ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Văn Chiến
GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC NHỜ SỐ PHỨC
Chuyên ngành: Toán Sơ Cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Hà Huy Khoái
Thái Nguyên, năm 2012
Header Page 1 of 52.
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Định nghĩa số phức 5
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức . . . 6
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 6
1.2 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Ý nghĩa hình học của các số phức và modun . . . . . . . . 10
1.3.1 Ý nghĩa hình học của số phức . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Ý nghĩa hình học của modun . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 12
1.4 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tọa độ cực trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Các phép toán số phức trong tọa độ cực . . . . . . 14
1.4.4 Ý nghĩa hình học của phép nhân . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Các căn bậc n của đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . 15

Mở đầu
1.Lí do chọn đề tài
Với các bài toán hình học sơ cấp thì việc tìm nhiều phương pháp giải
đem lại cho người học nhiều hứng thú và ham thích học môn toán hơn.
Đặc biệt là đối với các giáo viên, các em học sinh đang trực tiếp giảng dạy
và học tập trong các cấp học phổ thông. Bản thân là một giáo viên đang
giảng dạy ở trường THPT, nên đề tài rất có ý nghĩa trong thực tiễn. Vì
vậy tôi đã lựa chọn đề tài này. Có nhiều cách tiếp cận và nghiên cứu về
đa giác như phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, . . . Tuy vậy, trong
đề tài này tác giả chỉ xin được trình bày một số ứng dụng của số phức
trong việc nghiên cứu và giải quyết một số bài toán về hình học sơ cấp.
Cũng chính vì thế nội dung trong đề tài này gồm các kiến thức về số phức,
một số kiến thức về hình học và một số ứng dụng của số phức trong việc
nghiên cứu một số bài toán về hình học sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống và tổng quát các bài toán về đa giác bằng phương pháp số
phức và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Đồng thời nắm
được một số kĩ thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức.
3. Nhiệm vụ của đề tài
Đưa ra định nghĩa và các phép toán về số phức một cách tổng quát có
ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài đi sâu mở rộng các mảng kiến
thức về số phức áp dụng trong hình học, đặc biệt các bài toán về đa giác.
Bên cạnh đó, qua việc nghiên cứu đề tài trang bị cho bản thân thêm
một số nguồn tư liệu trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu.
Header Page 4 of 52.
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán hình học và dùng số phức vào giải các bài toán
hình học sơ cấp, xét các ứng dụng liên quan.

Chương 1
Định nghĩa số phức
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức
1.1.1 Định nghĩa số phức
Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các số
thực R.
Ta xét tập hợp R
2
= R.R = {(x, y) |x, y ∈ R }. Hai phần tử (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
),
bằng nhau khi và chỉ khi x
1
= x
2
và y
1
= y
2
. Các phép toán cộng và nhân
được định nghĩa trên R
2
như sau:
z

1
) . (x
2
, y
2
) = (x
1
x
2
− y
1
y
2
, x
1
y
2
+ x
2
y
1
) ∈ R
2
.
Với mọi z
1
= (x
1
, y
1

Nhận xét:
1)Nếu z
1
= (x
1
, 0) ∈ R
2
và z
2
= (x
2
, 0) ∈ R
2
thì z
1
z
2
= (x
1
x
2
, 0) .
2)Nếu z
1
= (0, y
1
) ∈ R
2
và z
2

2
+ z
1
với mọi z
1
, z
2
∈ C.
(b) Tính kết hợp: (z
1
+z
2
)+z
3
= z
1
+(z
2
+z
3
) với mọi z
1
, z
2
, z
3
∈ C.
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để
z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C.
(d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức

, z
2
, z
3
∈ C.
Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn
z.1 = 1.z = z. Số phức 1 = (1, 0) gọi là phần tử đơn vị với mọi z ∈ C.
Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = 0 có duy nhất số
phức z
−1
= (x
,
, y
,
) ∈ C sao cho z.z
−1
= z
−1
z = 1 số phức z
−1
= (x
,
, y
,
)
gọi là phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C.
Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C
∗
được định nghĩa như sau
z

n
= z
m+n
;
2)
z
m
z
n
= z
m−n
;
3) (z
m
)
n
= z
mn
;
4)(z
1
z
2
)
n
= z
n
1
z
n

2
+ z
1
z
3
với mọi z
1
, z
2
, z
3
∈ C
∗
.
Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập
hợp C các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường.
Header Page 7 of 52.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
1.2 Dạng đại số của số phức
Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực hiện
các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm dạng
khác khi viết.
Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp R × {0} cùng với
phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R
2
.
Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) là một song ánh và ngoài
ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) = (xy, 0).
Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên

gọi là đơn vị ảo.
Từ các hệ thức trên ta dế dàng có các kết quả sau
a) z
1
= z
2
khi và chỉ khi Re(z
1
) = Re(z
2
) và Im(z
1
) = Im(z
2
).
b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
Header Page 8 of 52.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau:
Phép cộng
z
1
+ z
2
= (x
1
+ y
1

