Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail: [email protected] 1 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐỀ THI CAO HỌC NĂM 2013
Câu I: Giải các phương trình vi phân:
4 3
1/ 3 5
2 / 2 5sin(3 ) 25cos(3 )
−
′
+ =
′′ ′
+ − = −
x
y y x e
y y y x x

Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
4 2
4 2
1
2 3 1
, .
2 1 8 1
+ +
∞
=
+ +
   

1
1
1 .2 .
3 3 1
−
∞
+
=
−
+
∑
n
n n
n
n
x
n

Câu III:
1/ Kh
ả
o sát c
ự
c tr
ị
và ti
ệ
m c
ậ
n c

∂ ∂
u u
A
x y

T
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1, y = 2 và
2 2
2 2
2 3
∂ ∂
= −
∂ ∂
u u
B
x y
t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 2, y = 1.
Câu IV:
1/ Tính

−
+
= − =
x
x
y y e x
P x y e x Q x y
y y
. Tìm hàm h(x,y) = yg(x), g(0) = 1
sao cho bi
ểu thức h(x,y)P(x,y)dx + h(x,y)Q(x,y) là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đò. Với
h(x,y) v
ừa tìm, tính tích phân
(
)
(
)
( , ) ( , ) , ,= +
 
 
∫
L
J h x y P x y dx h x y Q x y dy
, trong đó L là phần
đường cong :
4cos 3cos 1 0
+ + =
x y theo chi
ề
u t

a hàm
3 3 2
3 3 3 3 2
= + + − + − −
z x y x xy x y

2/ Ch
ứ
ng minh tích phân suy r
ộ
ng
3
3
3 1
+∞
=
− −
∫
dx
K
x x
h
ộ
i t
ụ
. Tính K.

Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail:
[email protected]

+ = ⇔ = − ⇔ = =
dx
x
dy
y y dx y Ce Ce
y

Xem C là hàm s
ố
, ta tìm hàm s
ố
y = C(x).e
-3x
th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình (1)
Ta có:

(
)
(
)
( )
3 3 3 4 3
4 4 5
(1) ' 3 3 ( ) 5
5 5 ( )
− − − −

)
(
)
2 5sin 3 25cos 3
′′ ′
+ − = −
y y y x x
(2)
Ph
ươ
ng trình
đặ
c tr
ư
ng:
2
1
2 0
2
=

+ − = ⇔

= −

k
k k
k

⇒

a (2)
ở
d
ạ
ng:
sin3x+Bcos3x
∗
=y A
Khi
đ
ó

( )
( )
* 3 cos3 3 sin 3
* 9 sin 3 9 cos3
′
= −
′′
= − −
y A x B x
y A x B x

Thay vào (2) ta
được:
Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail: [email protected] 3 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật

sin 3 2cos3
−
= + − +
x x
y C e C e x x

Câu II:
Trung tâm ôn thi Cao học MSc – Mr Đức
1. CHIÊU SINH LỚP ÔN THI CAO HỌC VÀO BÁCH KHOA ĐỢT THÁNG 10
KHAI GIẢNG: 22/6/2013
Lớp 1: Học tối 2, 3, 4,
Lớp 2: Học tối 3, 5, 7,
Lớp 3: Học Thứ 7, CN.
Học phí 1 môn: 90 tiết * 30 000 VNĐ/1 tiết = 2 700 000 VNĐ
Sỉ số: 30 Học viên / 1 lớp. Học thử 1 tuần miễn phí
***
Đă
ng ký b
ằ
ng cách nh
ắ
n tin (Ms Tú: 0909 733 469) theo m
ẫ
u sau:
1. H
ọ
và tên: Nguy
ễn Văn A
2. Mail:
[email protected]

