 x z 2 x  y 3
1




x + y = 0,5 - z
y + z = 0,5 - x
x + z = 0,5 - y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
y  x 1
0,5  x  1
2 
2  0,5 - x + 1 = 2x
x
x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
x  z  2 0,5 y  2

2
y
y

 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y=

x  y  3 0,5 z  3

2
z
z

5


c
Ta có các phương pháp sau :
d

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề
b d

bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức
đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh
theo k.
Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của
đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành
vế phải.
Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng
thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập

16


a
b

Bài 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: 
ra tỷ lệ thức:

Ta có:
a  b bk  b b  k  1 k  1



(1), (b �0)
a
bk
bk
k
c  d dk  d d  k  1 k  1



(2), (d �0)
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ
Ta có:
Do đó:

a b cd

a
c


a b c d

�

c cd
a
c

- Cách 5: từ
17

c
hãy suy
d


a c
b d
b
d
 �  �1  1
b d
a c
a
c
a b c d
�

a
c


2a  5b 2c  5d

3a  4b 3c  4d

c)

2a  3b 2c  3d

2a  3b 2c  3d

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống
hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán
để tìm hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để
chứng minh phần a.
Đặt

a c
 k  a = bk
b d

c = dk
Ta có:
a  b bk b b(k  1) k  1



a  b bk b b(k  1) k  1
a b c  d


(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
c d c d

a b c  d

(hoán vị các trung tỷ)
a b c  d



Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ
vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức:
Từ

a c
 ad = bc

b d

Xét tích:

(a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd
(a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd



(a - b) (c + d) = (a+ b) (c - d) (cùng bằng ac - bd)




b)

 a b 2
 c  d 2



ab
cd

d)

 a b 2
 c  d 2



(a  b)2
(c  d)2

Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ
tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về luỹ
thừa và kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận
biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại công thức:
a c
 
Nếu:
b d


 b

      2  2 
cd b
2cd c2  2cd d2
d
 c
 d

2

 a b 2
Hay
 c  d 2

2



ab
cd

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày
được lời giải phần a, b, d và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương
pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức.
a b
a2  b2 a

Bài toán 4: Cho
. Hãy chứng minh 2 2 

b b c c b
c
b  c2

mà

a b
 b2 = ac

b c

Từ (1) và (2) 



a2 a2 a
  (2)
b2 ac c

a2  b2 a
 (Đpcm)
b2  c2 c

20

a b
 với chính bản thân nó
b c



1
8
y y
9
9

Số gạo lúc sau ở kho C là:

z

2
5
z z
7
7

Theo bài ta có:

8
8
5
x  y  z (1) và y- x = 20
7
9
7

Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có:
y
y x
x

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề
bài. Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động
trên một đoạn đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và
thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức:
v1 t2

và các em đã có hướng đi tìm t1, t2.
v2 t1

Giải: Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực
đi; t2 là thời gian thực đi.
v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ
nghịch. Do đó:
v1 t2
3

v1
mà
v
2 =
v2 t1
4

22


t2
v
t t

Bài toán 5:
Tìm tỷ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai
đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5, 7, 8.
Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức.
Tôi đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng
trong tam giác. Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời
giải của bài toán.
Giải:
Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0) và 3 đường
cao tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc >0).

23


Theo bài ra ta có: (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trò
của ha, hb, hc như nhau).
Ta có công thức:
SABC =

aha bhb chc


(1)
2
2
2

ha  hb hb  hc hc  ha



hb = 2k

Thay ha, hb, hc vào (1) ta có:
a.3k b.2k c.5k


2
2
2

a.3k = b.2k = c.5k


3a = 2b = 5c



3a.

1
1
1
a
b c
2b. 2c.   
30
30
30 10 15 6

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6

____________________
0a+b+c27
mà

a  b  c 9
 a  b  c 18
a  b  c 27

(a+b+c)  9

* Với a + b + c = 9



a b c 9
    Z loại
1 2 3 6

* Với a + b + c = 18



a b c 18
   3 Z
1 2 3 6



a = 3; b = 6; c = 9