BẤT ĐẲNG THỨC
§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với
A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số.
Ta có:
⇔ ⇔
≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ − ≤
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
!
"#
⇒ >
1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
1
()**+,-.&/0123
$ $
4$
56&7894:-*12;-*<
≥ ≥ ≤
÷
÷
÷
Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :
= $ =$ 1)* >
1)*
1)*
≥ ≥ ∀ ∈
+ ≥
+
+ ≥
* HÖ qu¶ 1:
% =E? <B =E?
≤ + +
=
= = =* :Quy íc
2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:
*
()**F+,A= = -B3
= $ $$ = =
56&7894:
%0F 2EC3G&
≤ + + + + + +
⇔ = = =
* : Quy íc
*
B =*<=
IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
2
()*0H*+,A123
$ 56&7894:-*12;-*
56&7894:-*12;-*
+
+
V. BT NG THC HèNH HC:
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca (1)
b) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c) (2)
3
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.
=
= = = M.M.CN&
=
= = =
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ + M.M.CN&
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a
7&0*:G&====
7&0*:G&:E&+,3CN&0F
+ +Ví dụ 3 :
+,M)I
(ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
3= $$$
(2)
$$
(B$$ $$
=1B<
(S4=CN&K4:=CN&
+ +
+ + > + +
3===
K4:E?9+,CDM)I
E?:E&+,3CN&0F+,M)I
% 0/T1)*&*9*
(S4:E&+,3CN&0
F+,M)I
7&0*
+ + <
+ + +
$ =$
EC3
=
$
02
$ = = =
+ ≥ +
≥
+ + ≤ + +
÷
+ +
+ + +
+ + = + +
+ + + + +
<=
=E$$$
V=12=+4:C@0
+ +
+ + + + + +
Bài tập tự luyện:
÷
+ + + + +
Bµi 3 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995)
5
E84WM2J+,UI&7&0*
8 84 4 4 4W W W W8 8 =8 4 W+ + + + + + + + ≥ + +
Bµi 4 :
(Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997)
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
(Đề 2 - Bộ đề tuyển sinh)
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc
7&0*
+ + ≥ + + ∀ ≠VÝ dô 1 :
(ĐH Y dược Tp. HCM-1999)
Lời giải.
Y*2EC6&7894:Z
∈ + + ≥ + +
÷ ÷ ÷
VÝ dô 2 :
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ-Năm 2005)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có:
8 8 8 8
8
! !
! !
+ ≥ =
÷ ÷ ÷ ÷
(1)
Tương tự ta có:
8 8
8
!
!
+ ≥
÷ ÷
@X&=CU\ =
8 4 W 84 4W W8
@X&54EJ0T+,CU\
4 4
8 W 8 W
$ $ <
8 4 4 W W 8
8 4 4 W W 8
<
84 4W W8 8 4
+ + ≥ + +
+ + ≤
+ + +
+ + ≤ + +
¸
¸
=C@0
W
7&0*:G&1)*M2*+,-.&/0-BM.3
' ]+ ≥
VÝ dô 4 :
(ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997)
Lời giải.
=$=$=$
=$=$=$
@X&C6&74E+,UI&3
$ =$=$=$
≤ ⇒ ≥
+ + ≥ ≥
+ − + −
¸
E7&0*
$ $ $
= $ $ $ $ $ $
≥
÷ ÷
VÝ dô 6 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003)
Lời giải.
()* 3
= = =
= = = =
! ! ! !
E7&0*
+ + + ≥ + + +
VÝ dô 8 :
(ĐH Thủy lợi – Năm 1997)
Lời giải.
8
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có:
!
! ! ! ! !
! !
!
+ + + + ≥ = ⇒ ≥ −
(1)
!
!
UI&A3
≥
(2)
!
G& W4=8 4 W 8W W8
=84W =8 4 W
3=8$4=4$W=W$8 ] C@0
56&7894:-*12;-*8
+ +
+ +
+ +
≥ ⇒
¸
<4<W
E % 7&0*
$
∈ ≥
+ + > −
+ + −
VÝ dô 10 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 8/1996)
Lời giải.
=+,
=$=
$
≥ −
− + +
(2)
$
≥ −
− + +
(3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm.
==$<
56&7894:-*12;-* ==$< %
==$<
-.&894:
⇒ = ∉
Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc
E84WM2+,UI&1284W<7&0*:G&
8 4 W
+ ≥ =
+
+
¸
4 W W 8
=8 4 W
$W $8
+ +
+ + + + ≥ + +
÷ ÷ ÷
8 4 W 8 4 W
=8 4 W
$4 $W $8
+ +
⇔ + + ≥ − − + + +
=8 4 W
84W =E84W<
56&7894:-*12;-*8<4<W<
(1)
Tơng tự, ta có:$4 W
4W
4W
+
(2)$W $8
W8
W8
(3)
Mặt khác, ta có:
84 4W W8 84 4W W8
+ +
84 4W W8
8 4 W 8 4 W 8 4 W 8 4 W
F&J1UI&7&_C6&7:PCU\
$ $ $ # #
+ +
+ + + + =
11
56&7894:-*12;-*8<4<W<
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dơng và x + y + z = 1 thì
]84W
84$4W$W8
$84W
(H Tõy Nguyờn Khi A, B-Nm 2000)
Li gii.
