Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

1

Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ.
1. Hàm số dạng y =
( )
( )
f x
g x
. (1)
TXĐ: D =




g g g
x D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0
   
2. Hàm số dạng y =
( )
f x
. (2)
TXĐ: D =


f
x D f(x) 0

2 1
1
x
x





2 1
1
yx y x
x
  






( 2) 1
1
y x y
x
  






x x
x
 




2
2yx + y = 2x - x - 1
1
x
2



 




2
2 (2 1) 1 0
1
2
x y x y
x

    



Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

2

y =
2
1
x
x




2
yx - y = x
x 1






2
0
1
x yx y
x

  


(1)


sin
sin cos 2
x
x x
 
= m (2)
Đặt y =
sin
sin cos 2
x
x x
 

TXĐ: R
Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y =
sin
sin cos 2
x
x x
 
có nghiệm.
y =
sin
sin cos 2
x
x x

BTII.1.
1) Tìm tập giá trị của hàm số
a)
2
2
1
1
x
y
x




b)
2
2
1
x
y
x



2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm :

sinx - 2cosx + 1
= 1 - 2m
sinx + 2


 

 

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

3

4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số
2
1
x
y
x a



chứa đoạn [0; 1]
5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3
4
2
12 ( )
36
x x a
y
x

 

 
thì tập xác định của f(x) là [m; M]
Nếu m

f(x),
x D
 
thì tập xác định của f(x) là [m; +

)
Nếu f(x)

M thì tập xác định của f(x) là ( -

; M]
Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn.
Ví dụ: f(x) > m,
x D
 
thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; +

)
mà phải có thêm điều kiện
0
lim
x x

f(x) = m.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2

x

là [-1; 1].
Ví dụ 2. y =
2 2
1 1
x x x x
    

Giải: Ta có:
y
=
2 2
2
1 1
x
x x x x
    
=
2 2
2
1 3 1 3
( ) ( )
2 4 2 4
x
x x
    




0
1 1
0 ( )( ) 0
2) 2
0
x
x x x
x




    






Mặt khác ta có
2 2
lim ( 2 1 2 1)
x
x x x x

    
=
2 2
2
lim

4

BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau
1) y =
2 2
2 3 2 3
x x x x
    

2) y =
2
4
x


3) y =
( 2)(3 2 )
x x
 
4) y = 3 6
x x
   3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số.

PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy
ngay tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2

1 1
x x x x
    

Giải: TXĐ: R
Ta có: y' =
2
2 1
2 1
x
x x

 
-
2
2 1
2 1
x
x x

 

* Nếu
1
2
 
x
1
2


2x
2
+ 2x - x
2
- x - 1


x
2

1


- 1
1
x
 

hay
1
2
1
x
 
thì y'

0
* Nếu x < -
1
2


1


x
1
 
hoặc x

1.
hay với x < -
1
2
thì y'

0
Bảng biến thiên:

Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1)
BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau
1) y =
2 2
2 3 2 3
x x x x
    

x -

- 1 1 +


x


3) y = x +
2
4
x


4) y = 4 4
x x
  III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ.
1. Điểm cố định.
ĐN. Điểm M(x
0
; y
0
) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là
tham số, nếu M(x
0
; y
0
) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x).
PP. M(x
0
; y
0

, y
0
.
Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1
Giải: M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình
y
0
= m( x
0
- 1) + m - 1, thoả
m

.

mx
0
- 1 - y
0
= 0 thoả
m


x

3
0
- 3(m + 1)x
2
0
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x
0
- 4m(m +1 ) thoả
m

.


(2x
0
- 4)m
2
- (3 x
2
0
- 8 x
0
+ 4)m + x
3
0
- 3 x
2
0


x
0
= 2, y
0
= 0.
2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình:
x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2
Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x
2
- (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0
Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1.
Ta phải có:
2 2
1 2
2 1
2 1
1 1
m
m
m m
m
m


- 3m)x - m
2
+ 2m - 1 (1)
1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

6

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây
1) y = x
4
+ mx
2
- m - 5
2) y =
2
2
x x n
x n
  


