Khảo sát hàm số
1

Đồ thị hàm số và
các bài toán liên quan

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tính đơn điệu của hàm số
1.1. Định nghĩa. Cho hàm số
f
xác định trên
K
, với
K
là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi
đó

f
đồng biến trên
K
(
)
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x

và
0
( )
f x
′
=
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc
I
.

f
nghịch biến trên
I

⇔
0
( ) ,
f x x I
′
≤ ∀ ∈
và
0
( )
f x
′
=
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc
I
.


2.2. Điều kiện đủ để có cực trị
2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
( ; )
a b
,
0
( ; )
x a b
∈
. Khi đó
nếu
( )
f x
′
đổi dấu khi
x
qua
0
x
thì
f
đạt cực trị tại
0
x
.

x


0

(
)
f x
CĐ
(
)
f x
CĐ
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
2
2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số
f
có đạo hàm cấp một trên
( ; )
a b
chứa
0
x
,
0

( )
f x
′′
>
⇒
f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực
trị tại những điểm cụ thể cho trước.
2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị
2.3.1. Hàm số
3 2
( )
y f x ax bx cx d
= = + + +

0
( )
a
≠
,
(
)
C

Giả sử đồ thị
(

A A A A A A
y f x g x f x x x
α β α β
=
′
= = + + = +

;
0
( ) ( ). ( )
B B B B B B
y f x g x f x x x
α β α β
=
′
= = + + = +

.
Suy ra
, :
A B y x
α β
∈ ∆ = +
nên
∆
là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị
(
)
C
.

(
)
;
B B
B x y
. Đặt
2
( )
u x ax bx c
= + +
,
( )
v x dx e
= +
. Khi đó
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′
−
′
=
 
 
 
. Nếu

′
=
′
.
Do đó ta có
2
( )
A
A A
ax b
y f x
d
+
= =
và
2
( )
B
B B
ax b
y f x
d
+
= =
. Suy ra
2
, :
ax b
A B y
d



D
D
D

0 0
, ( )
min ( )
, ( )
x
x f x m
m f x
x f x m
∈


∀ ∈ ≥

= ⇔


∃ ∈ =


D
D
D
.
Nếu

min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
=
và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
=
.
4. Tiệm cận
Đường thẳng
0
x x
=
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0
lim ( )
x x
f x
−
→

được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
nếu
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
.
Đường thẳng
y ax b
= +

0
( )
a

( )
m
C

qua điểm cố định
(
)
0 0
;
M x y

⇔

0 0
( , ),
y f x m m
= ∀1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ( ; ) ,
k k
k k
g x y m g x y m g x y m
−
−
⇔ + + + = ∀

=



.
5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số
( )
y f x
=
,
( )
C
và hàm số
( )
y g x
=
,
( )
C
′
.
Giao điểm của hai đồ thị
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau
( )
C
và
( )
C
′

0 0
; ( )
M x y C
∈
. Viết
phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
.
Áp dụng công thức
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
.
 Tiếp tuyến qua điểm cho trước
Cho
( )
C
:
( )
y f x
=
và điểm
(
)
;

d
tại điểm
(
)
0 0
;
M x y
bất kỳ:
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
. Vì
d
qua
A
nên
0 0 0
( )( )
A A
y y f x x x
′
− = −
. Từ đây suy ra
0
x
.
 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
Cho hàm số

bất kỳ:
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −
. Vì
d
có hệ số góc
k
nên
suy ra
0
( )
f x k
′
=
. Từ đây suy ra
0
x
.
5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Số giao điểm của
( )
C
và
( )
C
′
là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x


≥

=


− <


nên ta vẽ đồ thị
(
)
1
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
(
)
a
C
của
(


 Từ đồ thị
(
)
C
:
( )
y f x
=
,
hãy vẽ đồ thị
(
)
2
C
:
(
)
y f x
=
.
Ta có
( )
(
)
(
)

 Giữ phần đồ thị
(
)
a
C
của
(
)
C
không nằm bên trái trục Oy.
 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục Oy, ta
được phần đồ thị
(
)
b
C
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
2
a b
C C C

.
 Vẽ đồ thị của hàm số
(
)
y f x
= .


