Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Phần 1: Những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài:
Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp
phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất
nớc. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên đợc hình thành từ rất sớm bởi sự
gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con ngời. Toán học là môn khoa
học cơ bản rất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho ngời
học năng lực t duy logic, phơng pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, t
tởng đạo đức.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng nh tất cả các
ngành công nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều đợc khởi
nguồn và dựa trên toán học. Sự phát triển của một đất nớc không phụ thuộc
nhiều ở tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí. Toán
học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên
nguồn tài nguyên chất xám. Việt Nam chúng ta so với các nớc trên thế giới còn
ở trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu. Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp
các nớc trên thế giới, đối với Việt Nam phải có lớp ngời mới đợc trang bị
kiến thức tốt, luôn phát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ
thuật mới. Nhiệm vụ quan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự đợc Đảng và Nhà
nớc giao cho. Chính vì vậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ
thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT và Nhà trờng đã chủ động đề ra
những kế hoạch chi tiết, những mục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến
từng giáo viên.
Để hoàn thành nhiệm vụ, ngời giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức
và phơng pháp truyền thụ kiến thức phù hợp. Nhng thực tế đã cho thấy hầu hết
giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phơng pháp còn nhiều hạn
chế, các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là
nguyên nhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là:
- Giáo viên cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần

4. Không đọc kĩ đầu bài, cha hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải
toán.
5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu
nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử
dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự t duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
cha.

2

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là
dạng toán khó nhng rất thú vị. Nó lôi cuốn nhiều ngời phải say mê, từ các em
học sinh đến các nhà bác học lỗi lạc. Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT
hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải
riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mềm dẻo, linh
hoạt và sáng tạo. Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán
thờng có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nớc và của ngành giáo dục, từ
khó khăn của giáo viên và học sinh thờng hay mắc sai lầm trong việc giải các
bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài
Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc
phục trong chơng trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp
phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh
trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất. Nh nhà giáo dục toán học Polya đã nói: Con ngời phải biết học ngay ở

nào đó là công việc rất khó. Đứng trớc một bài toán nếu ngời thày cha hiểu
cha có hớng giải thì ta hớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó trong những
tình huống nh thế ngời thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh,
còn học sinh đã không giải đợc toán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy
việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học đợc.
Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng
về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của
trí tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán
của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán
4

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải
xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời
gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm
nhiều biện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán
dạng này bằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc trang bị trong cấp
học, nhng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có
lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo
của tác giả Vũ Hữu Bình GV trờng THCS Trng Vơng - Hà Nội trên báo
Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều
trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến
thức của bài báo vào, mỗi khi hớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ
vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán đợc
bằng nhiều cách, tránh đợc những sai lầm cố hữu thờng mắc phải khi giải
toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin đợc

nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải
cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này
chỉ đúng một phần vì Ngọc không mài thì không sáng đợc. Đối với bài toán
tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh
nghiệm của ngời làm toán. Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có
tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc
giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa
học với dạng toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc
cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với
chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành.
II.2.3 Các tài liệu
Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số
lợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách
đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều
cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính s phạm không cao. Các sách của Bộ giáo dục vì
lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của cấp học nên phần giải bài toán
tìm cực trị và những sai lầm dễ mắc trong chơng trình THCS chỉ có tính chất giới
thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên
và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo.
Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài Một số sai lầm thờng
gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục trong chơng trình
THCS để nghiên cứu và thực hiện.
6

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục


7

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

lầm học sinh thờng mắc phải và cách khắc phục là trọng tâm nghiên cứu của đề
tài.
II. Phần cơ bản.
II.1. Phơng pháp trình bày đề tài.
Đề tài đợc trình bày dới dạng đa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều
đợc đa ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đa ra lời
giải đúng, cuối cùng đa ra các bài tập đề nghị cho ngời đọc. Các sai lầm
thờng mắc phải đợc liệt kê ở cùng dạng và chỉ đợc nêu rõ ở phần giải đáp.
II.2. Nội dung cụ thể.
II.2.1. Một số tính chất của bất đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
Tính chất 1: a b b a
a b
a=b
b a

Tính chất 2.

