PHƯƠNG PHÁP DÙNG TAM THỨC BẬC HAI
1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN của:
A = x + 2
x


Giải:
Điều kiện: x

2
Đặt 2
x

= y

0
Ta có y
2
= 2 – x
A = 2 - y
2
+ y = - (y-
1
2
)
2
+
9 9
4 4

(x
2
+ y
2
)
2
– 4 (x
2
+ y
2
) + 3 = - x
2

0
Do đó A
2
– 4A + 3

0

(A – 1)(A – 3)

0


1

A

3

2
1
1
x x
x x
 
 
(1)
Do x
2
+ x + 1

0 nên
(1)

ax
2
+ ax + a = x
2
– x – 1


(a – 1)x
2
+ (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
Trường hợp 1:
Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2:
Nếu a


(a

1)
Với a =
1
3
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là :
( 1) 1
2( 1) 2(1 )
a a
x
a a
  
 
 

Với a =
1
3
thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:
MinA =
1
3
khi và chỉ khi x = 1
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
Nhận xét:
a) Phương pháp giải như trên còn gọi là phương pháp miền giá trị của hàm
số. Đoạn

c) Cách khác tìm GTNN của A:
A =
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 1 2( 2 1) 1 2( 1) 1
3 3 3 3( 1) 3( 1) 3 1 3
x x x x x x x
x x x x x x x x
      
    
       

MinA =
1
3
khi và chỉ khi x = 1
VD2:
Tìm GTLN và GTNN của:
A =
2
2
2 4 5
1
x x
x
 


Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phươg trình sau đây có nghiệm

'

= 4 – (a – 2)(a – 5)

0





2
7 6 0 1 6 2
a a a a
      

Với a = 1 thì x = -2
Với a = 6 thì x =
1
2

Kết hợp cả hai trường hợp (1) và (2), ta có:
MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2
MaxA = 6 khi và chỉ khi x =
1
2

VD3:
Tìm GTLN và GTNN của:
B = 2x
2

= 2
Trường hợp 2:
Nếu y

0 ta đặt t =
x
y
thì
B
a
=
2
2
2 4 5
1
t t
t
 


Theo VD2 điều kiện để phương trình ẩn t trên có nghiệm là
1 6
b
a
 
nên
6
a b a
 
( vì a

 
2 2
x
x y
y
    

Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị
2 5 5 2 5 5
, ; ,
5 5 5 5
a a a a
   
 
   
   
   

VD4:
Tìm GTLN và GTNN của:
c =
3 7
2 1
2 2
x x
  

Giải:
Điều kiện:
0 1

d
2

25

d

5
Maxd = 5

Maxc = 6 và đạt được khi
z =
4
25
d
=
2
4 16
5 25
x z   (thoả mãn
0 1
x
 
)
d =
4 3 2 12
z y yz
 
Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính được z =
3 1 9

3
, GTLN bằng 3
Giải:
Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có:
a =
2
2
2 4
x mx n
x x
 
 


x
2
+ mx + n = ax
2
+ 2ax + 4a


(a – 1)x
2
+ (2a – m) + (4a – n) = 0 (1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN
của A nên ta chỉ xét a

1.
Điều kiện để (1) có nghiệm là:





2 2
12 4 4 4 0
a m n a n m
     
(3)
Theo đề bài, ta phải có
1 2
1
, 3
3
a a
 

Theo hệ thức Vi- et đối với phương trình (3) :


1 2
2 2
2
1 2
1 44 4
3
4 10
3 3
12
1 4 4 12
4

Thay n = 6 + m vào 4n – m
2
= 12 ta được:
4n – m
2
– 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2
Với m = 6 thì n = 12, khi đó
2
2
6 12
2 4
x x
A
x x
 

 
có GTNN là
1
3
và GTLN là 3
Với m = -2 thì n = 4, khi đó
2
2
6 12
2 4
x x
A
x x
 

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2
2 4 5
1
x x
B
x
 



Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2
2 2 2
2 2 2
x x
C
x x
 

 

Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2
2 2 2
1
x x