ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
CẦM THỊ HUYỀN ANH
HÀM ĐƠN ĐIỆU, TỰA ĐƠN ĐIỆU
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 40
Giáo viên hướng dẫn:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
THÁI NGUYÊN, 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Mục lục
Mở đầu 3
1 Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan 5
1.1 Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm đơn điệu bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Lớp hàm tựa đơn điệu 18
2.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Các bài toán liên quan đến hàm tựa đơn điệu . . . . . . . . . 23
3 Một số áp dụng trong đại số 26
3.1 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số . . . . 26
3.2 Sử dụng tính đơn điệu trong so sánh phân số . . . . . . . . . 34
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Mở đầu
Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu là một mảng chuyên đề khá rộng lớn.Hàm
đơn điệu, tựa đơn điệu là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm

kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên trong lớp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp
trung học phổ thông.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Chương 1
Hàm đơn điệu và các tính chất liên
quan
1.1 Hàm đơn điệu
Ta thường sử dụng kí hiệu I (a, b) ⊂ R là nhằm ngầm định một trong bốn
tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] hoặc [a, b] với a < b.
Định nghĩa 1.1 (Xem [2]-[3]). Khi hàm số f (x) xác định trên tập I (a, b) ⊂
R và thoả mãn điều kiện:
Với mọi x
1
, x
2
∈ I (a, b) mà x
1
< x
2
, ta đều có
f (x
1
) ≤ f (x
2
) ,

thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a, b). Nếu xảy ra
f (x
1
) < f (x
2
) ⇔ x
1
> x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ I (a, b) ,
thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b).
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồng
biến trên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi là
hàm nghịch biến trên tập đó.
Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhận
biết khi nào thì một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm
số đơn điệu trên khoảng đó.
Tính chất 1.1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b).
(i) Nếu f

(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trên
khoảng đó.
(ii) Nếu f


n

k=1
a
k

f

n

k=1
x
k

. (1.1)
Chứng minh. Khi f (x) đơn điệu tăng trên R thì hiển nhiên ta có
f (x
j
) ≤ f

n

k=1
x
k

, j = 1, 2, . . . , n.
Suy ra
a
j

k=1
x
k

, (1.4)
được thoả mãn với mọi bộ số dương x
1
, x
2
, . . . , x
n
, điều kiện đủ là hàm
g (x) :=
f (x)
x
đơn điệu tăng trên R
+
.
Chứng minh. Nhận xét rằng, ta có hàm số f (x) = xg (x) và (1.4) sẽ có
dạng (1.1) với a
j
= x
j
(j = 1, 2, . . . , n) :
n

k=1
x
k
g (x

, . . . , x
n
, ta đều có
f (x
1
− x
n
) ≥
n−1

k=1
f (x
k
− f (x
k+1
)).
Nhận xét rằng, (1.5) không là điều kiện cần để g (x) là một hàm đồng
biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g (x) có tính chất
0 < g (x) ∈ C

R
+

, ∀x ∈ R
+
v`a max g (x) ≤ 2 min g (x) ,
ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1.5) được thoả mãn. Chẳng hạn, ta thấy hàm
số
g (x) = 3 + sin x, x ∈ R
+

k

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu
giảm.
Tính chất 1.4. Hàm f (x) xác định trên R
+
là một hàm số đơn điệu giảm
khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a
1
, a
2
, . . . , a
n
và x
1
, x
2
, . . . , x
n
, ta đều
có
n

k=1
a
k
f (x
k


được thoả mãn với mọi bộ số dương x
1
, x
2
, . . . , x
n
, điều kiện đủ là hàm
g (x) :=
f (x)
x
đơn điệu giảm trên R
+
.
Nhận xét rằng, trong số các hàm sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính
f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tính
đồng biến (khi a > 0) và nghịch biến (khi a < 0) trong mỗi khoảng tuỳ ý
cho trước. Đặc trưng sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng
thức hàm) của hàm tuyến tính.
Tính chất 1.6. Giả thiết rằng với mọi cặp bộ số dương
a
1
, a
2
, . . . , a
n
; x
1
, x
2

y
2x
, a
2
=
1
2
, từ
(1.6), ta thu được
f (x)
x
≤
f (y)
y
, ∀x, y ∈ R
+
.
Suy ra g (x) :=
f (x)
x
là một hàm hằng trên R
+
.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Tiếp theo, ta nêu một số tính chất của hàm đơn điệu để ước lượng một
số tổng và tích phân.
Tính chất 1.7 (Maclaurin, Cauchy). Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn
điệu giảm trên (0, +∞). Khi đó ta luôn có
n

k−1
) f (a
k
) ≤
a
n

a
0
f (x) dx ≤
n

k=1
(a
k
− a
k−1
)f (a
k−1
) . (1.8)
Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là một hàm đơn điệu giảm,nên
ta luôn có
(a
k
− a
k−1
) f (a
k
) ≤