) + Im(z
2
).
Phép trừ
z
1
− z
2
= (x
1
+ y
1
i) −(x
2
+ y
2
i) = (x
1
− x
2
) + (y
1
− y
2
)i ∈ C.
Ta có
Re(z
1
− z
2

2
− y
1
y
2
) + (x
1
y
2
+ x
2
y
1
) i ∈ C.
Ta có
Re(z
1
z
2
) = Re(z
1
) Re(z
2
) −Im(z
1
) Im(z
2
).
Im(z
1

)z.
3)(λ
1
+ λ
2
)z = λ
1
z + λ
2
z.
Lũy thừa của số i
Header Page 9 of 52.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối
với dạng đại số z = x + yi. Xét z = i, ta thu được:
i
0
= 1 ; i
1
= i ; i
2
= −1 ; i
3
= i
2
.i = −i
i
4
= i

=

i
−1

−n
=

1
i

−n
= (−i)
−n
Số phức liên hợp
Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x − yi, số phức đó được gọi
là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z.
Mệnh đề 1.2.2.
1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R;
2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z;
3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm;
4) z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
(số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số

= 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên
hợp);
Header Page 10 of 52.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
8) Công thức Re(z) =
z + z
2
và Im(z) =
z − z
2i
, đúng với mọi số phức
z ∈ C.
Ghi chú:
a) phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C
∗
có thể được tính như sau
1
z
=
z
z.z
=
x −yi
x
2
+ y
2
=
x

1
i) (x
2
− y
2
i)
x
2
2
+ y
2
2
=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
+
−x
1

z
2
| = |z
1
|. |z
2
|; (mô đun của một tích bằng tích các mô đun)
6) |z
1
| −|z
2
|  |z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|;
7)


z
−1


= |z|
−1
, z = 0;

2
|  |z
1
| + |z
2
|.
1.3 Ý nghĩa hình học của các số phức và modun
1.3.1 Ý nghĩa hình học của số phức
Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi là một cặp số thực sắp
thứ tự (x, y) ∈ R × R, vì thế hoàn toàn tự nhiên khi xem mỗi số phức
z = x + yi là một điểm M(x, y) trong không gian R ×R.
Header Page 11 of 52.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Xét P là tập hợp các điểm của không gian

với hệ trục tọa độ xOy và
song ánh φ : C → P , φ (z) = M (x, y) .
Điểm M(x; y) được gọi là dạng hình học của số phức z = x + yi. Số phức
z = x + yi được gọi là tọa độ phức của điểm M(x; y). Chúng ta kí hiệu
M(z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số phức z.
Dạng hình học của số phức liên hợp z của sô phức z = x + yi là điểm
M

(x, −y) đối xứng với M(x, y) qua truc tọa độ Ox.
Dạng hình học của số đối -z của số phức z = x + yi là điểm M

(−x; −y)
đối xứng với M(x, y) qua gốc tọa độ O.
Song ánh φ từ tập R lên trục Ox ta gọi là trục thực, lên trục Oy ta gọi là

−→
j là các vectơ đơn
vị trên trục tọa độ Ox, Oy.
1.3.2 Ý nghĩa hình học của modun
Xét số phức z = x + yi biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M(x, y).
Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức
OM =

(x
M
− x
O
)
2
+ (y
M
− y
O
)
2
.
Vì thế OM =

x
2
+ y
2
= |z| = |
−→
v | môđun |z| của số phức z = x + yi

i tương đương với hai vectơ
−→
v
1
= x
1
−→
i + y
2
−→
j và
−→
v
2
= x
2
−→
i + y
2
−→
j .
Tổng của hai số phức z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + (y

1
+
−→
v
2
.
Hoàn toàn tương tự đối với phép trừ.
Hiệu của hai số phức z
1
− z
2
= (x
1
− x
2
) + (y
1
− y
2
) i là hiệu hai vectơ
−→
v
1
−
−→
v
2
= (x
1
− x