2 3 1
2 1 8 1
+ +
+ +
   
=
   
+ +
   
n n n
n
n n
u
n n

Ta có
0
≥
n
u
nên chu
ỗ
i s
ố

đ
ã cho là chu
ỗ
i s
ố

ấ
y:
4 2
2 2
2 4
2 4 2
1 2 1
(2 1)
4 2
2
1 2
2 4
2 1
1
2
2
2
2 3 2
*lim lim 1
2 1 2 1
2
lim 1
2 1
+ +
+
+
+ +
→∞ →∞
+ +
+

n
n
n n
e
n

1
1
1 1
*lim lim
1
8 1 8
8
→∞ →∞
+
+
= =
+
+
n n
n
n
n
n

2
lim 1
8
→∞
⇒ = <

ủ
a chu
ỗ
i l
ũ
y th
ừ
a
( )
( )
1
1
1
1 .2 .
3 3 1
−
∞
+
=
−
+
∑
n
n n
n
n
x
n

Ta có:

+ −
→∞ →∞
+
= = =
+
n
n
n
n n
n n
n
n
a
L
a nTrung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail:
[email protected]
5
Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật

⇒
Bán kính h
ộ
i t
ụ

1 3

3 1
lim
1
1 1
phân ky
6 3 1
1
phân ky
∞
→∞
=
∞
=


+


⇒

+




∑
∑
n
n
n

Đ
ây là chu
ỗ
i
đ
an d
ấ
u th
ỏ
a mãn
đị
nh lý Lepnit nên h
ộ
i
t
ụ
.
V
ậ
y mi
ề
n h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i hàm

+
=
−
x
y
x

*TX
Đ
:
(1, )
= +∞
D
( )
2
2
2 2
9
9
1
1
1
1
8
1
8 8
2 2
1 1
′
 

0 1 0
4
1
= −

′
= ⇔ − = ⇔

=
−

x
y
x
x

x 1 4

+∞

y’ - 0 +
y y
CT


= +∞ ⇒ =
x
y x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng.
*
lim
→+∞
= +∞ ⇒
x
y

Đồ
th
ị
hàm s
ố
không có ti
ệ
m c
ậ
n ngang.
*
( )
2

3 4
= −
du du
A
dx dy
t
ạ
i
(
)
(
)
, 1,2
=x y

Ta có:
2 2 2 2
6 5 5 4
,
2 3 5 2 2 3 5 2
∂ − ∂ − +
= =
∂ ∂
− + − +
u x y u x y
x y
x xy y x xy y

( ) ( )
6.1 5.2 5.1 4.2 3

2 2
2 2 2 2
6 5
6 3 5 2
2 3 5 2
1 1
. 2,1
2 3 5 2 32
−
− + −
− +
∂ ∂
= ⇒ = −
∂ − + ∂
x y
x xy y
x xy y
u u
x x xy y x

( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
5 4
4. 3 5 2
2 3 5 2

1. Tính
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
ln 2
2
+ +
+ + +
∫∫
D
x y dxdy
x y x y

v
ới D:
( )
(
)
2
2
2 2 2
2 2
− ≤ + ≤ −e x y e
Chuyển sang tọa độ cực
cos

Hoặc liên hệ: 0909 733 469 (Ms Tú) hoặc 096 560 2478 (Ms Thảo) hoặc Thầy Đức: 097 267 0808
Mail: [email protected], Xem thêm tại : www.onthicaohoc.com

***
5. Trung tâm duy nhất hoàn trả 100% HỌC PHÍ nếu Học viên không cảm thấy yên tâm về chất
lượng giảng dạy. Học viên được học thử 2 buổi/môn (MIỄN PHÍ) để khẳng định chất lượng
Giảng dạy.
6. Trung tâm duy nhất ôn thi có UY TÍN và KINH NGHIỆM LÂU NĂM trong ôn thi Cao học tại
Tp.HCM cũng như toàn miền Nam.
7. Trung tâm duy nhất có đầy đủ TÀI LIỆU, ĐỀ THI, ĐÁP ÁN Cao học các trường, Bài giảng, Bài
tập phong phú các môn do chính Giảng viên của trung tâm biên soạn có chất lượng cao.Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail: [email protected] 8 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật

D
↔
D’
2
2 2
0 2

− ≤ ≤ −

≤ ≤

ϕ π
e r e


0 2 0 2
ln 2
ln 2 ln( 2)
2
− −
− −
+
⇒ = = + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
π π
ϕ ϕ
e e
e e
r
I d dr d r d r
r

