Hệ xử lý số nhân quả không đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] không có các thành phần của phản ứng ở quá khứ
)( rnya
r
−
:
[ ]
...,)(...,),(),()(
1
10
k
nxbnxbnxbFny
k
−−=
[1.4-10]
Quan hệ vào ra [1.4-10] được gọi là quan hệ vào ra không đệ quy.
∗
Hệ xử lý số đệ quy là hệ có phản ứng y(n) phụ thuộc vào cả tác động
)( knxb
k
−
lẫn phản ứng ở quá khứ
)( rnya
r
−
.
Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] với r ≥ 1 :
[ ]
...),(...,,)(,...,)()(
0
rnyaknxbnxbFny
rk

Do tính chất đặc biệt của dãy xung đơn vị
δ
(n) nên dựa vào đặc tính xung h(n), có thể nghiên cứu và giải quyết
được nhiều vấn đề của các hệ xử lý số TTBBNQ.
1.5.1b Đặc tính xung của hệ xử lý số tuyến tính
Theo [1.2-24] , mọi dãy x(n) đều có thể biểu diễn dưới dạng :
)(*)()().()( nnxnxnx
k
kk
δδ
∑
∞
−∞=
=−=
Từ đó, có quan hệ vào ra :






−==
∑
∞
−∞=k
kk nxFnxFny )()()]([)(
δ
[1.5-2]
Vì hệ xử lý số tuyến tính thỏa mãn điều kiện [1.4-6], nên từ [1.5-2] có :
∑∑

−=
k
kk
nhxny )().()(
[1.5-6]
Đối chiếu quan hệ vào ra [1.5-6] với công thức định nghĩa tích chập [1.2-20], thì quan hệ vào ra [1.5-6] chính là tích
chập của tác động x(n) với đặc tính xung h(n), nên có :
h(n)*x(n)nhxny
k
kk
=−=
∑
∞
−∞=
)().()(
[1.5-7]
31
Theo tính chất giao hoán của tích chập có :
)()()().()( nx*nhnxhny
k
kk
=−=
∑
∞
−∞=
[1.5-8]
Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7] và [1.5-8] cho phép tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBB khi biết tác động x(n) và
đặc tính xung h(n) của hệ. Đồng thời theo các quan hệ vào ra đó có thể mô tả hệ xử lý số TTBB dưới dạng sơ đồ khối như
trên hình 1.26.
Hình 1.26 : Sơ đồ khối mô tả hệ xử lý số TTBB theo đặc tính xung h(n).

)()( nnnxnx
≥≠
mäivíi
Hai phản ứng thành phần y
1
(n) và y
2
(n) của hệ xử lý số TTBBNQ sẽ là :
∑∑∑
∞
=
−
−∞=
∞
−∞=
−+−=−=
0
0
)()()()()()()(
1
1
111
nk
n
kk
kkkkkk nhxnhxnhxny
∑∑∑
∞
=
−

n
k
kkkkkk
nhxxnhxxnynyny
Vì
021
)()( nnnxnx
<=
mäivíi
, nên
[ ]
0
)()(
21
=−
kk
xx
với ∀ k < n
0
, do đó có :
[ ]
∑
∞
=
−−=−=
0
)(.)()()()()(
2121
nk
kkk nhxxnynyny

Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
0
0)( <∀= nnh
víi
Đây chính là [1.5-9], điều kiện cần của định lý đã được chứng minh.
- Chứng minh điều kiện đủ : Cần chứng minh, nếu hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung
0
)( =nh
với mọi
0
<n
, thì hệ
xử lý số đó là nhân quả.
Vì đặc tính xung
00
)( <=
∀
nnh
víi
nên phản ứng của hệ xử lý số là
00
)(*)()( <==
∀
nnxnhny
víi
.
Nếu chứng minh được
0
)( =nx
với mọi

)( <=
∀
nny
víi
, trong khi
00
)( ≥≠
∀
kk
h
víi
, nên [1.5-13] chỉ đúng nếu :
000)( ≥<∀=− ∀ knknx vµvíi
[1.5-14]
Đặt
mn k =− )(
, khi đó với
00 ≥∀<∀ kn vµ
, thì
0)( <=− mn k
, nên có thể viết lại [1.5-14] dưới dạng :
00)( <∀= mmx víi
Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
00
)( <∀= nnx
víi
Điều kiện đủ của định lý đã được chứng minh.
1.5.2b Dãy nhân quả, phản nhân quả, không nhân quả
Mở rộng khái niệm hệ xử lý số nhân quả, không nhân quả cho các dãy rời rạc x(n), người ta đưa ra các định nghĩa
dưới đây.

kkkk nxnxnx
δδ
[1.5-16]
3. Định nghĩa dãy không nhân quả : Dãy x(n) là dãy không nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác định khác không
khi n ∈ (- ∞ , ∞ ).
Như vậy, dãy không nhân quả là dãy hai phía, và dãy hai phía là dãy không nhân quả.
Dãy không nhân quả x(n) luôn có thể phân tích thành tổng của dãy nhân quả và dãy phản nhân quả :
)()()(
21
nxnxnx +−=
[1.5-17]
Theo các định nghĩa trên và định lý về đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ , có thể rút ra các kết luận sau :
- Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả.
- Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) nhân quả, là hệ xử lý số TTBBNQ.
- Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) không nhân quả, là hệ xử lý số TTBB không nhân quả.
33