3) y =
2
2 (1 ) 1
x m x m
x m
   

m

hay phương trình y
0
= f(m, x
0
), vô nghiệm m.
Từ đây suy ra x
0
, y
0
.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng:
y = m(x - 2) + m
2
- 1 đi qua
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm như thế

y
0
= m(x
0
- 2) + m
2
- 1, vô nghiệm m


Đó là phần trong của parabol y =
1
4
(
2
4
x x
 )
(phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1)
Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y =
2 2
m x + 1
x
đi qua.
Giải: Gọi M(x
0
; 1) là điểm như thế

1 =
2 2
0
0
m x + 1
x
, vô nghiệm m
Phương trình

2 2
0 0
0

f(x)=(x^2-4 x)/4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

7

ĐN. Điểm M(x
0
; y
0
) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x
0
; y
0
) thuộc
vào đúng k đồ thị của họ.
PP. Điểm M(x
0
; y
0


2 2 2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 2
2 2 4 2
2 2 4 2 3
yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + x
y = 0
(1)
x - m 0 x - m 0
Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy =
= y + 2(x - 2x)y + x + 4x
δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x
 

 
 
 
 < 0, x > 0.
Δ > 0, x > 0, y.

  

Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập III.3.1.
1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị
của họ đồ thị hàm số
2 2
x - mx - m
y =
x + m

0
x = x + X
y = Y



hàm số đã cho trở thành Y = f(x
0
+ X) là một hàm số chẵn.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra
hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Giải:
Giả sử đường thẳng x = x
0
là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
Khi đó qua phép biến đổi:
0
x x X
y Y
 





0 0 0
4 12 12 4
x x X x X X
   -
-
2 2
0 0
2 4 2
x x X X
  +

0
12 12
1
x X
  


Y là hàm số chẵn của X
0
3 2
0 0 0
4 4 0
4 12 4 12 0
x
x x x
 




2
= 4
10



X =
4 10
  , X =
4 10
 
Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1
4 10
  , x = 1
4 10
 
Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1
4 10
  , x = 1
4 10
 
***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của
phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng.
Ví dụ 2: Giải phương trình x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3 = 0

+ X)
2
- 16(x
0
+ X) + 3 =
=
4 3 2 2 3 4
0 0
4 6 4
o o
x x X x X x X X
    -

3 2 2 3
0 0 0
8 24 24 8x x X x X X
    2 2
0 0
12 24 12x x X X
   0
16 16
3
x X
  


Bài tập tương tự:
BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x
4
- 16x
3
+ 43x
2
- 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó
suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

9

ĐSố: x = 2
1
2

, x = 2
2

.
BT2. Giải phương trình 6x
4
+ 24x
3
+ 23x
2
- 2x - 1 = 0

) khi và chỉ khi qua phép biến đổi
0
0
x = x + X
y = y + Y



hàm số đã cho trở thành Y = f(x
0
+ X) - y
0
là một hàm số lẻ.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có một tâm đối xứng.

Giải:
Với M
0
(x
0
, y
0
) : Qua phép biến đổi
0
0
x = x + X

3 2
0 0 0
12x - 2 = 0
4x - 2x + 1 - y = 0







0
0
1
x =
6
97
y =
98








Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là
0
1 97

0
x = x + X
y = y + Y



hàm số đã cho trở thành
2 2 2
0 0 0 0 0
0
0 0
2 2
0 0 0 0 0 0 0
0
( ) 2( ) 2( 1) 2
( ) 1 1
(2 2) 2
1
x X x X X x X x x
y Y
x X x X
X x y X x x x y y
Y
x X
      
  
   
      
 
 


hàm số đã cho trở thành
2 2
(1 ) 2(1 ) 1
X X X
Y
X X
   
  là một hàm số lẻ
thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ?
Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
2
x
y =
x + 1
.
Giải:
Qua phép biến đổi
x = -1 + X
y = 2 + Y



hàm số đã cho trở thành
2 2 2
( 1 ) 2 1 1
2
( 1 ) 1
X X X X
Y Y

3) y = x
3
- x
2
+ x - 1

**Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua
i) M
0
(x
0
; y
0
) là
0
0
x + x' = 2x
y + y' = 2y



Đặc biệt qua O(0; 0) là
x + x' = 0
y + y' = 0




ii) Đường thẳng y = m là
x = x'

x' = y
y' = x



, phân giác y = - x là
x' = - y
y' = - x




5i) Đường thẳng Ax + By + C = 0 : Xem Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Ví dụ1 : Tìm tất cả các cặp điểm M,N trên đồ thị hàm số
2
2
1
x x
y
x
 


