SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

ĐỀ TÀI

DÙNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
Nhóm nghiên cứu: Phạm Thị Xuân Đoan , Nguyễn Hồng Tính
Đơn vị: Trường THPT Trần Phú

Năm học: 2012 – 2013


MỤC LỤC

1. Tóm tắt đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2.1. Hiện trạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 1
2.2. Giải pháp thay thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài . . . . . . . . . . . . trang 2
2.4. Vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.5. Giả thiết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2
3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
3.1. Khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2
3.2. Thiết kế nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4.1. Phân tích dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
4.2. Bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
5. Kết luận và khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5

đại số hay tọa độ hóa chúng quả thật là rất thuận lợi, đặc biệt là đối với những học
sinh có trí tưởng tượng trong hình học không được phong phú. Cho dù biết rằng
mỗi bài toán hình học đẹp với bản chất hình học của nó chứ không phải ở bản chất
đại số. Giải một bài toán hình học bằng đại số, là chỉ cần tính toán mà không phải
cầu kì về hình vẽ. Điều này càng chứng minh câu nói của Descast là có căn cứ. Ở
trường phổ thông hiện nay, giáo viên cũng đã vận dụng phương pháp tọa độ để giải
toán hình học nhưng chưa nhiều, cần có những nghiên cứu tiếp tục bổ sung góp
phần nâng cao hơn nữa chất lượng dạy hoc.
Xuất phát từ những điều trên nên chúng tôi nghiên cứu đề tài :
DÙNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
nhằm góp phần tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện
và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học các tiết luyện tập hình học lớp 12
nâng cao.
1


Qua việc thăm lớp, dự giờ trước khi tác động, chúng tôi nhận thấy học sinh
rất lúng túng khi giải các bài toán hình học bởi vì học sinh không những phải quan
sát hình vẽ một cách kỹ càng mà còn phải tư duy logic. Để thay đổi hiện trạng trên,
đề tài nghiên cứu này đã sử dụng giải pháp đại số hóa hình học.
2.2 Giải pháp thay thế
Gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ để giải các bài toán
hình không gian bằng phương pháp tọa độ.
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài
Vấn đề dùng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình không gian đã có
rất nhiều bài viết. Ví dụ :
- “ Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toán
hình học không gian” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,
năm 2000.


- Về chương trình học: Hai lớp 12A1 và 12A2 là hai lớp chọn của trường,
cùng học chương trình nâng cao.
- Về ý thức học tập: Tất cả các học sinh ở hai lớp này đều tích cực, chủ động.
- Về thành tích học tập của năm học trước: Hai lớp tương đương nhau về
điểm số ở tất cả các môn học.
3.2. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp nguyên vẹn: Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm, lớp 12A2 là lớp đối
chứng. Chúng tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết môn toán làm bài kiểm tra trước tác động.
Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự khác nhau, do đó
chúng tôi dùng phép kiểm chứng t-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tƣơng đƣơng.
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
6,3
6,0
p
0,3418
P = 0,3418 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp thực
nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương đương.
Kiểm tra trước và sau tác động của hai lướp tương đương được mô tả trong bảng 1.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu:
Nhóm
Kiểm tra trước
TĐ
Thực nghiệm
O1

Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học sinh học xong
chương I : “Khối đa diện và thể tích của chúng ” do tổ Toán thống nhất nội dung và
ra đề chung cho toàn khối 12.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong phần phương pháp
tọa độ trong không gian do hai giáo viên dạy toán lớp 12A1 và 12A2 cùng thống
nhất và thiết kế. Bài kiểm tra sau tác động gồm 1 câu tự luận.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các phần về phương pháp tọa độ trong không gian,
chúng tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( nội dung kiểm tra ở phần phụ lục), sau đó tiến
hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1. Phân tích dữ liệu
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
8,1
7,2
Độ lệch chuẩn
0,842
0,996
Giá trị p của t-test
0,00003
Theo trên đã chứng minh được rằng kết quả hai lớp trước tác động là tương đương.
Sau tác động, kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng t-test cho kết quả p =
0,00003 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình lớp thực nghiệm
cao hơn điểm trung bình lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác
động. Hơn nữa điều này cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy hình không gian có
trang bị phương pháp tọa độ của lớp thực nghiệm là lớn.

- Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp
vụ, luôn trau dồi kiến thức và phương pháp sư phạm. Đặc biệt, biết khai thác thông
tin trên mạng internet, có kĩ năng sử dụng thành thạo các trang thiết bị dạy học hiện
đại và các phần mềm toán học.
- Đối với các cấp lãnh đạo: Cần quan tâm về cơ sở vật chất và đội ngũ giáo
viên. Cụ thể cần trang bị đầy đủ phòng học, đủ các trang thiết bị, giảm số lượng học
sinh trên mỗi lớp. Biên chế đủ giáo viên trên từng bộ môn ( có thể dư) để tăng tiết
học tự chọn ở mổi lớp.
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toán
hình học không gian – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,
năm 2000.
- Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sử
dụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian – luận
văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004.
- Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học về
phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT – luận văn thạc sĩ của Nguyễn
Thị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008.
- Tuyển tập 750 bài toán hình học 12- Nguyễn Sinh Nguyên (chủ biên)- Nhà
xuất bản Đà Nẵng.
- 1234 bài tập tự luận điển hình Hình học, lượng giác- Lê Hoành Phò- Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
- Mạng internet: ;

5


7. PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Giáo án giảng dạy trong các tiết tự chọn.
I. Mục tiêu:

- Gọi 1 học
gán hệ tọa độ
y
M
A
sinh nêu cách
N
D
gán hệ tọa độ
C
B
vào hình vẽ.
x
- Gọi 1 học
sinh nêu cách - Nêu cách
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,
chứng minh
chứng minh
B  Ox, D  Oy, A’  Oz.
đường thẳng
đường thẳng
Từ đó suy ra: A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0),
vuông góc với vuông góc với A’(0 ; 0 ; a) , B’(a ; 0 ;a) ,
mặt phẳng.
mặt phẳng
C’(a ; a ; a) , D’(0 ; a ; a).
- Gọi 1 học
a). Ta có A ' C  (a; a; a) , AB '  (a ;0; a) ,
sinh lên bảng
AD '  (0; a ; a)

góc

- Gọi 1 học
sinh nêu công
thức tính góc
giữa hai vecto
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Gọi 1 học
sinh nêu các
công thức tính
thể tích của
một khối tứ
diện
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Nêu công
thức tính góc
giữa hai vecto

a
a
; 0) , N (a ; 0 ; )

a
- Nêu các
A ' M  (0 ; ;  a )
công thức tính
2
thể tích khối
a2 2 a2
  A ' N . A ' M   ( ; a ; )
tứ diện
4
2
1
a3
Vậy : VA'CMN   A ' N . A ' M  . A ' C 
( đvtt)
6
8
- Trình bày
bài giải
2

7


Hoạt động 2:
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2 , SC  (ABC). Tam giác
ABC vuông tại A. Các điểm M SA , N BC sao cho AM = CN = t ( 0 < t < 2a ).
a). Tính độ dài đoạn MN. Tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
b). Khi đoạn MN ngắn nhất , chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung
của BC và SA.

A( 0 ; 0 ; 0), B(0 ; a 2 ; 0) , C( a 2 ; 0 ; 0),
S( a 2 ; 0 ; a 2 )
- Gọi 1 học sinh - Nêu công thức
a). Từ giả thiết ta suy ra :
nêu công thức
tính độ dài
t 2
t 2
tính độ dài
đường thẳng
;0;
M 
 và
2
2
đường thẳng.


- Gọi 1 học sinh - Trình bày bài
lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh


t 2 t 2 
;


 
3 
3
3

2a
a 6
Vậy MN ngắn nhất bằng
khi t =
.
3
3
8


- Gọi 1 học sinh
nêu cách chứng
minh MN là
đoạn vuông góc
chung của hai
đường thẳng
chéo nhau.

- Nêu cách
chứng minh
MN là đoạn
vuông góc
chung của hai
đường thẳng


3
3
3



Ta lại có : SA  ( a 2 ; 0 ;  a 2 ) và
BC  (a 2 ;  a 2 ; 0)

 MN . SA  0
Do đó : 
 MN . BC  0
 MN là đường vuông góc chung của SA và
BC.

9


Hoạt động 3:
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD , SA  (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a ,
AD = b , SA = 2a. Gọi N là trung điểm SD.
a). Tính d(SB, CN).
b). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
1
c). Gọi M là trung điểm SA . Tìm điều kiện của a và b để cos CMN =
.
3
Hoạt động của Hoạt động của

- Gọi 1 học
sinh nêu công
thức tính
khoảng cách
giữa hai đường
thẳng chéo
nhau.

- Nêu công
thức tính
khoảng cách
giữa hai đường
thẳng chéo
nhau

- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Trình bày bài
giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,
B  Ox, D  Oy, S  Oz.
Từ đó suy ra : A( 0 ; 0 ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) ,
B(a ; 0 ; 0) , C(a ; b ; 0) , D(0 ; b ; 0).


- Nêu công
thức tính góc
giữa hai mặt
phẳng

- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh
- Gọi 1 học
sinh nêu cách
tính góc CMN
- Gọi 1 học
sinh lên bảng
trình bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

- Trình bày bài
giải

n1   SC , SD   (0 ; 2a 2 ; ab )
SC  (a ; b ;  2a ) và SB  (a ; 0 ;  2a ) .