Chứng minh. Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diện
tích tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g (y) với diện tích hình chữ nhật
tạo bởi x = 0, x = a; y = 0, y = b.
Hệ quả 1.2. Giả thiêt rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0; +∞) và
f (0) = 0. Gọi f
−1
(x) là hàm ngược của f (x). Khi đó ta luôn có
ab ≤ af (a) + bf
−1
(b), ∀a, b ≥ 0.
Tính chất 1.10. Cho Hàm số y = f (x) liên tục, không âm và đơn điệu
tăng trên [α, β) với 0 ≤ α < β. Khi đó ∀a ∈ [α, β) ; ∀b ∈ [f (α) , f (β)) ta có
a

α
f (x) dx +
b

f(α)
f
−1
(x) dx ≥ ab − αf (α) .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b.
Chứng minh. Gọi S
1
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = α, x =
a, y = 0, y = f (x) thì
S
1
=

1
+ S
2
≥ S −S

. Do đó
a

α
f (x) dx +
b

f(α)
f
−1
(x) dx ≥ ab − αf (α) .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b.
Tính chất 1.11. Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0, b] , ∀a ∈
[0, b]. Khi đó, ta luôn có
b
a

0
f (x) dx ≥ a
b

0
f (x) dx. (1.9)
Tương tự, với f (x) liên tục và đồng biến trên [0, b] , ∀a ∈ [0, b] thì
b


0
f (x) dx ≥
a

0
f (a) dx = af (a) ,
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
hay
1
a
a

0
f (x) dx ≥f (a) . (1.11)
Từ (1.10) và (1.11), suy ra
1
a
a

0
f (x) dx ≥f (a) ≥
1
b −a
b

a
f (x) dx
hay

0

a
f (x) dx+
b

0
f (x) dx


.
Vậy nên
b
a

0
f (x) dx ≥ a
b

0
f (x) dx. (1.13)
Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc a = 0.
Thật vậy, nếu tồn tại c ∈ (0, b) sao cho
b
c

0
f (x) dx = c
b


1
b −c
b

c
f (x) dx. (1.14)
Từ (1.14) suy ra tồn tại ξ ∈ (0, c) v δ ∈ (c, b), sao cho
1
c
(c −0) f (ξ) =
1
b −c
(b −c) f (δ) .
Mà δ > ξ, điều này trái với giả thiết rằng f (x) là hàm số nghịch biến trong
(a, b). Vậy, không xảy ra dấu đẳng thức.
Hệ quả 1.3. - Nếu b = 1 và f (x) liên tục và nghịch biến trên [0, 1] thì
∀a ∈ [0, 1], ta đều có
a

0
f (x) dx ≥ a
1

0
f (x) dx.
- Nếu b = 1 và f (x) liên tục và đồng biến trên [0, 1] thì ∀a ∈ [0, 1], ta
đều có
a

0

n

k=1
p
k
f (x
k
)

n

k=1
p
k
g (x
k
)

≤

n

k=1
p
k
f (x
k
) g (x
k
)

k
) (1.15)
Để ý rằng
n

j,k=1
p
j
p
k
[f (x
k
) g (x
j
) + f (x
j
) g (x
k
)] = 2

n

k=1
p
k
f (x
k
)

n

f (x
k
) g (x
k
).
Kết hợp các đẳng thức này với (1.15), ta thu được

n

k=1
p
k
f (x
k
)

n

k=1
p
k
g (x
k
)

≤

n

k=1

nhất và bậc hai âm trong I (a, b) thì ta nói hàm số f (x) nghịch biến liên tiếp
bậc (1, 2) trong I (a, b).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Tính chất 1.13. Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n +
1 (n ∈ N) và f
(2n+1)
(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P
2n
(x)
bậc không quá 2n sao cho hàm số
h (x) := f (x) − P
2n
(x)
đơn điệu trong khoảng (a, b).
Tính chất 1.14. Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n (n ∈ N
+
)
và f
2n
(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P
2n−1
(x) bậc không
quá 2n −1 sao cho hàm số
h (x) := f (x) − P
2n−1
(x)
lồi hoặc lõm trong khoảng (a, b).
Nhận xét 1.1. Nếu hàm số f (t) đồng biến ( nghịch biến ) liên tiếp bậc (1, 2)
trên I (a, b) thì với mọi v ∈ u f