đối xứng qua I (0; 5/2)
Giải: Gọi M(x
1
. y
1
), N(x

1
+ x
2
= 0, y
1
+ y
2
= 5
Suy ra: x
1
= - x
2
, y
1
= 5 - y
2
,
2
1 1
1
1
2
1
x x
y
x
 


, 5 -

x x
x
 
 

Ví dụ2 : Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong
2
2
2
x x
y
x
 


qua đường
thẳng y = 2.
Giải: Gọi đồ thị hàm số
2
2
2
x x
y
x
 


là (C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = 2 là ( D)
M'(x'; y')





Suy ra
2 2 2
' ' 2 ' ' 2 ' 3 ' 2
4 ' ' 4
' 1 ' 1 ' 1
x x x x x x
y y
x x x
      
     
  
hay
2
3 2
2
x x
y
x
  


là hàm số
có đồ thị ( D).
Bài tập tương tự:
BT1. Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số y = x
3
- (m + 3)x

0
)

(C) là:
y = f '(x
0
)( x - x
0
) + f(x
0
)
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

121.2. Tiếp tuyến đi qua M
0
(x
0;
y
0
).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Gọi d đường thẳng đi qua M
0
(x
0;
y
0

Giải: Ta có y ' =
2
2
2
( 1)
x x
x


.
1) y'(3) = 3/2. Suy ra phương trình tiếp tuyến là
3 9
( 3)
2 4
y x
  
hay
3 9
2 4
y x
 

2) Gọi d đường thẳng đi qua N(2; 0). Khi đó phương trình d là y = k(x - 2).
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2
2
2
( 2) (1)
1

4
1 ( 1)
( 1) ( 2)
3
x
x
x x x
x
x x
x
x x x






   


 

  



i) x = 0 suy ra k = 0. Ta có tiếp tuyến y = 0.
ii) x =
4
3

góc 45
0
nghĩa là tạo với trục hoành góc 45
0
thì có hệ số góc bằng 1 hoặc -1.
i) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1: y = x - a + 4
Xét hệ phương trình
2
2
2
4
1
2
1
( 1)
x
x a
x
x x
x

  













 




Từ (2) suy ra 2x
2
- 4x + 1 = 0

x = 1


1
2

Từ (1) suy ra
2 2 2
2 5 4 (2 4 1) 3
4
1 1 1
x x x x x x
a x
x x x
     
    
  

có hai điểm không thuộc đồ thị (1) dù m lấy bất
kỳ giá trị nào
Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi chỉ khi hệ sau có nghiệm
3 2
2
2 3( 3) 18 8 0 (1)
( 3) 3 0 (2)
x m x mx
x m x m

    


   



Từ (2) suy ra x = 3, x = m. Thay vào (1):
i) x = 3: 54 - 27(m +3) + 54m - 8 = 0

27m = 35

m =
35
27

ii) x = m: 2m
3
- 3(m + 3)m
2

f x g x
f x g x






(nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm)
VD1. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
 


(C)
1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Tìm tất cả các giá trị a để (C) tiếp xúc parabol y = x
2
+ a.
Giải:
1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

14


Thay k ở (2) vào (1):
2 2
2 2 2
2
1 2
( 1)( 1) ( 2 ) ( 1)
1 ( 1)
x x x x
x a x x x x x x a x
x x
  
         
 


ax
2
- 2(a + 1)x + a - 1 = 0.
i) a = 0: Phương trình có nghiệm
ii) a

0: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

'

0

3a + 1












Từ (2) suy ra x = 0 hoặc
2
2
2
( 1)
x
x




x = 0 hoặc 2x
2
- 5x + 4 = 0

x = 0.
Thay vào (1) ta có a = - 1.
VD2. Cho hàm số y = (x -1)
2
(x + 1)

