Chuyờn TH TCH KHI A DIN Luy
n thi i hc 201
3

1
H'
H
B'
A'
B
A
O

H'
H
C'
B'
A'
C
B
A
S

Ch:
T

= =
' '
Gọi H, H' lần lợt là hình chiếu vuông g
óc của A và A' lên OB.
1 1
Lúc đó: ' '. ' và .
2 2
OA B OAB
S A H OB S AH OB(
)
= =
' '
Suy ra:
' ' ' ' '
. . Định lý thales
OA B
OAB
S
A H OB OA OB
S AH OB OA OB

Kt

qu
2:

Cho hình chóp . , trên cạnh chọn ' , trên cạnh chọn ' trên cạnh S

.
1 1
' '. và V .
3 3
Suy ra:
' ' ' ' '
. . . Định lý thales
V
S A B C SB C S ABC SBC
S A B C SB C
S ABC SBC
V A H S AH S
V S
A H SA SB SC
AH S SA SB SC
= =
= =

II-
CC K THUT C BN
:

K
thut 1:

K NG PH

Bi tp 1: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy
AB a
=

OK AE
OK AE
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ

Suy ra: K l trung im EC.

K
I
60
0
O
E
M
N
S
D
C
B
A
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luy
ện thi Đại học 201
3

. .
. .
. . .
S AMEN S AME
S AMEN S ABCD
S ABCD S ABC
V V
SA SM SE
V V
V V SA SB SC
= = = = Þ =

Bài tập 2:
Cho hình chó
p tam giác đ
ều S.ABC có cạnh bên

SA a=
, cạnh bên SA hợp với
m
ặt đáy (ABC) một góc bằng 60
0
.
a.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo
a
.
b.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.


NE MK
ì
ï
í
=
ï
î

Suy ra: E là trung đi
ểm SK.Vậy
1
3
SE
SC
=

Ta có:
1 1
3 3
= = Þ =
.
. .
.
. .
S ABE
S ABE S ABC
S ABC

V B ABC S
D
=
và
(
)
.
1
d ,( .
3
S ABE ABE
V B ABE S
D
=

Suy ra:
(
)
(
)
1 1
3 3
D
D
D D
= = = = Þ =
.
. .
.
d ,( .

.
a
) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD tại điểm P. Tính tỷ số
SP
SD
.
b
) Mặt phẳng (AMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.

K
E
N
M
60
0
C
B
A
S

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luy
ện thi Đại học 201
3


SD SB SD
= = Þ =
.
b)
O là trung đi
ểm của BD và IM // BD nên

I là trung điểm của PM, suy r
a:
;
ABC ACD AMN APN
S s S S= =

Do đó
:. .
. .
2
2 1 1
. . 1
2 3 2 3
S AMPN S AMN
S ABCD S ABC
V V
SA SM SN
V V SA SB SC
= = = ´ ´ =


bên
(
)
SA ABC^

và
4
cmSA =
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC;

m
ặt phẳng (P) cắt SC và SB lần lượt tại D và E.

a
. Chứng minh
:
(
)
AE SBC^
.

b
. Tính thể tích khối chóp S.ADE.

Gợi
ý:
a)
Chứng minh
:
(

)
AE SBC^
(đ.p.c.m)

b)
Tính thể tích khối chóp S.ADE.

Xét
SAB
D
vuông t
ại A.

Ta có:
2
.SE SB SA=

æ ö
Þ = = =
ç ÷
è ø
2
2
. 16
25
SE SE SB SA
SB SB
SB

Tương tự


I
P
N
M
S
A
B
C
D
O

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luy
ện thi Đại học 201
3

4
Suy ra:
= =
.
.
256
. .
1025
S ADE
S ABC
V

Tính thể tích
khối chóp
S.AB’C’D’.
Gợi ý: * Tính th
ể tích khối chóp
S.AB’C’D’:
Nh
ận xét rằng:. .
. ' ' ' . ' ' . ' '
. ' ' ' . ' '
. . .
2
2
' ' ' '
. . . (*)
2
2
S ABCD S ABD

ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
+
è ø
2
2
2
2 2
' '. 4
5
SB SB SB SA SA
SB SB
SB
SA AB

Tương t
ự, trong
SAD
D
vuông tại A.æ ö
Þ = = =
ç ÷
è ø
2
2


O
I
D'
B'
C'
D
S
A
B
C

A
S
B'
B

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luy
ện thi Đại học 201
3


Vậy
.
1
12
ISCM
S ABCD
V
V
=
.
Bài tập 2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là
trung điểm SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp đư
ợc chia bởi mp(AB’D
’).
Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC
tại C’.

