Chương 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Một số khái niệm về ma trận
2.1.1. Định nghĩa:
Một ma trận A loại mxn trong trường K là một bảng chữ nhật gồm mxn
phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:
A =
trong đó aij K là phần tử ở vị trí dòng thứ i và cột thứ j của A
- Ma trận A có thể viết gọn là A = (aij)
- Ký hiệu (K) là tập hợp tất cả các ma trận loại mxn trên K
- Một ma trận trên K thường được ký hiệu bởi những chữ in hoa (ví dụ:
A, B, C, )
- Ký hiệu A (K) cho biết A là một ma trận loại mxn trên K

- Ký hiệu [A]ij (hoặc aij) được hiểu là phần tử nằm ở vị trí (i, j) của A
Ví dụ:
A = thì , , ,
- Nếu m = n thì ta nói A là một ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp
tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường K ký hiệu (K)
Ví dụ:
A =
+ Các phần tử trên đường chéo chính 2, -1, i
+ Các phần tử trên đường chéo phụ 2, -1, 4
2.1.2. Định nghĩa:
Ta nói A (K) là ma trận không (hay ma trận zero), ký hiệu A =
(hay đôi khi là 0 nếu không có sự nhầm lẫn), nếu , i,j
Ví dụ:
=
2.2 Các phép toán trên ma trận
2.2.1. Định nghĩa:
Cho A, B (K) .Ta nói A = B nếu , i,j
Ví dụ:

(iv) A + (-A) = (-A) + A = 0;
(v) (A + B)T = AT + BT;
(vi) c(A + B) =cA +cB;
(vii) (c + d)A = cA + dA
2.2.5. Định nghĩa
Cho A Mmxn(K) và B Mnxp(K). Tích của A và B (ký hiệu AB) là một
ma trận thuộc Mmxp(K) được định nghĩa bởi
[AB]ij = ([A]i1[B]1j + [A]i2[B]2j + … + [A]in[B]nj)
=
Ví dụ
, AB =
Chú ý:
- Tích của hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ
nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai.
- AB và BA cùng tồn tại khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và
AB ¹ BA
- AB = 0 có thể xảy ra A 0 và B 0
Ví dụ:
A = , B = , AB =
Tính chất:
Cho A, A' Mm x n(K) , B, B’ Mn x p (K), C Mp x q(K) và c K.
Khi đó:
(i) (AB)C = A(BC);
(ii) A0nxp = 0mxp; 0rxmA = 0rxn;
(iii) A(B B’) = AB AB’ ; (A A’)B = AB A’B;
(iv) (AB)T = ATBT;
(v) c(AB) = A(cB) = (cA)B.
2.3 Các loại ma trận vuông đặc biệt
2.3.1. Định nghĩa
Ta nói A Mn(K) là ma trận đường chéo cấp n nếu [A]ij = 0, i j,

sau:
A0 = In, A1 = A, A2 = A.A, , Ak + 1 = Ak.A, k N
Ví dụ:
A = => A2 = và A3=
Như vậy với A 0 nhưng A3 = 0
Với A Mn(K), có thể xảy ra trường hợp A 0 nhưng Ak = 0
Một ma trận A Mn(K) thoả điều kiện Ak = 0 với một k N nào đó được
gọi là ma trận lũy linh.
2.4.2. Tính chất:
(i) (0n)k = 0n, k N
(ii) (In)k = In, k N
(iii) Ar + s = Ar.As, A Mn(K), r,s N
(iv) Ars = (Ar)s, A Mn(K), r, s N