2
+ ··· + x
n
= y
1
+ y
2
+ ··· + y
n
, x
k
= y
k
, k = 1, 2, . . . , n
Khi đó, ứng với mọi hàm f
1
(t) , f
2
(t) , . . . , f
n
(t) đồng biến bậc n trên
I (a, b) sao cho f
1
n−1
(y
k
) > 0, k = 1, 2, . . . , n, ta đều có:
n

k=1

f

k
(y
k
) (x
k
− y
k
)
1!f
(n−1)
k
(y
k
)
+ ··· +
n

k=1
f
n−1
k
(x
k
− y
k
)
n−2
(n −2)!f

f
(n−1)
k
(y
k
)
(n −1)!
(x
k
− y
k
)
n−1
+
f
(n)
k

y
ˆ
k

n!

x
k
− y
ˆ
k


) +
f

k
(y
k
)
1!
(x
k
− y
k
) + ··· +
f
(n−1)
k
(y
k
)
(n −1)!
(x
k
− y
k
)
n−1
+
f
(n)
k

)
f

k
(y
k
)
+ (x
k
− y
k
)
n

k=1
f
k
(x
k
)
f

k
(y
k
)
≤
n

k=1

≤
n

k=1
f
k
(y
k
)
f

k
(y
k
)
do
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
= y
1
+ y
2
+ ··· + y
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi x
k

(t) , f
2
(t) , . . . , f
n
(t) đồng biến bậc n trên I (a, b)
sao cho f
n−1
1
(y
k
) > 0, k = 1, 2, . . . , n, ta đều có:
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
n

k=1
f
k
(x
k
)
f
(n−1)
k
(y
k
) (x
k
− y
k

k
− y
k
)
1!f
(n−1)
k
(y
k
)
+ ··· +
n

k=1
f
n−1
k
(x
k
− y
k
)
n−3
(n −2)!f
(n−1)
k
(y
k
)
(1.18)

(t) , . . . , f
n
(t) đồng biến bậc n trên
I (a, b) sao cho f
n−1
1
(y
k
) < 0, k = 1, 2, . . . , n, ta đều có:
n

k=1
f
k
(x
k
)
f
(n−1)
k
(y
k
)
≥
n

k=1
f
k
(y


k=1
f
n−1
k
(x
k
− y
k
)
n−2
(n −2)!f
(n−1)
k
(y
k
)
(1.19)
Tính chất 1.18. Giả sử n ∈ N
∗
là một số lẻ và hai dãy số {x
k
, y
k
∈ I (a, b) ,
k = 1, 2, . . . , n} thoả mãn các điều kiện
x
1
+ x
2

k
(x
k
)
f
(n−1)
k
(y
k
) (x
k
− y
k
)
≤
n

k=1
f
k
(y
k
)
f
(n−1)
k
(y
k
) (x
k

(x
k
− y
k
)
n−3
(n −2)!f
(n−1)
k
(y
k
)
(1.20)
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Chương 2
Lớp hàm tựa đơn điệu
2.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan
2.1.1. Hàm tựa đơn điệu
Ta nhắc lại một số tính chất đã biết sau
Giả sử hàm số f (x) xác định và đơn điệu tăng trên I (a, b). Khi đó với
mọi x
1
, x
2
∈ I (a, b), ta đều có
f (x
1
) ≤ f (x
2

, ∀x
1
, x
2
> 0 m`a x
1
+ x
2
≤ 1,
thì không nhất thiết f (x) phải là một hàm đơn điệu tăng trên (0, 1).
Ví dụ, với hàm số f (x) = sin πx, ta luôn có khẳng định sau đây.
Bài toán 2.1. Nếu A, B, C là các góc của ∆ABC thì
sin A ≤ sin B ⇔ A ≤ B. (2.1)
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Như vậy, mặc dù hàm f (x) = sin πx không đồng biến trong (0, 1), ta vẫn
có bất đẳng thức(suy từ (2.1)), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong
(0, 1):
sin πx
1
≤ sin πx
2
⇔ x
1
≤ x
2
, ∀x
1
, x
2

1
) < f (x
2
) ⇔ x
1
> x
2
, ∀x
1
, x
2
> 0 m`a x
1
+ x
2
< b. (2.4)
Bài toán 2.2. Mọi hàm f (x) tựa đồng biến trong (0, b) ⊂ (0, +∞) đều
đồng biến trong khoảng