Ta có:

. ' '
.
' ' 1 '
. .
2
S AB C
S ABC

.
Kẻ OO’ // AC’
(
)
'O SCÎ
.
Do tính chất các đường thẳng

song song cách đ
ều nên ta có
' ' ' 'SC C O O C= =
.
Do đó
. ' ' ' .
1 1
.
2 3
S AB C D S ABCD
V V=
hay
. ' ' '
.
1
6
S AB C D
S ABCD
V
V
=
.

qua
AB, cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính
SM
SC
để mặt phẳng
(
)
a
chia hình chóp thành hai
phần có thể tích bằng nhau.Đáp số:

3 1
2
SM
SC
-
=
I
M
O
D
C
B
S

(
ĐH B
-
2008
) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và
B,
(
)
, 2 , AB BC a AD a SA ABCD= = = ^
và
2 .SA a=
Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo
.a

Bài giải:

Ta có:
.
.
1
2
S BCM
S BCA
V
SM
V SA
= =

Bài t
ập 2:
(
ĐH A
- 2007) Cho hình ch
óp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung đi
ểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo
a
.
Bài gi
ải:

Ta có:
1
. (1)
4
CMNP
CMBD
V
CN CP
V CB CD
= =

.
.
1

, mà
(
)
(
)
SAD ABCD^
nên
(
)
SH ABCD^
.

Do đó:
3
2
.
1 1 3 1 3
. . .
3 3 2 2 12
S BCD BCD
a a
V SH S a
D
= = =
.

Vậy
3
3
.

S ABC
V
SM SN
V SB SC
=

AM và AN l
ần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do
SAB SAC
D = D
, nên ta
có:

2 2
2 2
4 4
4
5
SM SA a SM
MB AB a SB
= = = Þ =
.

N
M
S
B
A
C
D

=

Do đó:
. . . .
4 4 16 9
. .
5 5 25 25
S AMN S ABC A BCNM S ABC
V V V V= = Þ =

Mà
3
.
1 3
.
3 6
S ABC ABC
a
V SA S
D
= =
suy ra:
3
.
3 3
50
A BCNM
a
V =
(đ.v.t.t)

V
AI AM
V AC AD
= = =
(1)
M
ặt khác
1
2
ACDN
ACDS
V
NC
V SC
= =
(2)
T
ừ (1) và (2) suy ra:
1
12
AIMN
ACDS
V
V
=
.
Mà
3
1 2
.

, hình chi
ếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
thu
ộc đoạn AC sao cho
4
AC
AH =
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh
r
ằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a
.
Bài giải:

T
ừ giả thiết, ta tính được

2 14 3 2
, , , 2
4 4 4
a a a
AH SH CH SC a SC AC= = = = Þ =
.

Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.

Ta có:
.
. .
.

S MBC S ABC
a
V V= =
(đ.v.t.t).

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho khối tứ diện ABCD có
0
90ABC BAD= =
,
0
120CAD =
,
, 2 ,
AB a AC a= =

3 .AD a=
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo
a
.Đáp số:
3
2
2
ABCD
a
V

a
, cạnh bên SA
vu
ông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo
a
.Đáp số:
3
. ' ' ' '
16
45
S A B C D
a
V =

Bài tập 3:
Cho
hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
a
. G
ọi M, P lần
lư
ợt là trung điểm của SA và SC. Mặt phẳng (DMP) cắt SB tại N. Tính theo
a


3
. ' ' '
3 3
8
ABC A B C
a
V =
và
7
.
12
a
R =D
ẠNG
TOÁN 1:

TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCHBài t
ập 1:

(ĐH D
-
2002) Cho
t

ặt khác
4 2 cm, 5 cm.
CD BD BC= = =

Nên
BCDD
cân tại B, gọi I là trung điểm của CD.