 Từ đồ thị
(
)
(
)
(
)
: .
C y u x v x
=
, hãy vẽ đồ
thị
(
)
4
C
:
( ). ( )
y u x v x
=
.





, nên ta vẽ
(
)
4
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
(
)
a
C
của
( )
C

ứng với
(
)
0
u x
≥
.
 Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục

≠
. Khi đó ta có 3 trường hợp

0
∆ <

x
−∞

+∞

f(x)

cùng dấu với a

0
∆ =

x
−∞

0
2
b
x
a
= −

+∞


( )
f x ax bx c
= + +
0
( )
a
≠
. Khi đó ta có

0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ <

> ∀ ∈ ⇔


>




0
0
0
( ) ,f x x


0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ ≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



.
6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước
Xét phương trình bậc hai
(
)
2
0
f x ax bx c
= + + =
(1) và một số thực
α
cho trước. Khi đó
 (1) có hai nghiệm



⇔ >



>



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
0
x x
< <
0
0
0
P
S


∆ >




∆ >



⇔ >





<



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
x x
α
< <
( )
0
0
2
af

< <
. Đặt
t x
α
= −
, phương trình (1) trở
thành
(
)
0
g t
=
(2), ta cần phải có
(2) có hai nghiệm
1 2
,
t t
thỏa mãn
1 2
0
t t
< <
0
P
⇔ <
.
6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai
tương ứng
Cho phương trình trùng phương
4 2

∆ ≥ > <


.
 (1) có một nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
≤ =
0
0
P
S


=

⇔


≤


.
 (1) có hai nghiệm


⇔


(2) có nghiệm
1 2
0
t t
< <WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
6
 (1) có ba nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t
= <
0
0
P
S


=

⇔



.
6.2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
0
:
a x b y c
∆ + + =
và
2 2 2 2
0
:
a x b y c
∆ + + =
. Khi đó
1
∆
và
2
∆
tạo với
nhau một góc
α
thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b

.
k
k
a a
b b
 




⇔ − − = −





 

.
6.3. Khoảng cách
6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
là


Bài 1. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= + + − +
đồng biến trên khoảng
(
)
1 2
;
.
Giải
Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán
⇔
(
)
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y x mx m x
′
= + + − ≥ ∀ ∈


x
g x m
x
−
 
⇔ = ≥ − ∀ ∈
 
 
+
hay
(
)
1 2
;
min
x
g x m
 
∈
 
 
≥ −
.
Ta có
( )
(
)
2
2
2 6 4

 
 

, và
( )
1
1
5
g
= −
,
( )
2
2
7
g
=
.
Do đó
( ) ( )
1 2
1
1
5
;
min
x
g x g
 
∈

trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
i.
2
2 3 2 0y x mx m x
′
= + + − ≥ ∀ ∈

, tức là
2
3 2 0 1 2
m m m
′
∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
ii.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
< ≤
hoặc

m




′
∆ = − + >



= − ≥





= − <




1 2
1
1 1
5
5
2
1
m m
m

Trường hợp 2.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
< <
, ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m





⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅




< −




.
Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
5
m
≥
.
Bài 2. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
(
)
3 2 2
1
2 1 9 9 2
3
y x m x m m x

Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
i.
(
)
0f x x
≥ ∀ ∈

2
8
3 5 8 0 1
3
m m m
′
⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
ii.
(
)
0
f x
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
≤ <







= − + ≥ ⇔ ∈
 
 
 
<
 
 
= − − >
 
 



8
3
m
⇔ < −
.
Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
m
≤

Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
8
Ta có
(
)
(
)
2
2 2 1 1
y f x x m x m
′
= = + − + +
.
a. Hàm số đồng biến trên

khi và chỉ khi
(
)
2
2 2 1 1 0y x m x m x
′
= + − + + ≥ ∀ ∈

. Khi đó
(
)
2

( ) )
2
2
1
4 1
;
x x
g x m x
x
− +

= ≤ ∀ ∈ +∞


+
hay
)
(
)
1;
max
x
g x m

∈ +∞


≤
.
Ta có

= − ∉ +∞




′
= ⇔


= ∉ +∞




.
Bảng biến thiên
x

1

+∞

(
)
g x
′−


m
≥
. Vậy các giá trị
m
cần tìm là
1
5
m
≥
.
c. Yêu cầu bài toán
⇔
(
)
0 0 1
;
y x
′
≤ ∀ ∈
0 0 1
;
y x
 