(x
2
, y
2
) bằng modun của số
phức z
1
− z
2
hoặc độ dài của vectơ
−→
v
1
−
−→
v
2
.
Vậy M
1
M
2
= |z
1
− z
2
| = |
−→
v
1

v = λx
−→
i + λy
−→
j .
Chú ý: Nếu λ > 0 thì vectơ λ
−→
v và
−→
v cùng hướng và |λ
−→
v | = λ |
−→
v |, nếu
λ < 0 thì vectơ λ
−→
v và
−→
v ngược hướng và |λ
−→
v | = −λ |
−→
v |. Tất nhiên
λ = 0 thì λ
−→
v =
−→
0 .
1.4 Dạng lượng giác của số phức
1.4.1 Tọa độ cực trong mặt phẳng

Mỗi điểm M trong mặt phẳng, có duy nhất giao điểm P của tia OM với
đường tròn đơn vị gốc O. Điểm P giống như argument cực t
∗
. Sử dụng
định nghĩa hàm sin và cos ta có
x = r cos t
∗
, y = r sin t
∗
.
Vì thế ta dễ dàng có tọa độ Đề Các của một điểm từ tọa độ cực.
Ngược lại, xét điểm M(x, y). Bán kính cực là r =

x
2
+ y
2
. Ta xác định
argument cực trong các trường hợp sau
a) Nếu x = 0, từ tant
∗
=
y
x
ta suy ra t
∗
= arctan
y
x
+ kπ.

) . Với r ∈ [0, ∞) và t
∗
∈ [0, 2π) đó là tọa độ cực
dạng hình học của số phức z Argument cực của dạng hình học của số
phức z được gọi là argument của z, kí hiệu là arg z. Bán kính cực của
dạng hình học của số phức z bằng mô đun cua z. Khi z = 0 mô đun và
argument của z được xác định một cách duy nhất.
Header Page 14 of 52.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Xét z = r (cos t
∗
+ i sin t
∗
) và t = t
∗
+ 2kπ với k là số nguyên thì
z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + i sin t) .
Mỗi số phức z có thể biểu diễn như z = r (cos t + i sin t) với r  0 và
t ∈ R. Tập hợp Arg z = {t = t
∗
+ 2kππ , k ∈ Z} được gọi là arguent mở
rộng của số phức z.
Vì thế, hai số phức z
1
, z
2
= 0 có dạng
z
1

2
,
−1 = cosπ + i sin π , −i = cos
3π
2
+ i sin
3π
2
.
1.4.3 Các phép toán số phức trong tọa độ cực
Phép nhân Giả sử rằng
z
1
= r
1
(cos t
1
+ i sin t
1
) và z
2
= r
2
(cos t
2
+ i sin t
2
) ;
thì z
1

) và z
2
= r
2
(cos t
2
+ i sin t
2
) ;
thì
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(cos (t
1
− t
2
) + i sin (t
1
− t
2
)) .
1.4.4 Ý nghĩa hình học của phép nhân
Xét z

2
, t
∗
2
). Gọi P
1
, P
2
lần lượt là giao điểm
của C(O, 1) với các tia (OM
1
và (OM
2
. Lấy P
3
∈ C(O, 1) với argument
Header Page 15 of 52.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
cực là t
∗
1
+ t
∗
2
và chọn M
3
∈ (OP
3
sao cho OM

OM
1
=
OM
2
1
⇔
OM
3
OM
2
=
OM
2
OA
và

M
2
OM
3
=

AOM
1
nên hai tam giác
M
2
OM
3

∗
+ i sin t
∗
) là số phức với r > 0 và
t∗ ∈ [0, 2π) . Số phức z
0
có n căn bậc n phân biệt cho bởi công thức
Z
k
=
n
√
r

cos
t
∗
+ 2kπ
n
+ i sin
t
∗
+ 2kπ
n

với k = 0, n − 1.
Chứng minh: Sử dụng dạng cực của số phức với argument xác định
Z = ρ (cosφ + i sin φ) . Theo định nghĩa Z
n
= z

√
r

cos
t
∗
+ 2kπ
n
+ i sin
t
∗
+ 2kπ
n

với
k ∈ Z. Nhận thấy rằng 0  φ
0
< φ
1
< φ
n−1
, vì thế các số φ
k
, k ∈
{0, 1 , n − 1} chính là các argument và φ
∗
k
= φ
k
. Ta có n giá trị căn phân

Nhận thấy Z
k
= Z
r
do đó {Z
k
: k ∈ Z} = {Z
0
, Z
1
, , Z
n−1
}. Vậy có
chính xác n giá trị phân biệt của căn bậc n. Biểu diễn hình học các giá trị
của căn bậc n là các đỉnh của một n giác đều nội tiếp trong đương tròn
có tâm là gốc tọa độ, bán kính là
n
√
r.
Ta chứng minh điều trên như sau, kí hiệu M
0
, M
1
, , M
n−1
là các điểm có
tọa độ phức Z
0
, Z
1