2
1
. 2 34 cm
2
BCD
S DC BI
D
Þ = =

Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
3
1 6 34
d , . d , cm
3 17


Ta có:
.
.
S HCD
S BCD
V
SH
V SB
=
.
Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao

nên
2 2
2 2
2 2
2 .
3
SH SA a SH
HB AB a SB
= = = Þ =

Vậy
2 3
. .
2 2 1 2
. . 2.
3 3 3 2 9
S HCD S BCD

.
1
d , .
3
S HCD SCD
V H SCD S
D
=

(
)
(
)
.
d ,
S HCD
SCD
V
H SCD
S
D
Û =
(*)
Ta có
SCD
D
vuông tại C do
2 2 2
AC CD AD+ =


D
= = =
.
Bài t
ập
3
:

(ĐH D
-
2008) Cho
lăng tr
ụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
, AB BC a= =
' 2
AA a=
. Gọi M là trung điểm của BC. Tín
h theo
a
khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và B’C.

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’.

Suy ra: B’C // (AME) nên
(
)
(

)
(
)
(
)
.
.
3
1
d , . d ,
3
C EAM
C EAM EAM
EAM
V
V C EAM S C EAM
S
D
D
= Û =
(*)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có
.AE HM^

Hơn nữa
(
)
BM ABE BM AE
^ Þ ^
, nên ta được

2
1 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8
AEM
a a a
S AE HM
D
= = =
.

Thay vào (*) ta được:
(
)
(
)
.
7
d ,
7
C EAM
EAM
V
a
C EAM
S
D
= =
.



Bài giải:

Theo gi
ả thiết ta có
(
)
'
A H ABC^
.
Tam giác ABC vuông t
ại A và AH là trung tuyến nên
1
2
AH BC a= =
.

H
E
M
C'
B'
A'
B
A
C

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1 2 2
.3.
3 3 3 2
A ABC
A BCC B ABC A B C
ABC A B C
V
a
V V a
V
= Þ = = =
.

Ta có
(
)
(
)
'. ' ' ' '
1
d ', ' ' .
3
A BCC B BCC B
V A BCC B S=

(
)
(
)
'. ' '

.

Ta có:
2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a= = =
.

Thay vào (*) ta được:
(
)
(
)
3
'. ' '
2
' '
3
3 3 14
d ', ' '
14
14
A BCC B
BCC B
V

và
(
)
(
)
2 5
d ,
5
a
A IBC =

Bài t
ập 2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

' , 2
AA AB a BC a= = =
, đi
ểm M
thuộc cạnh AD sao cho
3
AM MD=
. Tính kho
ảng cách từ M đến mp(AB’C).Đáp số:
(
)
(


Bài tập 4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết
AB a
=
, M là 1 đi
ểm thuộc miền trong của tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
.

Đáp số:
1 2 3 4
3
6
3
ABCD
ACD
V
a
h h h h
S
D
+ + + = =

Bài tập 5:
Cho tứ diện ABCD và điểm M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. Gọi
1 2 3 4
, , , r r r r
l
ần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Gọi


11
IV-
BÀI TẬP ƠN TẬP
:
1
1. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích
3
của hai tứ diện ABMD và ABMC .
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp
A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C

3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC=4BM,
AC=3AP, BD=2BN.
Mặt phẳng
(MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số
AQ
AD
và tỷ số thể tích 2
phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp(MNP).
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA
^
(ABCD), SA = 2
a
. Gọi B’,
D’ là hình chiếu của A trên SB,

SD.

a.
^
TÝnh tû sè thĨ tÝch cđa hai khèi chãp S.AB'C'D' vµ S.ABCD.
b. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.AB'C'D'.
9) Cho h×nh l¨ng trơ tam gi¸c ABC.A'B'C'
. MỈt ph¼ng qua A'B' vµ trung ®iĨm I cđa AC chia
l¨ng trơ thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thĨ tÝ
ch gi÷a 2 phÇn ®ã.

SM 1 SN
10) Trªn c¸c c¹nh SA, SB cđa tø diƯn SAB
C lÊy c¸c ®iĨm M,N sao cho = , =2.
MA 2 NB
MỈt ph¼ng ®i qua MN vµ song song víi SC chia tø diƯn thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thĨ tÝch cđa
hai phÇn nµy.
V-
MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA MẪU
:

Đề

1:
Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
AB a=
, cạnh bên SA hợp với mặt
đáy (ABCD) m
ột góc bằng 60
0
.

.

b)

Tính góc hợp bởi mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC.

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luy
ện thi Đại học 201
3

12
c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo
a
.

Đ
ề
3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
AB a=
, m
ặt bên (SAD) hợp với mặt
đáy (ABCD) m
ột góc bằng 60
0

Tính góc h
ợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC.

c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo
a
.