′
≤ ∀ ∈
 
 
(vì
y
′

x
g x m
 
∈
 
 
≥
.
Ta có
( )
1 0 1
0
1
0 1
2
;
;
x
g x
x

 
= − ∉
 

 

′
= ⇔


1
5
g
=
.
Do đó
(
)
(
)
0 1
0 0
;
min
x
g x g
 
∈
 
 
= =
nên các giá trị
m
cần tìm là
0
m
≤
.
Bài 4. Tìm các giá trị của
m

4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′
= ≥ ∀ ∈
−
, tương
đương với
(
)
(
)
2
4 4 3 0 0 1
;
g x x x m x
= − − − ≥ ∀ ∈
. Vì
g
liên tục tại
0
x
=
và tại
1

)
2 4 0 2 0 1
;
g x x x
 
′
= − = ⇔ = ∉
 
 
;
(
)
0 4 3
g m
= − −
và
(
)
1 4 6
g m
= − −
.
Suy ra
(
)
(
)
0 1
1 4 6
;

đồng biến trên khoảng
(
)
1
;
+∞
.
Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
9
Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
1
;
+∞

⇔

(
)
( )
2 2
2
4 2 1
0 1
;
x mx m

6 1 0
g
m m
′
∆ = + > ∀ ∈

nên
(
)
0
,
g x x
> ∀ ∈

. Do đó các giá trị
m
cần tìm là
1
m
≤
.
Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước

Bài 6. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
3 2
1
2
3

0
3 0
3
m
m m
m

<

⇔ − > ⇔

>


(1).
Khi đó
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 16 4 16
0
x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − −
≥
(2).
Theo định lí Viet ta có
1 2
1 2

(3)
Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1
m
≤ −
hoặc
4
m
≥
.
Bài 7. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
3 2
1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
= − − + +
có hai cực trị
1 2
,
x x

thỏa mãn
1 2
2

6
m
m

−

<


⇔

+

>


(1)
Ta có
1 2
2
x x
=
nên theo định lí Viet, ta có
1 2
2 1
x x m
+ = −
2
2 1
3

= ⇔ = ⇔






= −
 


.
Hai giá trị vừa tìm được của
m
đều thỏa mãn (1) nên
3
m
=
và
2
m
= −
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 8. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
4 2 5 1

(
)
2
4 2 5
y x m x m
′
= − + + +
;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′
= ⇔ =
−
.
Xét hàm số
( )
2
4 5
2
x x
g x
x
− +
=

=


.
Bảng biến thiên
x
−∞

1
−

1

3
22 3 4 5
+∞

(
)
g x
′

++



2
−5
2
−
−∞+∞
2

5
210
3

+∞

Vì nghiệm của phương trình

>
.
b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn
1
−
10
3
m ≤ −
.
c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn
3
2
⇔
5
2
m
< −
hoặc
2
m
>
.
d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4
2
m
⇔ < −
hoặc
5
2
2

(
)
2
2 2 1 0
y x x m
′
⇔ = + − =
có ba nghiệm phân biệt

2
2 1 0
x m
⇔ + − =
có hai nghiệm phân biệt khác 0

(
)
2 1 0
3 0
m
m


′
∆ = − − >


⇔



A B C
(trong đó điểm
A
thuộc trục tung) sao cho tứ giác
ABOC
là hình bình hành.
Giải
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
11
Hàm số đã cho có ba cực trị
(
)
2
2 2 0
y x x m
′
⇔ = + =
có ba nghiệm phân biệt