MC . MN
2a 2  b 2
Do đó :
b



2a 2  b 2
 ab

11



1
b
1


2a 2  b 2
3
3


Hoạt động 4:
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = 2a , AA’ = a 2 ;
M là một điểm thuộc đoạn AD , K là trung điểm của B’M
a). Đặt AM = m ( 0 < m < 2a ). Tính thể tích tứ diện A’KID theo a và m,
trong đó I là tâm hình hộp.

lên bảng trình
giải
bày
- Nhận xét và
hoàn chỉnh bài
giải của học
sinh

C
A
B
x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với D,
A  Ox, C  Oy, D’  Oz.
Từ đó suy ra D( 0 ; 0 ; 0), D’(0 ; 0 ; a 2 ),
A(2a ; 0 ; 0) , B(2a ; a ; 0) , C(0 ; a ; 0).
a). Ta có : M (2a – m ; 0 ; 0 )


m a a 2
a a 2
; ;
K  2a 
 , I a ; ;

2
2
2
2

A' K    ; ; 

2
2
2


1
Vậy : VA' KID   A ' D , A ' I  . A ' K
6
1 ma 2 2 a 3 2
1 2
 


a 2 (2a  m)
6
4
2
24
12


- Gọi 1 học sinh - Nêu cách tìm
nêu cách tìm
thiết diện
thiết diện.
- Gọi 1 học sinh - Nêu cách giải
nêu cách giải
câu b).


và


a 2
B'N  0 ; a ; 
 ,
2





B ' C   2a ; 0 ;  a 2



 a2 2 a2 2 2 
;
;a  ;
  B ' M , B ' N    
2
2


 B ' M , B ' C   a 2 2 ; a 2 2 ; 2a 2


1
 S B ' MN   B ' M , B ' N 

13


Phụ lục 2 : Đề và đáp án kiểm tra sau tác động
Đề kiểm tra sau tác động
Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp
:....................
Đề kiểm tra :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xét hai điểm
M AD’, N BD sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 ) và P là trung điểm B’C’.
a). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC.
b). Tính thể tích khối tứ diện APBC.
c). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
d). Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung
của AD’ và BD.

14


Đáp án bài kiểm tra sau tác động

z
A'
B'

D'
C'

M

AP . BC '

1

2

 = 450

a
; a ) , AB = (a ; 0 ; 0) , AC ' = ( a ; a ; a)
2
a2
2
  AP . AB   (0 ; a ;  )
2
1
a3
Vậy : VAPBC '   AP . AB  . AC ' 
( đvtt)
6
12
c). Theo giả thiết MAD’, N BD , AM = DN = k
k a 2 k
k
k
;
; 0)
;
) và N (
 M (0 ;

 
 

b). Ta có : AP  (a ;

15


= 3k2 – 2a 2 k + a2 với 0 < k < a 2
2

a 2k
a2 
a2
2
 MN = 3  k 
   
9
9
2 


a 2
a2
2
MN nhỏ nhất bằng
khi k =
3
9
a


Họ và tên

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

Nguyễn Thị Kim Lành
Đoàn Nữ Ái Linh
Hồ Yến Loan
Nguyễn Thị Khánh Ly
Trần Nguyễn Trúc Ly
Ngô Thị Thu Nga
Phan Trần Hiếu Nghi
Châu Ngọc Nha
Bùi Thị Ý Như
Phan Kiều Lam Phương
Trần Minh Quốc
Nguyễn Thị Hồng Thắm
Lê Văn Thiện
Hoàng Thị Kim Thoa

Điểm kiểm tra
trƣớc tác động
7
6
7
8
6
8
9
7
9
7
5
6
8

7
9
10
8
9
8
7
8
9
10
8
8
8
8
9
8
9
8
7
9
7
8
8
8
7
8
8
7
7
8

7
8


Lớp đối chứng ( lớp 12A2)
TT

Họ và tên

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

Võ Nhật Linh
Ngô Hoàng Phương Linh
Bùi Thị Hạnh Nhân
Huỳnh Thị Quỳnh Như
Nguyễn Thanh Phong
Nguyễn Thị Trúc Phương
Cao Thị Bích Phượng
Nguyễn Thị Lệ Quyên
Phạm Xuân Quỳnh
Phạm Thanh Sang
Lê Cao Nhất Sinh
Nguyễn Tấn Thành
Nguyễn Thị Mai Thảo
Phạm Thị Thắm
Phạm Ngọc Thiện
Nguyễn Thị Nhật Thúy
Nguyễn Ngọc Minh Thư
Trần Thị Cẩm Tiên
Trương Phạm Trung Tín
Lê Hoàng Tính
Hồ Văn Toàn
Nguyễn Thị Phương Trà
19

Điểm kiểm tra
trƣớc tác động
5
5
8
6

5
6

Điểm kiểm tra
sau tác động
5
7
8
6
8
7
9
4
9
9
7
6
6
7
8
7
7
8
7
8
8
8
7
7
7

5
8
7
4
4
6

7
7
8
8
7
6
7

Tuy An , ngày 25 tháng 02 năm 2013
Người viết :

Phạm Thị Xuân Đoan

20