- 2x
2
, Suy ra f '(x) = 12x
3
- 4x
Hàm số đạt cực tiwr tại x =
1
3

. Suy ra minf(x) = -
1
3

Hệ phương rình có nghiệm khi chỉ khi phương trình (3) có nghiệm

1 - a

-
1
3


a
4
3

.
2) (C) tiếp xúc parabol y = 2x
2
+ b

2
- (m + 1) có đồ thị (C
m
)
1) Tìm điểm cố định của đồ thị.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

15

2) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (C
m
). Tìm m để tiếp tuyến tại A của
(C
m
) song song với đường thẳng y = 2x.
BT2. Cho hàm số y =
1
3
x
3
- mx
2
+ (2m - 1)x - m + 2 có đồ thị (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi m = 2.
2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
3) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) nghịch biến trên (- 2; 0)
BT3. Cho các hàm số y = mx

( 3) 3 0 (2)
x m x mx
x m x m

    


   



Để ý rằng (2) có 2 nghiệm x = 3, x = m.
2) Gọi điểm như thế là M
0
(x
0
; y
0
)

hệ phương trình sau vô nghiệm m:

3 2
0 0 0 0
2
0 0
2 3( 3) 18 8 (1)

(2)
y x m x mx

    
vô nghiệm m
BT5. Cho hàm số y = - x
4
+ 2mx
2
- 2m + 1 có đồ thị (C
m
)
1) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
2) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại A và B vuông góc với nhau.
BT6. Tìm m để hai đường cong y = x
3
- 1 và y = - mx
2
tiếp xúc với nhau. Từ đó suy ra m > 0 để
phương trình x
3
+ mx
2
- 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
BT7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường cong sau:
1) y = x
2
- 2x + 3 và y = x
2
- 4x + 5
2) y = x

2
- 2(k - 1) = 0

k = 1, k = 3.
Hai tiếp tuyến : y = x + 1, y = 3x - 1.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

16 3. Họ đường thẳng tiếp xúc một đường cong cố định.
Bài toán. Chứng minh rằng họ đường thẳng (d
m
) luôn luôn tiếp xúc một đường cong cố
định.
Phương pháp. Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ đường thẳng (d
m
) không đi qua
với mọi m. Biên của tập hợp cần tìm là đường cong cố định cần tìm.
VD1. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =
2 2
( 1)
m x m
x m
 

luôn luôn tiếp xúc một parabol
cố định.
Giải: Họ tiệm cận xiên (d

4
(x - 1)
2
.
Thật vậy, xét phương trình: (m + 1)x + m
2
+ m = -
1
4
(x - 1)
2
4(m + 1)x + 4m
2
+ 4 m = - (x - 1)
2
x
2
+ 2(2m + 1)x 4m
2
+ 4 m + 1 = 0
Phương trình này có nghiệm kép với mọi m. Suy ra điều phải chứng minh.
VD2. Chứng minh rằng họ đường thẳng phụ thuộc thâm số

:

Ta có d(I, d) =
2 2
4
4
cos sin
 



= R. Suy ra họ đường thẳng d tiếp xúc đường tròn cố định:
(x - 1)
2
+ (y - 1)
2
= 16
Bài tập tương tự:
BT1. Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m
2
= 0 luôn luôn tiếp xúc một parabol cố định.
BT2. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =
2
mx x m
x m
 

luôn luôn tiếp xúc một parabol cố
định.
BT3. Chứng minh họ đường thẳng
cos sin cos sin 2 0
x y

y f x
y g x





hay phương trình f(x) = g(x)
có bấy nhiêu nghiệm.
Từ đây có hai bài toán:
i) Biện luận số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) dựa vào hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x





hay phương trình f(x) = g(x).
ii) Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x





3
+ 2x
2
+ 7

x
2
+ mx - 6 = 0 (*)
Thấy ngay phương trình này luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra đpcm.
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là các điểm chung. Khi đó x
1
, x
2
là nghiệm của (*)
x
1
+ x
2
= - m, x
1
x
2

3 3 2 2
1 2
1 2 1 2
1
2 2
y y
y x x x x

     + 7 =
   
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3 ( ) 2 7
2
x x x x x x x x x x
 
      
 
 

=
 
2
3
1
8 3( 6)(2 ) 2 2( 6) 7
2
x x x
 




  