2
2 0
x m
⇔ + =
có hai nghiệm phân biệt khác 0

0
m
⇔ <

0
y
′
=
là
2
m
x
−
= ±
.
Ta đều có
2
3
6
2 4
m m
y
 
− 



− = −







 
− 



−






 
.
Khi đó
2
2 4
;
m m
BA
 




= −





 
2
2 2
2 2
6 6
3
6
4 4
m m
m m
m m




− = −


⇔ ⇔ = ⇔ = −



= −




(vì
0
m

+
.
Hàm số đã cho có hai cực trị
2
4 6 1 0
mx mx m
⇔ + + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
2
−2
0
2 0
2 1 0
m
m m
m


≠



′
⇔ ∆ = − + >




m
để đồ thị hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 1 1
y x m x m x
= + − + − +
có hai điểm
cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm
(
)
0 3
;
A
−
.
Giải
Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi
(
)
(
)
2
3 6 1 3 1 0
y x m x m
′
= + − + − =

M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
y
′
, ta được
( )( )
2
1 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
 
−


′

= + + − − − +





 
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com

= − − − +
. Do đó
1
M
,
2
:
m
M d
∈
(
)
(
)
2
2 1 2 2
y m m x m m
= − − − +
,
và như vậy
m
d
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1
M
và
2
M
.
Ta có

m
để đồ thị hàm số
3 2
1
3 3
m
y x mx x= + + +
có hai điểm cực trị nằm
cùng phía đối với đường thẳng
2
:
y x
∆ = −
.
Giải
Hàm số có hai cực trị
2
2 1 0
y x mx
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt

2
1 0
m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1

′

= + + −





 
(2)
Vì
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên từ (2) ta suy ra
(
)
2
1 1
2
1
3
y m x
= −
và

2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1 0
3 3
.
x m x x m x
   
   
+ − + − >
   
   (
)
2
2
1 2
4 0
m x x
⇔ − >
(
)
2
2
4 0
m
⇔ − >
hay

2 0
y x x m
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt

1 0
m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1
m
<
(1).
Với điều kiện (1), ta gọi
(
)
1 1 1
;
M x y
và
(
)
2 2 2
;
M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức
y
cho

2 2
2 2
1
3 3
y m x m
= − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
13
Ta có
(
)
(
)
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15
M M x x y y= − + − =

( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4
1 1 4 60
9
m x x x x
 
 

(
)
2
2 4 20 60 0
m m m
⇔ + − + =

2
m
⇔ = −
(vì
2
4 20 60 0m m m
− + > ∀ ∈

).
Ta thấy giá trị
2
m
= −
thỏa mãn điều kiện (1) nên
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Bài 15. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
3

= =
−
có hai nghiệm phân biệt

⇔
2
2 3 0
x x m
− − − =
có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔
4 0
4
4 0
m
m
m

′

∆ = + >

⇔ > −


+ ≠


(1).

)
(
)
(
)
(
)
2
u x v x u x v x
y
v x
′ ′
−
′
=
 
 
 
.
Vì
1
x
là nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên
( ) ( ) ( ) ( )
(

Do
1 2
,
M M
cách đều
∆
nên
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2
x x m x x m
+ + − + + −
=(
)
(
)
1 2 1 2
3 3 2 4 0
x x x x m
 
⇔ − + + − =
 
 (
)

1
3
y x x x
= + + +
có đồ thị
(
)
C
và ba điểm
( ) ( )
22 27
1 1 0 2
5 5
; , ; , ;A B C
 








 
.
Viết phương trình tiếp tuyến
∆
với đồ thị
(
)

)
0 0
;
x y
có dạng

( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x
= + − − +
.
Hoành độ giao điểm
G
của
∆
và
d
là nghiệm của phương trình

( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1 1

3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
(
)
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
2 3 3
2 3
3 2 3 2
;
x x
x x
G
x x
 
+ +


+

22
1 0
2 3
9
5
3 5
3 2
27
1 2
2 3 3
14
5
3 5
3 2
x x
x
x x
x



+ +

+


= =


+

kiện ở phương trình (1).
Với
0
3
x
=
hoặc
0
9
5
x
= −
ta được các tiếp tuyến cần tìm là
16 26
y x
= −
và
16 206
25 125
y x
= +
.
Bài 17. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 1 1
3
y x mx m x
= + + − +