Tính chất 3. Tính chất bắc cầu
a b
a c.

b c

Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục
a1 b1 0
a b 0
Tổng quát: 2 2
a1a2 ...an b1b2 ...bn 0, n N *
...

an bn 0

Chú ý: Không đợc chia hai bất đẳng thức cho nhau.
Tính chất 9. Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức
* a b 0 a n b n , n N *
* a b a n b n (n N * , n M 2)

Tính chất 10. a b 0 n a n b , n N * , n 2
Tính chất 11. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
m n > 0
*
am an
a > 1
m n > 0
*
am an
0 < a < 1
b a
1 1

a b
ab > 0


+ Trong các dây của một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính.
+ Trong hai dây của một đờng tròn:
*Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
* Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm
chắn cung đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây
trơng cung ấy lớn hơn.
II.2.3. Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị.
* Bất đẳng thức Côsi
Dạng cơ bản: Cho a, b 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a + b 2 ab .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Dạng tổng quát: Cho các số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an .
Ta có bất đẳng thức a1 + a2 + a3 + ... + an n. n a1a2 a3 ...an với n N , n 2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an .
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Dạng cơ bản: Với a, b, c, d là các số thực tuỳ ý ta luôn có

( ac + bd )

2

( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b
= .
c d


, ta có:
.

.
2
2
2
A B
A B

Dạng cơ bản: Cho

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc A = B .
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm
a1 a2 a3 ... an
a a a ... an
hoặc 1 2 3
.

b1 b2 b3 ... bn
b1 b2 b3 ... bn

Ta có bất đẳng thức
a1 + a2 + a3 + ... + an b1 + b2 + b3 + ... + bn a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn

.
n
n
n


* Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lợng f
(f là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta
phải thực hiện hai bớc:
- Bớc 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m
(hoặc f m ) với m là hằng số.
- Bớc 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
*Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị
thì lu ý các dấu = phải xảy ra đồng thời.
II.2.5. Các bài tập minh hoạ
A. Cực trị Đại số
A.1. Dạng sai lầm thứ nhất
1
y

Bài 1. Cho x, y là hai số dơng thoả mãn x + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
y

y
x

biểu thức M = 32. + 2007. .

Lời giải có vấn đề.
Từ x, y > 0 ta có

x y
+ 2.
y x
2


Dấu = xảy ra x = y .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt đợc khi x = y.
12

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

13

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bình luận
Nhng!... x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu?
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x + 3 y biết 2 x 2 + 3 y 2 5 .

Lời giải sai:
Gọi B = 2 x 2 + 3 y 2 , ta có B 5.
Xét A + B = 2 x + 3 y + 2 x 2 + 3 y 2

(

) (

= 2 x2 + x + 3 y 2 + y

25
1
x= y= .
4
2
1
2

5
2

Nhng với x = y = A = , vậy sai lầm ở đâu?
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F ( x, y ) = ( x + y ) + ( x + 1) + ( y x ) .
2

2

2

Lời giải đẹp:
Ta thấy ( x + y ) ; ( x + 1) ; ( y x ) không đồng thời bằng 0 nên F ( x, y ) > 0.
2

2

2

F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = ( x + 1) và b = ( x + y ) + ( y x )
2

Lời giải boăn khoăn:
Ta có D = 5 x 2 2 xy 2 y 2 + 14 x + 10 y 1
= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) ( 4 x 2 14 x ) ( y 2 10 y ) 1
2

7
145
2

= ( x + y ) 2 x ( y 5) +
2
4

2

x + y = 0
x = y


7
7
145
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 x = 0 x =
Suy ra D
2
4
4


y 5 = 0

2

2

2

Suy ra x 2 + 1 2 x; y 2 + 1 2 y; z 2 + 1 2 z
( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 2 ( x + y + z ) 15 x + y + z

(2)
15

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42 .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bình luận
Bài làm khá đẹp, nhng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc
phục nh thế nào?
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x .

Lời giải sai:
2

1
1
1


(2)

Do đó A =

( x + a )( x + b ) 2
x

ax .2 bx
= 4 ab
x

Min A = 4 ab x = a = b.

Bình luận:
Lời giải thuyết phục đấy chứ, có cần phải giải lại không?

16

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bài 8. Cho a, b, c là các số dơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a
b
c

P = 1 + 1 + 1 + .

