CHƯƠNG 4
Biến đổi FourierMiền tần số (Frequency Domain)

Tín hiệu được phân tích trong miền tần số.

Phương pháp phân tích: Cho một tín hiệu đi
qua một hệ thống (tuyến tính bất biến), phổ
tần số của tín hiệu đầu ra sẽ bằng tích của
phổ tần số của tín hiệu đầu vào và đáp ứng
tần số của hệ thốngVí dụ về lăng kính

Cho ánh sáng
trắng đi qua lăng
kính sẽ thu được
các vạch phổ
tương ứng với
các thành phần
tần số của ánh
sáng: đỏ, da cam,
vàng...Joseph Fourier


∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
Định nghĩa biến đổi Fourirer
)()()(
ωωω
imre
XjXX
+=X(ω) biểu diễn dưới dạng module & argument:

X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π:
)(
)()(
ωϕ
ωω
j
eXX
=
Trong đó:
)(

−
Áp dụng kết quả:



≠
=
=
∫
−
0 :0
0:2
k
k
dke
jk
π
π
π
Biến đổi Fourirer Biểu thức biến đổi Fourier ngược
∫
−
=
π
π
ω
ωω

n
E x n
+∞
=−∞
= <∞
∑Ví dụ
Ví dụ
:
:

Tìm biến đổi Fourier của các dãy:
1:)()(
1
<=
anuanx
n
nj
n
n
enuaX
ω
ω
−
∞
−∞=
∑
= )()(

ω
−
∞
−∞=
∑
−−−=
)1()(
2
( )
∑
−∞
−=
−
−
−=
1
1
n
n
j
ea
ω
( )
∑
∞
=
−
−=
1
1

j
ae
−
−
=
1
1∑
∞
−∞=
−
=
n
nj
enxX
ω
ω
)()(
∑
∞
−∞=
−
≤
n
nj
enx
ω
)(


≤
∑
∞
−∞=n
nx
Nếu:
∞<
∑
∞
−∞=n
nx )(
∞<=
∑
∞
−∞=n
x
nxE
2
)(
Điều kiện để tồn tại biến đổi Fourirer Ví dụ
Ví dụ
:
: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
)()5.0()(
1
nunx

=
=
0
)5.0(
n
n
2
5.01
1
=
−
=
∑
∞
−∞=n
nx )(
2
∑
∞
−∞=
=
n
n
nu )(2
∞==
∑
∞
=0
2
n

nu
∑
−
=
=
1
0
)(
N
n
N
nrect
N=
X
2
(ω) không tồn tại
X
3
(ω) không tồn tạia) Tuyến tính
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
)()()()(
22112211
)2();( −nn
δδ
Ví dụ
Ví dụ
:
: Tìm biến đổi Fourier của dãy:
1)()()()( ==→←=
∑
∞
−∞=
−
n
nj
F
enXnnx
ω
δωδ
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
ωω
ωδ
22
1)()2()2(
jj
F
eXenxn
−−
=→←−=−


Ví dụ
Ví dụ
:
:
T
T
ì
ì
m bi
m bi
ến đổi Fourier của dãy:
ến đổi Fourier của dãy:
)(2)( nuny
n
−=
)(
2
1
)( nunx
n






=
( )
)(2)()( nunxny
n

ω
Xnx
F
→←
)(
ω
ω
d
)dX(
jnxn
F
→←
Nếu:
Thì:
Các tính chất của phép biến đổi Fourier
(tiếp)1);()(
<=
anunang
n
1a;
1
1
)()()(
<
−
=→←=
−

ω
ω
ω
ω
Ví dụ
Ví dụ
:
:
T
T
ìm
ìm biến đổi F của:
Suy ra:f) Dịch theo tần số
)()(
ω
Xnx
F
→←
)-()(
0
0
ωω
ω
Xnxe
F
nj
→←

:
T
T
ìm
ìm biến đổi F của:
)cos()()(
0
nnuany
n
ω
=
[ ]
njnj
n
eenua
00
2
1
)(
ωω
−
+=
[ ]
njnj
eenx
00
)(
2
1
ωω

00
ωωωω
ω
jj
aeae
Y
→←
Fg) Tích 2 dãy
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
∫
−
−→←
π
π
ωωωω
π
')'()'(
2
1
)(.)(
2121
dXXnxnx

)()()(*)(
2121
ωω
XXnxnx
F
→←
Thì:
Nếu:
)()(
22
ω
Xnx
F
→←Ví dụ
Ví dụ
:
:
T
T
ìm
ìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=δ(n+2)+δ(n-2)
ωω
ωω
22
)()(
jj
eeHX

g) Quan hệ Parseval
)()(
11
ω
Xnx
F
→←
ωωω
π
π
π
dXXnxnx
n
∫
∑
−
∞
−∞=
= )()(
2
1
)()(
*
21
*
21
Thì:
Nếu:
)()(
22

2
)()(
ωω
XS
xx
=x(n)
X(ω)
a
1
x
1
(n)+a
2
x
2
(n)
a
1
X
1
(ω)+a
2
X
2
(ω)
x(n-n
0

1
(ω)X
2
(ω)
( )
''
2
'
1
)(
2
1
ωωωω
π
dXX
j
C
−
∫
ωωω
π
π
π
dXXnxnx
n
∫
∑
−
∞
−∞=

n
n
Z
znxzXnx )()()(
ω
ω
j
ez
zXX
=
=
)()(
/
z
/
=
1
Re(z)
ROC X(z)
ROC X(z)
Im(z)
/z/=1
ω
•
Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
⇒X(ω)=X(z) với z=e
jω
•
Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
⇒X(ω) không hội tụ

1
(z)] có chứa /z/=1, nên:
ω
ω
ω
j
ez
e
zXX
j
−
=
−
==
5.01
1
)()(
11
2;
21
1
)(
1
2
>
−
=
−
z
z