+ 2kπ)
n
=
2π
n
với k ∈ {0, 1, , n −2} và số đo cung M
n−1
M
0
là
2π
n
= 2π −(n −1)
2π
n
.
Vì tất cả các cung M
1
M
2
, , M
n−1
M
0
đều bằng nhau nên đa giác
M
0
M
1
M

= cos
4π
n
+ i sin
4π
n
= ε
2
;
. . . ;
ε
n−1
= cos
2 (n − 1) π
n
+ i sin
2 (n − 1) π
n
= ε
n−1
.
Tập hợp

1, ε, ε
2
, , ε
n−1

kí hiệu U
n

= 1 , ε
1
= cos
2π
3
+ i sin
2π
3
= −
1
2
+ i
√
3
2
, và
ε
2
= cos
4π
3
+ i sin
2π
3
= −
1
2
− i
√
3

2
+ i sin
3π
2
= −i.
Ta có U
4
=

1, i, i
2
, i
3

= {1, i, −1, −i}.
Biểu diễn hình học của các căn bậc bốn là các đỉnh của hình vuông nội
tiếp đường tròn C (O, 1) có một đỉnh là 1.
Căn ε
k
∈ U
n
được gọi là căn nguyên thủy nếu mọi số nguyên dương m < n
ta có ε
m
k
= 1.
Mệnh đề 1.4.2. a) Nếu n|q, mọi nghiệm của phương trình Z
n
− 1 = 0
là nghiệm của phương trình Z

18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Mệnh đề 1.4.3. Nếu ε ∈ U
n
là một căn nguyên thủy của đơn vị thì tất
cả các nghiệm của phương trình Z
n
− 1 = 0 là ε
r
, ε
r+1
, , ε
r+n−1
với n
là số nguyên dương tùy ý.
Mệnh đề 1.4.4. Cho ε
0
, ε
1
, , ε
n−1
là các căn bậc n của đơn vị. Với
mỗi số nguyên dương n ta luôn có hệ thức
n−1

j=0
ε
k
j
=

= = a
p−1
.
Header Page 19 of 52.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Chương 2
Số phức và hình học
2.1 Một vài khái niệm và tính chất
2.1.1 Khoảng cách giữa hai điểm
Giả sử các số phức z
1
và z
2
có biểu diễn hình học là các điểm M
1
và M
1
khi đó khoảng cách giữa hai điểm M
1
và M
1
được cho bởi công thức
M
1
M
2
= |z
1
− z

.
b) Đối xứng d (z
1
, z
2
) = d (z
2
, z
1
) , ∀z
1
, z
2
∈ C.
c) Bất đẳng thức tam giác
d (z
1
, z
2
)  d (z
1
, z
3
) + d (z
3
, z
2
) , ∀ z
1
, z

của M.
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh 1) và 2) tương đương. Thật vậy
M ∈ (AB) khi và chỉ khi |a − z| + |z − b| = |a − b|. Đó là
d (a, z) + d (z, b) = d (a, b), hoặc tương đương với; có số thực dương k để
z − a = k (b − z) .
Ta chứng minh 2) tương đương 3)
Xét t =
k
k + 1
∈ (0, 1) hoặc k =
t
1 −t
> 0. Từ đó ta có z −a = k (b − z)
khi và chỉ khi z =
1
k + 1
a +
k
k + 1
b hay z = (1 −t) a + tb. Đó là điều phải
chứng minh.
Tập hợp (AB = {M|A −M −B or A - B - M} được gọi là tia mở với
điểm cuối A và chứa B.
Định lý 2.1.2. Giả sử A(a), B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các trình
bày dưới đây là tương đương
1)M ∈ (AB;
2)Có số thực dương t sao cho z = (1 −t) a + tb, với z là tọa độ phức của
M;
3) arg (z −a) = arg (z − b) ;
4)

z − a
b −a
= 0 do đó
z −a
b −a
∈ R
+
. Điều phải chứng minh.
4) ⇒ 1) lấy
z − a
b −a
∈ R
∗
vì z = a + t (b − a) = (1 −t) a + tb , t > 0.
Nếu t ∈ (0; 1) thì M ∈ (AB) ⊂ (AB . Nếu t = 1 thì z = b và M ≡ B ∈
(AB). Cuối cùng nếu t >1 ta đặt l =
1
t
∈ (0; 1), ta có b = lz + (1 − l) a.
Từ đấy A-M-B và M ∈ (AB). Chứng minh hoàn thành.
Định lý 2.1.3. Giả sử A(a), B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các trình
bày dưới đây là tương đương
1) M nằm trên đường thẳng AB;
2)
z −a
b −a
∈ R;
3) Có số thực t sao cho z = (1 − t) a + tb;
4)