5a

(3)

Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dơng ta đợc
P8

a
b
c 8 5
.
.
.
=
5b 5c 5a
25

8 5
.
25

Do đó P nhỏ nhất bằng

Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

Bài 9. Cho a, b là hai số dơng và x, y, z là các số dơng tuỳ ý.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=

x2


x2

2

+ b 2 )( y 2 + z 2 )

y2

( az + bx )( ax + bz )
z2

( ax + by )( ay + bx )
Do đó M





(a

x2

2

(a

+ b 2 )( z 2 + x 2 )
z2


2
2
2
2
y +z
z +x
x +y
2

Mặt khác chứng minh đợc
Suy ra M

3
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2 ( a 2 + b2 )

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là

3
, giá trị này đạt đợc khi và chỉ khi
2 ( a + b2 )
2

x = y = z.

Cách giải trên phải chăng là đúng! Bạn giải bài toán này nh thế nào?

Bài 10.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x 2 + 5 y 2 + 4 xy 4 x 8 y + 6


Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là
28 + 3x x 2 0
4 x 7
( 4 + x )( 7 x ) 0


1 x 5.



2
x
1
5



x
x
1
5
0
+


(
)(
)
5 + 4 x x 0


2

2

Ta có ( m + 1) 2 2 nên tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là
2

-2 khi và chỉ khi m + 1 = 0 m = 1.
Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m
để tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

A.4. Dạng sai lầm thứ t

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1
.
x 6 x + 10
2

Lời giải sai:
Phân thức

1
có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
x 6 x + 10
2

19



( x + 1)

2

4

.

Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì ( x + 1) 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này
2

xảy ra khi ( x + 1) = 0 hay x = 1 . Khi đó giá trị lớn nhất của P =
2

1
4

Bình luận:
1
5

Nhng có thể thấy khi x = 2 thì P = , do đó

1
không phải là giá trị lớn nhất
4

của P. Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó nh thế nào?
A.5. Dạng sai lầm thứ năm

z x x

Mặt khác ta có

(2)
x y
+ 2
y x

(3).

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (2) và (3) ta đợc
x y z
+ + 3.
y z x

Từ đó suy ra min A = 3 x = y = z.
Bình luận:
Tuy kết quả đúng, nhng xem ra lời giải bất ổn. Tại sao vậy?

Bài 16. Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

1 + x2
1+ y2
1+ z2
.
+
+
1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y 2

2
2
1+ z + x
3 1+ x + y
3

Từ đó suy ra P 2 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
Theo các bạn lời giải trên đ chuẩn cha? Lời giải của bạn nh thế nào?

A.6. Một số dạng sai lầm khác thờng mắc phải

21

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Bài 17. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) .

Lời giải sai.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
bc < a
b 2 2bc + c 2 < a 2
b 2 + c 2 a 2 < 2bc
( b 2 + c 2 a 2 ) < ( 2bc )
2

2

x y

+

2 xy
2
= x y+
x y
x y

1
a

Biết rằng nếu a > 0 thì a + 2 (BĐT Côsi)
Do đó A =

x y
2
x y
x y
.
+
+
2+
2
x y
2
2

22


2; 1 + 2 ;

( x; y ) = (1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A =

)

2; 1 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra).

x y
2
+ 2 = + 2 = 3.
2
2

Bình luận
Nhng với x =

6+ 2
6 2
62
thì có x > y; xy =
; y=
= 1 và A = 2 2 < 3.
2
2
4



1 11
1 9

= x + + x .
2
4
2 4


Suy ra A

11
9 11 9
+ = + = 5.
4
4 4 4
2

1
1
1
Đẳng thức xảy ra x = 0 x = 0 x = .
2
2
2

1
2


Lời giải dễ hiểu
Điều kiện x 0; y 0.
Ta có P = x 2 xy + 3 y 2 x + 1
=

(

x y

)

=

(

2
1 1
x y 1 + 2 y 2 y +
2 2

=

(

x y 1 +

2

+1 2


4

Từ đó đánh giá đợc min P = y = ; x = .
Bình luận:
Lời giải rất logic, liệu các bạn có chấp nhận không?
24

Lơng Văn Lý _ Trờng THCS Yên L Yên Dũng Bắc Giang


Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục
x + y = m

Bài 22. Cho ( x, y ) là nghiệm của hệ phơng trình

2
2
2
x + y = m + 6

(I ) .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = xy + 2 ( x + y )

Lời giải hay
x + y = m
Từ hệ (I) ta có
2

x + y = m

3

1
3
1
Đa hàm số trên về dạng f ( x ) = x + + x +
2 2
2 2



1

3

(

)

3 1

Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm A , , B , và C ( x, 0 ) .
2 2 2 2
Khi đó f ( x ) = CA + CB. Vì CA + CB AB ,
2
2
2 3 1
3 1 1
3
,