@X&543á
<8$4$W$8$4$W # 84W
(1)
84$4W$W8 8 4 W
(2)
Nhõn cỏc v tng ng ca (1) v (2), ta c:
2(xy + yz + zx) 18xyz (3)
Mt khỏc, ta cú:
xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cng cỏc v tng ng ca (3) v (4), ta c:
=84$4W$W8=$84W]84W
]84W
8$4$W 8 4 W 8 4 W ] 8 4 W
+ + + = + +
ữ ữ ữ
+
(1)
Tơng tự:
8$4$W 4 8 W 4 8 W ] 4 W 8
+ + + = + +
ữ ữ
ữ
+
(2)
8$4$W W 8 4 W 8 4 ] W 8 4
+ + + = + +
+ + +
C¸ch 2 ¸
(1)
UI&A3
8$4 4 W W 8 8 4 8 W 8 4 4 W 4 W W 8
8 4 W 8 4 W 8 4 W
+ + = + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + + + +
≥ + +
÷
+ + + + + +
(2)
V=12=+4:
] ] C@0
8$4$W 8 4 W 8 4 W
≥ + + ⇒
÷
+
÷ ÷
= ≤ +
+ + +
8 W 8 4 8 W
8 4 8 W # 8 4 W
+ +
÷ ÷ ÷
= +
+ + +
÷ ÷ ÷ ÷
≤ + + + = + +
÷
UI&A3
=8$4$W 8 4W #
8 8 4 W 8 4W
K4:
8$4$W # 8 4 W
+ + + ≥ =
÷
≤ + +
÷
: C¸ch 4
UI&A
8$4$W # 8 4 W
8$4$W # 8 4 W
F&V&15:PCU\
8$4$W 8$4$W 8$4$W 8 4 W
≤ + +
÷
W
W
F&J1UI&7&_C6&7:PCU\
8 4 W
=
$8 4 W
=56&7894:-*12
− − − −
− = = ≤ ⇒ ≤
+ +
≤
≤
+
+ + ≤
+ +
;-*8<4<W<
14
h?-JJ@X&54E+,UI&CU\
=E8$4$W
8 4 W
$8 4 W
= 8= 4= W
=
$8 4 W
56&7894:-*12;-*8<4<W<
+ +
Bài 4 :
(ĐHQG Hà Nội Khối A - Năm 2000)
7&0*:G&1)*0H*843
4 L
=$8 $ !#
8
4
56&7894:-*2EZ+
ữ
ữ
ữBài 5 :
(Đề Dự bị Khối A-Năm 2005)
EM2+,UI&Q0R$$< 7&0*:G&
$
Y*2EC6&7894:Z
+ + + +
Bài 6 :
(Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005)
7&0*:G& 4 8 B8 4 4 8
Li gii.
@X&5*,@+-*E*F+,=12= 8 8CU\
8 8 8 = 8 + + =
á
(1)
*@XJ@X&5*,@+-*E*F+,=12= 8 8CU\
8 8 = 8 8 + + =
(2)
Cộng các vế tơng ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
8 jk
56&7894:-*12;-* 8 8 8
8 8
= =
=
E7&0*
$ =$=$ = = = =
+ +
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2) và (3), ta đợc:
$ =$=$ = = = =
+ +
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
7&0*:G&:E&0F0&*J-B3
@ @ @ @
:E&C3M2JCF2*^12@M2e1*_0&*J
+ +
Ví dụ 3 :
Lời giải.
@X&5*,@+-*E*F+,=12= @ @ @CU\
@ @ @ = @ = @ = @
< @ @ @ @
+ + + + + + =
+ + =
á
56&7894:-*12;-*
@ @ @
= = = =
Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
()*M2+,UI&Q0RC6&7$$<7&0*:G&
+ +
(3)
=
+ +
(4)
Cộng từng vế của (2), (3) và (4) đi tới:
h = =CN&C@0
+ + =
E84WM2+,UI&128$4$8 7&0*:G&
8 4 W ]
8 4 W
+ + + + +
Ví dụ 2 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2003)
Lời giải.
L
W$ ] W
W W
+
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta có:
K ] 8 4 W L
8 4 W
4K ] ]=8 4 W L ]=8 4 W
8 4 W
L =8 4 W ] # ] ]
8 4 W
C@0
+ + + + +
ữ + + + + + + +
ữ + + + + =
ữ
M E+
F&V&1_C6&7:PCU\
+ =
ữ+ =
ữ
( )
=M M =M M M M E+ E+ E+
+ + + + + = + +
ữ
(1)
@X&5*,@8-*E*F+,=12 E+ E+ E+ 3
E+ E+ E+ E+ E+ E+
=M M M M
56&7894:-*12;-* CD
+ + +
(2)
Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy hoặc dùng ph-
ơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen.
Bài tập tự luyện:
19
7&0* = 1)*0H*+,AUI&
E84W7&0*
84W=8$4$W$ 8 4 W =8 4 W j=8 4 W =8 4 W k ]
E
+ + +
+ +
+
+ + + + + +
Bài 1 :
Bài 2 :
Bài 3 :
+ = +
ữ ữ
Dấu của biệt thức
Dấu của f(x)
< 0
"=8 8 >
= 0
"=8 8 "= < > 0
Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
<
x
2"=8 8 =8 8
"=8 8 = 8 =8 $
Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều
(Đề 15/II - Bộ đề tuyển sinh)
(1)
Lời giải.
= = + + + + + + +
(2)
(:J*M207S* E3*i7
<=$$$ =
E5*,@+-*3
=$$$ = =
(S4=CN&1)*
+ + +
+ + + + + +
+4:=CN&
7&0*:G&
!8 !4 !W #84 ]8W ]4W
1)*0H*+,84W-.&C`&p*G&
+ + + >
Ví dụ 2 :
Lời giải.
Xem vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai của x, còn y,
z là những tham số, ta đợc một bất phơng trình bậc hai mà x là ẩn số:
f(x, y, z) = 5x
2
+ 2(3y - 4z)x + 5y
2
+ 5z
"=84W<!8
(S4C6&7=CN&1)*0H*84W-.&C`&p*G&
+ + >
>
E 7&0*
8
8=E+ E+ +* 8 >
+
Ví dụ 3 :
Lời giải.
8
8
so07"=8< 8=E+ E+ +* 3
=E+ E+ +* E+ E+ +*
+ +
+
= + =
ữ
Xem hai đẳng thức đã cho là một hệ hai phơng trình mà b, c là hai ẩn số, a là
tham số. Hệ phơng trình này có nghiệm. Từ đó ta tìm đợc tập hợp các giá trị của
tham số a.
Từ giả thiết, ta suy ra:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
= 2 + 2 = 4
$$<
$$<
biCREUI&CUI&1)**i
$$< $$<
=v =vv
$$< $$<
soi=vVu7_i+4:$<412Eu7*CU\
$=
u,*\@J-c9=12=CU\
(B3OCn*aE:E&*C6&7CREPq&3
12
Bài tập tự luyện:
7&0*=8$4 8 ! !4 4 ! # 84 > + Bài 1 :
7&0*:G&M2JCF2*^_0F0&*JBM.3
=
+ + > + +
Bài 2 :
7&0*:G&1)*0H*8 >CD3
+*8$! E+8$!+*8
Bài 3 :
Dạng 4: Phơng pháp đạo hàm
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên
khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm
=
z
B" =8 8 =
E20+,4<"=88JCx123C^E20:P-E9&=
c) Điều kiện đủ của tính đơn điệu (dấu hiệu đơn điệu) :
z
z z
z
z z
8 =" =8
" =8 E?" =8 ^*{^C*O08
"=8C`&*:P-E9&=
8 =" =8
" =8 E?" =8 ^*{^C*O08
"=8&x*:P-E9&=
=
=
z
z
zz
z
zz
" =8 :P=8 8
8 M2C*O0A*O_"=8
" =8 :P=8 8 $
5xMg
" =8
8 M2C*O0A*O_"=8
" =8
" =8
8 M2C*O0AC^*_"=8
" =8
<
>
=
8
so20+,"=8< :Pe-E9& $ ()*0H*8 3
" =8 =1B 1)*8
h?-J[420+,M*PX:P $ EC3"=8C`&*:Pe-E
= > = >
[
)
8
8
9& $
(S41)*0H*8
8
"=8< "=<
8
5*DC37&Q 8
> +
Chú ý: 1) Với bài toán này, ta cũng có thể xét hàm số
8
8
&=8<
z
8
so20+,"=8< 1)*8
M8
M 8 8
M 8
8
3" =8 =E8
M 8 M 8
(S4"=8C`&*P"=$"= =C@0
= = >
8
+*8 &8
()*8 7&0*
+
+ >Ví dụ 3 :
(ĐH Y dợc Tp. HCM - Năm 1993)
Lời giải.
25
Copyright: Tài liệu đại học ©