z − a
b −a
∈ R khi và chỉ khi
z − a
b −a
=

z − a
b −a

=
z − a
b −a
đẳng
thức này tương đương với




z − a z − a
b −a b −a




= 0. Vậy 2) ⇔ 4).
Header Page 22 of 52.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
Ngoài ra ta có




z − a z − a
b −a b −a




= 0 . Vì thế 4) ⇔ 5).
2.1.3 Chia đoạn thẳng theo một tỉ số
Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt. Một điểm M(z) nằm trên đường
thẳng AB chia đoạn AB theo tỉ số k ∈ R\{1} khi hệ thức vectơ sau
thỏa mãn:
−−→
MA = k
−−→
MB sử dụng tọa độ hệ thức trên có thể viết
a −z = k (b − z) hoặc (1 − k) z = a −kb. Vì thế ta có z =
a −kb
1 −k
.
Khi k < 0 điểm M nằm trên đoạn thẳng nối A và B. Nếu k ∈ (0, 1), thì
M ∈ (AB\[AB]. Trường hợp còn lại k > 1 thì M ∈ (BA\[AB].
2.1.4 Góc định hướng
Nhớ lại rằng, một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó
được chỉ rõ thứ tự. Tam giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược
chiều kim đồng hồ, hướng ngược lại là hướng âm. Lấy M
1
(z

Chứng minh: Ta xét hai trường hợp
a) Tam giác M
1
OM
2
có hướng âm

M
1
OM
2
=

xOM
2
−

xOM
1
= arg z
2
− arg z
1
.
b) Tam giác M
1
OM
2
có hướng dương


2
z
1

= arg
z
2
z
1
.
Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu O, M
1
, M
2
thẳng hàng.
Header Page 23 of 52.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
23
Định lý 2.1.5. Cho ba điểm phân biệt M
1
(z
1
) , M
2
(z
2
) , M
3
(z
3




z
3
− z
1
z
2
− z
1





cos

arg
z
3
− z
1
z
2
− z
1

+ i sin


2
M
1
M
3
+ i sin

M
2
M
1
M
3

.
2.1.5 Góc giữa hai đường thẳng
Cho bốn điểm M
i
(z
1
) , i ∈ {1, 2, 3, 4}. Số đo góc xác định bởi đường
thẳng M
1
M
3
và M
2
M
4
bằng arg

c = a + (b − a) ε với ε = cosα + i sin α.
Bài toán 1. Cho ABCD và BNMK là hai hình vuông không trùng
nhau. E là trung điểm của AN, F là hình chiếu vuông góc của B lên
đường thẳng CK. Chứng minh rằng E, F, B thẳng hàng.
Lời giải:
Xét không gian phức gốc F các trục tọa độ CK và F B với F B là trục
ảo. Lấy c, b, k là tọa độ các điểm C, B, K với c, b, k ∈ R. Phép quay tâm
B góc quay θ =
π
2
biến điểm C thành điểm A vì thế A có tọa độ là
Header Page 24 of 52.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
24
a = b (1 − i) + ci . Tương tự N là ảnh của điểm K góc quay θ = −
π
2
và
có tọa độ phức là n = b (1 + i) − ki.
Trung điểm E của đoạn thẳng AN có tọa độ phức là
e =
a + n
2
= b +
c −k
2
i.
Vậy E nằm trên đường thẳng F B, ta có đpcm.
Bài toán 2. Cho tứ giác lồi ABCD, trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta
lần lượt dựng về phía ngoài của tứ giác các hình vuông có tâm


, CDP P

, DAQQ

lần lượt là các hình vuông có
tâm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
.
Gọi a, b, c, d, o
1
, o
2
, o
3
, o
4
và m,n,p,q lần lượt là tọa độ của các điểm
A, B, C, D, O
1
, O
2
, O
3

d + a + (d − a) i
2
.
Vì
o
3
− o
1
o
4
− o
2
=
c + d − a − b + i (c − d − a + b)
a + d − b − c + i (d − a − b + c)
= −i ∈ iR
∗
,
nên O
1
O
3
⊥O
2
O
4
.
Ngoài ra