Với (1), ta có C(0; 1)
(2) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi 9 - 4m > 0

m < 4/9
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là các điểm chung khác C. Khi đó x
1
, x
2
là nghiệm của (2)
x
1
+ x
2
= - 3 x
1
x

. Áp dụng Viet. Ta có các giá trị cần tìm của m.
VD2. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

18

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x
3
- 3x
2
+ 1 - m = 0
Giải: 1) Bạn hãy tự giải.
2) pt

x
3
- 3x
2
+ 2 - 1 - m = 0

x
3
- 3x
2

2
1
x
x a
x
  


Giải: 1) Bạn hãy tự giải.
2) Đặt
2
1
x
y
x


có đồ thị (C)
y = - x + a là họ đường thẳng có hệ số
góc bằng - 1 không đổi, cắt trục trung tại a.
Chú ý hai vị trí tiếp tuyến:
Đường thẳng y = - x + a là tiếp
tuyến khi chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
2
2
2
1
2
1
( 1)

x  

Suy ra
2 2 2
2 (2 4 1) 3 1
1 1 1
x x x x x x
a x
x x x
    
   
  

1
1
2
x  


a =
2 2 3


1
1
2
x  

a =
3 2 2

y =
1+
m

1+m

f(x)=(x^2)/(x-1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)

3 2 2


2 2 3


Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

19



3
1
3
x
= mx + m
Đặt y =
3
1
3
x
có đồ thị (C).
y = mx + m là họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định và có hệ số góc m.
Để ý rằng khi đường thẳng y = mx + m là tiếp tuyến thì hệ số góc m = 9/4.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) m < 9/4 : 1 nghiệm
ii) m = 9/4 : x = - 3/2
3i) m > 9/4: 3 nghiệm phân biệt
Bài tập tương tự:
BT1. Cho hàm số
2
4 3
2
x x
y
x
 




1
, y
2
là tung độ các giao điểm , tìm hệ thức liên hệ y
1
, y
2
không phụ thuộc a.
BT4. Cho hàm số y = x
2
+ (2m + 1)x + m
2
- 1
1) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn luôn cắt đường thẳng y = x tại hai
điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi.
2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định. Xác
định phương trình đường thẳng đó.
HD. 2) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến cố định khi chỉ khi :
Phương trình x
2
+ (2m + 1)x + m
2
- 1 = ax + b có nghiệm kép với mọi m.
Phương trình x
2
+ (2m - a + 1)x + m
2



4(1 - a)m + (1 - a)
2
+ 4(1 + b) = 0 , mọi m.


a = 1, b = - 1.
BT5. Cho hàm số y = x
4
+ 2x
2
- 3.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: cos
4
t + 2cos
2
t + a - 1 = 0
3) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm t > 0 của phương trình: e
4t
+ 2e
2t
+ 2a - 3 = 0
BT6. Cho hàm số y =
2
x x


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2
1
x x
x
 

= ax - a + 1.
VII. VẤN ĐỀ QUỶ TÍCH ĐẠI SỐ.


Bài toán: Tìm quỷ tich những điểm M(x; y) :
( )
( )
x m
y m







, m tham số.


Phương pháp giải: Khử m trong hệ trên để được liên hệ y = f(x).


Chú ý:
1) Quỷ tich những điểm M(x; y) :

- (m - 1)x - m
2
- 4
Giải: Đỉnh parabol I(x; y):
2 2
1
( 1)
2
( 1) 4
x m
y x m x m

 



    


Suy ra: y = x
2
- (2x+1 - 1)x - (2x + 1)
2
- 4 = - 5x
2
- 4x - 4.
Quỷ tích là y = - 5x
2
- 4x - 4.
VD2. Cho hàm số


2
2 4 2 0
1 0
x x m
x

   

 

có hai nghiệm phân
biệt


= 2m > 0

m > 0.
2) Với m > 0. Các điểm cực trị x
1
, x
2
là nghiệm phương trình: 2x
2
- 4x + 2 - m = 0 (1)
i) Quỷ tích cực đại.
Gọi M(x; y) là điểm cực đại của đồ thị. Ta có:

2 2
2

1
2
( 2 ) (2 2)
2 2 2 2 2 2 2 2(2 2) 2
2 2
m
x
m x
y m m m x x

 





          



Ta có y = 2x
2
và x > 1.
Bài tập tương tự:
BT1. Tìm quỷ tích đỉnh các parabol y = 2x
2
- 2(m + 1)x + (m - 1)
2
.
BT2. Cho hàm số

x
  

.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
BT5. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
  


, (1)
1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của
đồ thị hàm số.
2) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m.

