BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
1)
dx
ln x C
x.
 


2)
  
2 2
dx dx 1 1 1 1 dx dx
. .dx .
x a x a x a 2a x a x a 2a x a x a
   
    
 
 
      
   
    



d x a d x a
1 1 1 x a


d ax b
dx 1 1
. ln ax b C
ax b a ax b a

   
 
 

5)
 
 
 
   
 
 
n 1
n
n n
d ax b ax b
dx 1 1
. ax b .d ax b . C
a a
ax b ax b n 1
 

 
     
   





1 2 n
Q x x a x a x a
   
- Ta phân tích :


 


    
1 2 n
P x P x

Q x x a x a x a

  1 2 n
1 2 n
A A A

x a x a x a
   
  


1 2 n
A A A B B B

x a x a x a x b
x b x b
       
   
 

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n 1 2 m
A , A , , A , B , B , , B .● Dạng 3.












2 2
1 2 n
Q x x a x a x a x px q , p 4q 0


    
  
 

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n
A , A , , A , B, C.● Dạng 4.








2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
Q x x p x q x p x q , p 4q 0; p 4q 0
        

- Ta phân tích :


 




Trong đó


2
ax bx c 0, ;
 
   

Xt
2
b 4ac
  
● Nếu
0
 
thì
2
2
b
ax bx c a x
2a
 
   
 
 

Khi đó :
2 2
dx 1 dx

2
1 2
ax bx c a x x x x
     , với
1 2
x , x
là 2 nghiệm của phương
trình.
Khi đó :
  
1 2
1 dx
I .
a x x x x



 

===> Dạng cơ bản
2 2
dx
x a


.
● Nếu
0
 
thì

x
2a 4a
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== > Dạng
2 2
dx
x a


.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
1
2


ĐS :
π 3
.
9

Bi 4. Tính tích phân :
0
2
1
dx
x 2x 4

 

ĐS :
π 3
18
.

3. Tích phân dạng
 
2
,
mx n
I .dx a 0
ax bx c





 
     

- Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B.
- Khi đó
2 2 2
mx n 2ax b 1
I .dx A. .dx B. .dx
ax bx c ax bx c ax bx c
  
  
 
  
     
  

+ Tích phân


2
2
2 2
d ax bx c
2ax b
.dx ln ax bx c
ax bx c ax bx c
 



 

ĐS :

π
ln 2 .
4


Bi 2. Tính tích phân :
1
2
0
4x 11
.dx
x 5x 6

 

ĐS :
9
ln .
2
4. Tích phân dạng (tham khảo thm)

1
. ax b 2b ax b b
a
 
    
 

- Do đó
:
 
   
       
2
2
2 2
n n n 2 n 1 n
2 2
ax b 2b ax b b
x 1 1 1 2b b
a a
ax b ax b ax b ax b ax b
 
 
   
   
 
    
 
 


. I 2b.I b .I
a
 
 
  
 
.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
 
3
2
39
2
x
.dx
1 x


- HD: Phân tích:
   
2
2
x 1 x 2 1 x 1
    
. ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :
 
3
3

2
dx a. 1 tan t .dt
 
- Khi đó


2
2 2 2 2 2
a. 1 tan t .dt
dx 1 dt 1
. .ln t C.
x a a tan t a a t a

   
 
  

BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
1
2
0
dx
x 4


ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :
1
2

 
 
 

 
 
 
 7. Tích phân dạng (tham khảo thm)
 
 
n
n
2
,
dx
I a 0, n 2
ax bx c


  
 
 Trong đó



 
 
 
===> Dạng
 
n
n
2 2
dx
I
x a






BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
 
1
3
2
0
dx
x 4x 3
 

ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :

 
m mb
mx n 2ax b n
2a 2a
    
- Do đó :
 


   
k k k
2 2 2
2ax b
mx n m mb 1
. n .
2a 2a
ax bx c ax bx c ax bx c


 
  
 
 
     

- Ta sẽ thu được 2 tích phân :


 
k

ax bx c ax bx c ax bx c

 

 
  
 

 
     
  +
 
k
2
1
.dx
ax bx c 

đ tính ở trn.
9. Tích phân dạng (tham khảo thm)
   
m n
dx
I
x a x b

 

x 3 x 3 x 3 5
 
    
     
2
2 2
5 1 t 5dt
dt .dx 5 .dx dx
5
x 3 1 t

 
    
 
 
 

+
       
 
3
2 5
2 3 5 2
2 4 2
1 t
dx 1 x 3 1 t 1 5dt 1
.dx . . .dt

 

 
    
 
 
 
.