SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN"

1


A.

ĐẶT VẤN ĐỀ.

Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5). Ở
trường phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động
toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hoàn
thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông.
Toán học là môn học nghiên cứu về “ hình và số”. Môn toán được chia thành nhiều
phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích là ngành toán học nghiên
cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Các yếu tố
được nghiên cứu trong giải tích thường là mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”. Vì vậy tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải các bài toán giải tích trong trường THPT là rất khó khăn.
Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua các quá trình quan sát
có thể nhận thấy rằng : học sinh rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn và sai lầm khi đứng
trước những bài toán giải tích nói chung và các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy toán giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những
bài toán liên quan đến tích phân.
Những khó khăn, sai lầm của học sinh được thể hiện trong quá trình làm bài tập, làm

Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất các
khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
-

Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý.

-

Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải.

2.

Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.

-

Kĩ năng : lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bài toán.

-

Tư duy : Phân tích, so sánh, tổng hợp.

-

Phương pháp : phương pháp giải toán.

3.

Đổi mới phương pháp dạy học.


nâng cao.
-

Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát( phát triển ) bài toán.

III. Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong quá trình giải toán
về tích phân.
Học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau đây khi giải những bài toán liên quan
đến tích phân và ứng dụng.
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân.
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

1

 x  1

2

dx

0

*Học sinh đã trình bày như sau :
2

I=

1

x  12

không xác định tại x = 1  [0 ;2] nên hàm số không liên tục trên

[0 ;2].Do đó không tồn tại tích phân trên.
*Như vậy cần ghi nhớ :
b

Tích phân I =  f x dx chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm số liên
a

tục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học dể tính tích phân trên. Còn nếu
không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
4


Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép tính tích
phân đó.
2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân.
1

3
Ví dụ 2: Tính tích phân I =  3x  1 dx
0

*Học sinh đã trình bày như sau :
1

1
3

4
 . 3x  1
Ta có : I =  3x  1 dx   3x  1
3
3 4
1

1

1

3

0



0

0

15
12

3. Sai lầm khi biến đổi hàm số.
3

Ví dụ 3 : Tính tích phân I =



0

2

3
0



3
2

*Nguyên nhân của sai lầm :
Phép biến đổi : x  22  x  2 , x  0;3 là không tương đương.
*Lời giải đúng :

5


3

I 

3

0

 2

2




0

1 5

2 2

*Học sinh cần ghi nhớ :
b

Do đó :



b

2n

f

2n

x dx  

a

2n


0

0

sin x  cos x 





2

dx   cos x  sin x dx 

0

0

 11  2

0

*Nguyên nhân của sai lầm :
Phép biến đổi : cos x  sin x 2  cos x  sin x , x  0;   là không tương đương.
*Lời giải đúng :


I 

cos x  sin x 

 cos x  sin x dx

3
4

 2 2 1

4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
2

Ví dụ 5 : Tính tích phân I =

x

2

1

1
dx
 4x  5

*Học sinh đã trình bày như sau :
2

dx  arctan x  2
2


x




x  2  tan t  dx  1  tan 2 t dt

Đổi cận :

x 1 t  


4

x2t 0
0

Khi đó : I 

1  tan t dt 

 tan



0

2

2

t 1

x  x0  a tan t .

5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số.
6

Ví dụ 6 : Tính tích phân I =



3  2x
1  4x

2

dx

*Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt

u  1  4 x  u 2  1  4 x  dx 

 5u u 3 
u2  5
I 
du    
4
 4 12 
2
6


u2  5
du    
4
 4 12 
3

5

Khi đó : I  

1
4

Ví dụ 7 : Tính tích phân I =

5



3

x3



1 x2

0

128

tdt 

0

1
4

 cos3 t

cos t  1 d cos t  
 cos t 
 3



0

2



ar sin

1
4

0

Học sinh lúng túng không tính ra được kết quả vì số lẻ.
*Nguyên nhân của sai lầm :


1

2



15
4
1



2 33 15

3
192

6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần.

2

Ví dụ 8 : Tính tích phân I =  x sin xdx
0

*Học sinh đã trình bày như sau :
8


Đặt



Khi đó : I   x cos x

2
0

2

  cos xdx  sin x


2
0

1

0

7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 9 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
trục hoành.

y  x 2  1;

x = 2; trục tung và

*Học sinh đã trình bày như sau
2
 x3

2

x3 
S   x 2  1 dx   1  x 2 dx   x 2  1 dx   x  
3 

0
0
1









 x3

 
 x 
0
 3


1

2
1

 2 3 x2

x  x  6 dx  
x 
 6 x 
2
3


9
4



91
(đvdt)
6

*Nguyên nhân của sai lầm :
- Phép biến đổi x  6  x  x  6  x2 là không tương đương.
- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị y  x ; y = x – 6 (miền
AOB) trong khi miền cần tính là miền AOC.
*Lời giải đúng :
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị :
+

6  x  0
x 6x
 x4
2

0

4

9
4



22
(đvdt)
3

9. Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y =
0 ; x = 1 ; x = 2.
*Học sinh đã trình bày như sau :
Ta có :

y  ln x  x  e y
2

 VOy

e2y
   e dy  
2
1
2y


cận.
+ Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do đường
cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0;ln2].
*Lời giải đúng :
Ta có :

y  ln x  x  e y

Đổi cận :

x 1 y  0
x  2  y  ln 2

y

y=lnx
ln2
11


o

1

 VOy  

 2

ln 2


1.Tính các tích phân sau :

2

a.

3

1

 2 x  3

2

dx

b,

1




tan 2 x  cot 2 x  2dx

6



c,

những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng toán tích phân đã nêu.
2

Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I =

1

 x  1

2

dx .

0

Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đưa ra ví dụ trên để học sinh tự
làm. Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ra ghi
nhớ cuối cùng.
12


Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi làm các bài
tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
Kết quả thu được như sau :
Lớp

Sĩ số HS giải đúng

HS giải sai


khả quan.
Chẳng hạn :


Bài 1 : Tính tích phân

I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009)
0

Kết quả thu được như sau :
Lớp

Sĩ số HS giải đúng

HS giải sai

HS không
được

12C8

40

36(90%)

3(7,5%)

1(2,5%)

35(83,3%)

32(80%)

6(15%)

2(5%)

33(78,5%)

5(12%)

4(9,5%)

12C10 42

C.

giải

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.

Đề tài nghiên cứu của tôi đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm thường gặp của
học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân. Với lượng kiến thức nhất định về
nguyên hàm, tích phân và ứng dụng học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm
mắc phải khi giải toán. Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho
mình.
Bài viết này của tôi cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như là một tài
liệu tham khảo.Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng thực tiễn góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học toán.
Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế trên lớp tôi
đã đi sâu nghiên cứu đề tài này. Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thu được kết quả