(
)
2
2
ln 2
2
2 3
2
2
+
−
= =

( )
sin
cos 2 cos
. ( ). 2 sin
. .
−
−
 
 
 
+
∂ −
∂
 
 
 
 
   
⇔ =
∂ ∂
x
x
y
y e x
y g x e x
y g x
y
y
y x


)
( ). cos 2 cos ( ). 2 cos 2 sin
− − −
′
 
= + + − −
 
x x x
g x y e x g x e x e x

[
]
( ) ( ) cos 2 cos 0
( ) ( )
( )
−
′
 
⇔ − + =
 
′
⇔ =
⇔ = +
x
x
g x g x y e x
g x g x
g x e c

Do g(0) = 1

]
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
sin cos 2 cos
. 2 sin . .
sin 2 sin cos 2cos
−
−
= +
 
 
+
= − +
 
 
 
 
 
= − + +
 
∫
∫
∫
L
x
x x x
L
x x
L
J h x y P x y dx h x y Q x y dy

ng cong L mà ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào
đ
i
ể
m A và B.
V
ậ
y
( ) ( )
0 0
( , ) sin 0 2.0sin cos 2cos sin 2 cos
= − + + = +
∫ ∫
y
x
x x x
u x y e x dx e y x dy e y y x

( )
( ;2 )
( , ) sin 2 cos 4 2 cos 5
;
3
3

2 2
2 2
0
0, 1
3 6 3 3 0 2 1 0
0
1, 0
3 3 3 0 1

′
=
 = =
+ − + = + − + =

 
⇔ ⇔ ⇔
  

′
=
= − =
− − = = −






x
y


xx
xy
yy
z x
z
z y

⇒
*Tại M(0,1) có:
2
6, 3, 6
27 0
= = − =
∆ = − = >
A B C
AC B

⇒
M là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a z

Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật

V
ậ
y z có 1 c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i M(0,1) và z
CT
= z(0,1) = - 4
2. *Ch
ứ
ng minh
3
3
3 1
+∞
=
− −
∫
dx
K
x x
h
ộ
i t
ụ

3
( )
lim lim 1 0,
( ) 3 1
hoi tu
3 1
hoi tu
+∞
→+∞ →+∞
+∞

= = ∈ +∞

− −

⇒

− −



∫
∫
x x
f x x
g x x x
dx
x x
dx
x

***
8. Trung tâm duy nhất hoàn trả 100% HỌC PHÍ nếu Học viên không cảm thấy yên tâm về chấ
t
lượng giảng dạy. Học viên được học thử 2 buổi/môn (MIỄN PHÍ) để khẳng định chất lượng
Giảng dạy.
9. Trung tâm duy nhất ôn thi có UY TÍN và KINH NGHIỆM LÂU NĂM trong ôn thi Cao học tại
Tp.HCM cũng như toàn miền Nam.
10. Trung tâm duy nhất có đầy đủ TÀI LIỆU, ĐỀ THI, ĐÁP ÁN Cao học các trường, Bài giảng, Bài
tập phong phú các môn do chính Giảng viên của trung tâm biên soạn có chất lượng cao.

WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER
WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER
class="bi x6 y286 w9d h4b"
WWW.ONTHICAOHOC.COM - FIRST STEP TO GET MASTER

Trung tâm ôn thi Cao học MSc www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808
Mail: [email protected] 11 Đáp án Tham khảo môn Toán kỹ thuật
Trung tâm ôn thi Cao học MSc – Mr Đức
1. CHIÊU SINH LỚP ÔN THI CAO HỌC VÀO BÁCH KHOA ĐỢT THÁNG 10
KHAI GIẢNG: 22/6/2013
Lớp 1: Học tối 2, 3, 4,
Lớp 2: Học tối 3, 5, 7,
Lớp 3: Học Thứ 7, CN.
Học phí 1 môn: 30 000/VNĐ/1 tiết * 80 tiết
***
Đăng ký bằng cách nhắn tin (Ms Tú: 0909 733 469) theo mẫu sau:
1. Họ và tên: