1.2 Dãy số
Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên
cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy
số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.
Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng
hàm số :
[ ]
[ ]



∉
∈
=
300
301
,
,
)(
nKhi
nKhi
nx
- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu
ở bảng 1.1.
Bảng 1.1

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)
n
-∞

(n) còn
các tham số sau :
- Tần số lặp lại :
N
f
1
=
[1.2-2]
- Tần số góc :
N
f
π
πω
2
2 . ==
[1.2-3]
∗
Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức
[1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞.
1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗
Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n)
N
.
∗
Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc
n ∈ (- ∞ , 0).
1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía
∗
Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0).

∞
=
−
=
0
3
2)(
k
k
nx
là dãy một phía vô hạn.
- Dãy
∑
∞
−∞=
−
=
k
k
nx 2)(
4
là dãy hai phía vô hạn.
1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ
∗
Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗
Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản
đối xứng.
1.2.2f Dãy thực và dãy phức
∗

xác định, hai phía, chẵn và đối xứng, vô
hạn, tuần hoàn với chu kỳ N = 5.
- Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy xác
định, một phía, không tuần hoàn, có độ
dài hữu hạn N = 5.
1.2.3 Các dãy cơ bản

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)
Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số.
1.2.3a Dãy xung đơn vị
δ
(n)
Dãy xung đơn vị
δ
(n) đối với hệ
xử lý số có vai trò tương đương như hàm
xung Dirăc
δ
(t) trong hệ tương tự, nhưng
dãy
δ
(n) đơn giản hơn. Dãy xung đơn vị
δ
(n) có hàm số như sau :



≠
=
=

Hình 1.10 : Đồ thị các dãy
δ
(n - 5) và
δ
(n + 5)
Mở rộng có dãy xung đơn vị
δ
(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :



≠
=
=−
knKhi
knKhi
kn
0
1
)(
δ
[1.2-5]
Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị
δ
(n - 5) và
δ
(n + 5)
1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)
Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như
hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ tương

3
0 , 4
1
0 62 5
0 , 2
- 2 1 4
y ( n )
n
21
1
- 1- 2 0
n
11 0- 54- 1 - 2
1
0 3 5 - 1- 3- 42
1
n n
3- 1 21
. . . .
. . . .
∞
0
1
u ( n )
n
dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11. Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)
Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:




∑∑
∞
=
∞
=
−=−=
00
)().()()(
kk
kkk nunnu
δδ
[1.2-8]
Dãy
δ
(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
)()()( 1−−= nunun
δ
[1.2-9]
1.2.3c Dãy chữ nhật rect
N
(n)
Dãy chữ nhật rect
N
(n) có hàm số như sau :
[ ]
[ ]



∉

- k)

, với k là hằng số dương hoặc âm :
rect
N
(n)

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rect
N
(n)
[ ]
[ ]



−+∉
−+∈
=−
)(,
)(,
)(
10
11
kNk
kNk
k
nKhi
nKhi
nrect
N

1
- 2 - 1
. . . .
∞ ∞
. . . .
. . . .
. . . .
n n
- 1
. . . .
1
. . . .
210 ( N - 1 )
n
∑ ∑
−
=
−
=
−=−=
1
0
1
0
)().()()(
N N
NN
k k
kkk nrectnnrect
δδ

2
0
=
[1.2-14]
Dãy sin(
ω
0
.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy
sin(
ω
0
.n) ở hình 1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
( )
nnnx
N
0
coscos)(
2
ω
π
=






=
với

Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy
)()( nunx =
, hãy xác định các dãy :
a.
)()( 2
1
−= nxny
b.
)()( 2
2
+= nxny
Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy
)()()( 22
1
−=−= nunxny
là dãy
)(nu
bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy
)()( 2
1
−= nuny
nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy
)()( nunx =
đi 2 mẫu theo trục tung.
b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy
)()()( 22
2
+=+= nunxny
là dãy

nrectnx =
và dãy
)()( 1
32
−= nrectnx
, hãy xác định dãy
)()()(
21
nxnxny −=
Giải : Có
)()()()( 1
34
nnrectnrectny
δ
=−−=
Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định
y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
1.2.4c Phép nhân các dãy
Định nghĩa : Tích của M dãy x
i
(n) là dãy y(n)
có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các mẫu
tương ứng của các dãy thành phần.
rect
4
(n) rect
3

)()(
1
nunx =
và dãy
)()( 2
52
+= nrectnx
,
hãy xác định dãy
)().()(
21
nxnxny =
.
Giải : Theo định nghĩa có :

)()().()(
35
2 nrectnrectnuny =+=

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải
ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây :
Bảng 1.2
y(n) =
δ
(n)
Hình 1.16 : Đồ thị xác định
rect
4
(n)


Kí hiệu :
)(.)( nxany =
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect
4
(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect
4
(n) dưới dạng dãy số liệu.
Giải : Dãy rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
1,1,1,1)(
↑
=nx
Dãy y(n) = 2.rect
4
(n) có dạng dãy số liệu là
{ }
2,2,22,)(
↑
=ny
1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x
1
(n) và x
2
(n) là dãy y(n) được xác định và ký
hiệu theo biểu thức :

∞=
∞
−∞=
−=−
mk
mxmnxnxx
kk
)().()().(
2121

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−
kk
kkkk nxxnxx )().()().(
1221
Đây chính là biểu thức [1.2-21] :
)(*)()(*)(
1221
nxnxnxnx =
2. Tính kết hợp :
[ ]
)(*)](*)([)(*)(*)(
321321
nxnxnxnxnxnx =
[1.2-22]