0,
b
2

.
Chứng minh. Khẳng định được suy trực tiếp từ định nghĩa 2.1. Thật vậy,
khi x
1
, x
2
∈

Bài toán 2.3. Giả thiết rằng hàm h (x) đồng biến trong khoảng

0,
b
2

. Khi
đó hàm số
f (x) =







h (x) , khi x ∈

0,
b
2

,
h (b −x) , khi x ∈

b
2
, b

,

1
, x
2
∈

0,
b
2

thì do h (x) là hàm đồng biến trong khoảng

0,
b
2

, nên ta có:
x
1
< x
2
⇔ h (x
1
) < h (x
2
) ⇔ f (x
1
) < f (x
2
)
Nếu x ∈

2
< b thì
x
2
∈

b
2
, b −x
1

. Khi đó, ta có x
1
< b − x
2
∈

0,
b
2

và
f (x
2
) = h (b −x
2
) > h (x
1
) , ∀x
1

hàm f (x) đồng biến trong khoảng

0,
b
2

. Xét x ∈

b
2
, b

. Khi đó, để
x
1
∈ (0, b) sao cho đồng thời x
1
< x và x
1
+ x < b, ta cần chọn x
1
∈

0,
b
2

và x
1
< b − x ∈

. Vì theo giả thiết, thì
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
f (x
1
) < f (x
2
) với mọi x
2
∈

b
2
, b −x
1

, nên f (x
2
) > f (x).
Tính chất 2.2. Mọi hàm f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞) và thỏa mãn
các điều kiện:
(i) f (x) nghịch biến trong khoảng

0,
b
2

,
(ii) f (x) ≤ f (b − x) , ∀x ∈


0,
b
2

h
1
(x) , khi x ∈

b
2
, b

(2.6)
Trong đó h
1
(x) ≥ h
0
(b −x) , x ∈

b
2
, b

.
Hệ quả 2.2. Để hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) ⊂ (0, +∞) là
hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là tồn tại hàm
số h
0
(x) nghịch biến trong khoảng


Trong đó h
1
(x) ≤ h
0
(b −x) , x ∈

b
2
, b

.
2.1.2. Hàm đơn điệu tuyệt đối
Định nghĩa 2.3 (Xem [2]-[3]). Hàm số f (x) được gọi là hàm đơn điệu tuyệt
đối trong khoảng (a, b) nếu đạo hàm mọi cấp của nó đều không đổi dấu:
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
f
k
(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) , k = 0, 1, 2, . . .
Cũng vậy, ta có định nghĩa hàm đồng biến và nghịch biến tuyệt đối.
Định nghĩa 2.4 (Xem [2]-[3]). Hàm số f (x) được gọi là hàm đồng biến
(nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng (a, b) nếu đạo hàm mọi cấp của nó đều
là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng đó.
Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu, đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối
trong khoảng (a, b) (a > 0) là các hàm số sau.
Ví dụ 2.1. Mọi đa thức P (x) với các hệ số đều dương là hàm đơn điệu tăng
tuyệt đối trong khoảng (0, +∞).
Thật vậy, dãy các đa thức P
k
(x) có các hệ số không âm nên

tính tuần hoàn trong khoảng (a, b) khi và chỉ khi các đạo hàm của chúng
không triệt tiêu (có dấu không đổi) và
f
(k)
(x) f
(k+2)
(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) , k = 0, 1, 2, . . .
Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng
(a, b) (a > 0) là các hàm số sau.
Ví dụ 2.5. Hàm số
f (x) = sin x
là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng

0,
π
2

.
Ví dụ 2.6. Hàm số
f (x) = cos x
là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng

π
2
, π

.
Ví dụ 2.7. Cho hàm số g (x) liên tục và dương trên đoạn [0, +∞) thì hàm
số
f (x) =

1

0
g (t) e
λtx
dt, λ ≥ 0.
Chứng minh rằng
f
(k)
(x)
f
(k+1)
(x)
≥
f
(k+1)
(x)
f
(k+2)
(x)
, ∀x ∈ (0, 1) , k = 0, 1, . . .
Chứng minh. Được suy trực tiếp từ bất đẳng thức Chebyshev đối với tích
phân xác định sau đây
1

0
g (t) t
k
e
λtx


0
g (t) e
−tx
dt.
Chứng minh rằng




f
(k)

x + y
2





≥ 2
k




f

x + y
2