VIII. VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).
Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số:
1) y = - f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị (C).
2) y = f(- x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung đồ thị (C).
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

22


, hãy suy ra đồ thị các hàm số dưới đây:
1)
2
1
x
y
x


, 2)
2
1
x
y
x
 

, 3)
2
1
x
y
x


, 4)
2
1
x


= - f(x) 3)
2
1
x
y
x


=
( )
f x

2)
2
1
x
y
x
 

= f(- x) 4)
2
1
x
y
x


= f(

OI

:
1
2
x X
y Y
 


 

hàm số đã cho trở thành
1 2
2
X
Y
X

 

1 2 1
2
X
Y
X X

  



1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
( )
1 1
4 1 4 4 2
( )
MN X X Y Y X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
   
          
 
 
   
   
      
 
 
   

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

23











Suy ra X
2
=1, X
1
= - 1, Y
2
= 1, Y
1
= - 1. Do đó x
2
= 2, x
1
= 0, y
2
= 3, y
1
= 1.
Như thế M( 0; 1), N(2; 3)
VD2. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số
1
1

X
   
1
Y X
X
 
.
Trong hệ trục mới IXY: M(X
1
; Y
1
), N(X
2
; Y
2
), trong đó
1 1 2 2
1 2
1 1
,Y X Y X
X X
    . Ta
có thể xem X
1
< 0 và X
2
> 0. Khi đó:

   
   

1 2
1 2
1
4 2 2X X
X X
 
  
 
 


4 2 2 2
 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 
1 2
1 2 1 2
2
4
1 2
1 2 2
1 2
1
1 1
2
2 2






4 4
2 1 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1
, , 2, 2
2 2 2 2
X X Y Y       



4 4
2 1 2 1
4 4 4 4
1 1 1 1
1 , 1 , 1 2, 1 2
2 2 2 2
x x y y         



4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 , 1 ;1 2
2 2 2 2


24 2. Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị.
2.1. Cho hàm số
2
ax + bx + c
y =
mx + n
(am

0, tử không chia hết mẫu) có cực trị
Khi đó đường thẳng
1
y = (2ax + b)
m
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của
hàm số đã cho.
Thật vậy: Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x
0
. Hiển nhiên là y'(x
0
) = 0.

2
2
2
0 0 0 0
0


2.2. Cho hàm đa thức y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a

0) có cực trị. Nếu bằng phép
chia đa thức: ax
3
+ bx
2
+ cx + d cho đạo hàm của nó là 3ax
2
+ 2bx + c được dư mx + n
thì đường thẳng y = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của
hàm số đã cho.
Thật vậy, giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x
0
. Hiển nhiên là y'(x
0
) = 0.
Khi đó từ : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (3ax
2
+ 2bx + c)Q(x) + mx + n
suy ra:

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

252
2( 1) 3 0 (1)
' 0
x + m - 1 0 (2)
x m x m
y

   
 




Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả (2)

2
2
2
' ( 1) 3 0
1 0
(1- m) +2(m-1)(1-m) - 3m 0
m m
m m


VD2. Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm k để phương trình - x
3
+ 3x
2
+ k
3
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
(ĐH&CĐ - A2002)
Giải: 3) Cách 1. y' = - 3x
2
+ 6mx + 3(1 - m
2
) = -3(x - m)
2
+ 3
y' = 0


2
+ m
= 2x - m
2
+ m
Suy ra, đường thẳng y = 2x - m
2
+ m là đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

Bài tập tương tự:

BT1. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 3mx + 5.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
BT2. Cho hàm số
2
x - x + m + 1
y =
x - m
(1)
1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị.
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số (1).
3) Tìm qỷ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
BT3. Trong các bài tập mục VII từ BT2 đến BT5 hãy viết phương trình đường thẳng đi qua
các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
3. Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó.