Bài 5: Tiếp tuyến hàm ña thức và phân thức – Khóa ñảm bảo thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI 5. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM ðA HỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.

Bài 1. Cho ñồ thị
( )
2
2 1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. CMR trên ñường thẳng
(
)
: 7
y
∆ =
có 4 ñiểm sao
cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc
45


Lời giải
: L
ấ
y

ng trình:
( ) 7
y k x m
= − +
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố
(C)

⇔
h
ệ

( )
2
'
2
2 1
( ) ( ) 7(1)
1
2
( ) 2 (2)
1

x x
k x k m
x
x x k m
x x
k m
x
− +
⇒
= − + − +
−
⇒
+ + = − − + − +
− −
+ −
⇒
=
−

Thay (3) vào (2)
ñượ
c:
2
4 (1 )
2 2
4
k m
k
+ −
 

−
⇔

=

−


ð
k 2 ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i nhau m
ộ
t góc
45

t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
( )


2
2
10 17 0
6 15 0
m m
m m

− + =

⇔

+ − =


Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th

= −

⇔

= − +


= − −


Vậy có 4 ñiểm M thảo mãn bài toán.

Bài 2. Cho ñồ thị
( )
3 2
: 1
m
C y x mx m
= + − −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại
các ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C

x y
⇒ = + − − ∀
⇒ − + − − = ∀

− = = = −
 

⇒ ⇒ ∨
  
= = −
 
− − =



Do ñó có 2 ñiểm cố ñịnh mà
(
)
m
C
ñi qua là
(
)
1
1;0
M
và
(
)
2

Bài 3. Tìm ñiểm
( )
3 2
: 2 3 12 1
M C y x x x
∈ = + − −
sao cho tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M
ñi qua gốc tọa ñộ.
Lời giải: Gọi
0 0
( ; )
M x y
là ñiểm cần tìm
3 2
0 0 0 0
2 3 12 1
y x x x
⇒ = + − −

(1)

PTTT c
ủ
a (C) t
ạ
i M là:

(
)
(

(2)

(
)
3 2 2
0 0 0 0 0 0
2 3 12 1 6 6 12
x x x x x x
⇒ + − − = + −
Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng

−

Bài 4
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

( )
3 2
: 3 2
C y x x
= − +
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ng trình d
ạ
ng:

5
(d):y x a
3
= − +

ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
(d) và (C) ti
ế
p xúc nhau là: h
ệ

3 2
2
5
3 2 x a
3
5
3 6
3
x x

− = − ⇒ − + = ⇒


= → =



V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán:
1
5 29
( ) : x
3 27
d y = − + và
2
5 61
( ) : x
3 27
d y = − +

Bài 5
. Vi
ế

ñ
i qua
(
)
0; 1
A
−

ñế
n
3 2
2 3 1
y x x
= + −
và
0
x
là hoành
ñộ

ti
ế
p
ñ
i
ể
m
(
)
2 3 2



⇒ + = ⇒

= −


V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y 1
= −
và
9
y x-1
2
=
Bài 5: Ti
ế
p tuy
ế
n hàm
ñ
a th

p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
1; 2
A −

ñế
n
3 2
3 2
y x x
= − +

Lời giải
: G
ọ
i (d) là ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i qua
(
)
1; 2

Do
( )
A d
∈
nên:
(
)
3 2 2
0 0 0 0
2 3 2 3 6
x x x x
= − + − −

3 2
0 0 0
0
2
0 0 0 0
0
6 6 0
0
( 6 6) 0 3 3
3 3
x x x
x
x x x x
x
⇒ − + =
=


i qua
(
)
2; 6 3
A
ñế
n
3 2
3 6 8
y x x x
= − − +

Lời giải
: Làm t
ươ
ng t
ự
Bài 5 và Bài 6
Bài 8
. Cho
( )
3 2
: 2 3 12 5
C y x x x
= − − −
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
2
3
y x
= +

c, Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
5
2
y x
= − +

≠ −

ð
K
ñể

(
)
d
và
(
)
C
ti
ế
p xúc là h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
3 2
2
2 3 12 5 6
6 6 12 6
x x x x b
x x

− − − = +



i
3 32
x b
= ⇒ = −

V
ậ
y có 2 ti
ế
p tuy
ế
n th
ỏ
a mãn bài toán là:
(
)
1
: 6 8
d y x
= +
và
(
)
2
: 6 32
d y x
= −

b, Ti
ế

ñ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c – Khóa
ñả
m b
ả
o th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
ti


- PTTT tại
1
1 7
2
x
+
= là:
(
)
1 1
3( ) ( ) 3 4 3 7
y x x y x x= − − + = − + −
- PTTT t
ạ
i
2
1 7
2
x
−
= là:
(
)
2 2
3( ) ( ) 3 4 3 7
y x x y x x= − − + = − − +
c, G
ọ
i k là h

k k
k
k
k
+
=

+
= = ⇔ + = + ⇔

= −
+

+


- V
ớ
i
1
k
=
ta có pt hoành
ñộ
ti
ế
p
ñ
i
ể

6
x
+
= là
1 1
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − +
 
 
 

PTTT tại
2
3 87
6
x
−
= là
2 2
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − −
 

3
3 5 3
6
x
+
= là
3 3
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 
= − − + = − − +
 
 
 

PTTT tại
2
3 87
6
x
−
= là
4 4
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 

⇔
hệ
3 2
2
3 (1)
3 6 (2)
x x kx km
x x k

+ = −


+ =


có nghiệm.
Thế (2) vào (1) ta có:
(
)
( )
3 2 2
3 3 6
x x x x x m
+ = + −

( )
(
)
( )
2

x x
khác 0 sao cho
1 2
1
k k
= −
(k xác ñịnh theo x trong (2))

( )
( )( )
( )( )
2
2
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
3 3 48 0
9 30 9 0
(0) 6 0 0
9 2 1 2 1 1
3 6 3 6 1
m m
m m
g m m
x x x x
x x x x


∆ = − + >
+ + >

=



⇔ ≠ ⇔


− +

− − + − + = −
=




Vậy có 2 ñiểm thỏa mãn là:
1
3 6
;0
27
M
 
− −
 
 
 
và
2
3 6
;0

a, ðồ thị
(
)
C
có TCN:
(
)
1
: y 3
d
=
và TCð:
(
)
2
: x 3
d
=
⇒
tọa ñộ ñiểm
(
)
3;3
I

Lấy ñiểm bất kì
( )
10
3 ;3 , 0
M m C m

2
2 2 2 2 2
10 20 30 3 1 1 1 3 6 9
3 2 1 0
3
x
x x x
m x m m
m m m m m
     
+
− + + + = ⇔ − + + − + + =
     
−
     

Dễ thấy pt trên có 2 nghiệm phân biệt
1 2
x x
<
. Gọi
(
)
1 1
;
A x y
và
(
)
2 2

 
 

V
ậ
y m là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB (
ñ
pcm)
b, Do tam giác IAB vuông t
ạ
i I, mà có M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB nên ta có:

( )
( )
( )
( )
1 2
1 10