;
(
)
1 7
y m
′
=
và
( )
1
1 5
3
y m
= +
.
Phương trình tiếp tuyến của
(
)
m
C
tại
1
1 5
3
; m
 



+

m
−
⇔ =
−
.
Tung độ giao điểm tương ứng là
(
)
12 2
3 7 2
m
y
m
−
=
−
. Giao điểm của
∆
và
d
cách đều hai trục tọa độ
khi và chỉ khi

(
)
(
)
6 1 12 2
3 7 2 3 7 2
m m





2
7
1
6
m
m



≠



⇔



=




1
6
m
⇔ =

A B
sao
cho tam giác
IAB
có diện tích không đổi.
Giải
Trước hết ta thấy

1
lim
x
y
+
→
= +∞
và
1
lim
x
y
−
→
= −∞
nên
(
)
C
có tiệm cận đứng là
1
1

Do đó giao điểm của
1
∆
và
2
∆
là
(
)
1 1
;
I .
Ta có
(
)
2
3
1
y
x
−
′
=
−
. Phương trình
d
tiếp tuyến với
(
)
C

(
)
(
)
2
0 0
2 2
0 0
4 2
3
1 1
x x
y x
x x
+ −
−
= +
− −
.
Với
1
x
=
thì
(
)
2
0 0
2
0







−


 
là giao điểm của
d
và
1
∆
.
Với
1
y
=
thì
x
=
0
2 1
x x
= −
nên
(
)

1 1 6
2 1 6
2 2
1
. . .
IAB
S IA IB x
x
= = − =
−
(không đổi) (đccm).
Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
C
hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
, biết tiếp tuyến cắt Ox và
Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Giải
Ta có
(
)

)
( )
0
0
2
0
0
2
4
2
2
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
.
Do tiếp tuyến d cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân nên d vuông
góc với một trong các đường thẳng
1
:
y x
∆ =
hoặc
2
:

=

⇔ − = ⇔

=


.
 Với
0
0
x
=
ta có tiếp tuyến
1
y x
= − −
.
 Với
0
4
x
=
ta có tiếp tuyến
7
y x
= − +
.
Nếu
2

C
của
hàm số
3 2
3 1
y x x
= − +
, biết tiếp tuyến
đi qua điểm
(
)
2 3
;A
−
.
Giải
Gọi
k
d
là đường thẳng đi qua điểm
(
)
2 3
;A
−
và có hệ số góc
k
thì
(
)


− =



có nghiệm.
Thay (2) vào (1), ta được
(
)
(
)
3 2 2
3 1 3 6 2 3
x x x x x
− + = − − −3 2
2 9 12 4 0
x x x
⇔ − + − =
2
1
2
x
x

=



= −
, ta có tiếp tuyến
9 3
4 2
:
k
d y x
= − +
.
Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
C
của
hàm số
3
3 1
y x x
= − +
, biết tiếp tuyến
tạo với đường thẳng
3
:
y x
∆ = +
một góc
α
sao cho
5
41

tạo với
∆
một góc
α
sao cho
5
41
cos α
=
⇔

2
1
5
41
2 1
k
k
+
=
+(
)
(
)
2
2
41 1 50 1

2
0 0
3 3 9
f x x
′
= − =
0
2
x
⇔ = ±
. Các tiếp tuyến của
(
)
C
tại
0
2
x
=
và
0
2
x
= −
lần lượt có phương trình
9 15
y x
= −
và
9 17

1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
Dạng toán 4. Tìm các giá trị của tham số để giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn
điều kiện cho trước

Bài 22. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
:
m
d y mx m
= −
cắt đồ thị
( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−

tại hai điểm phân biệt
,

−
có hai nghiệm phân
biệt, tức là

(
)
(
)
2
1 2 1 1 0
m x m x m
− − − + + =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( )( )
(
)
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m


− ≠






.
Với điều kiện đó, gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình (1); các giao điểm của
m
d
và
(
)
C
là
(
)
1 1
;
A x mx m
−
,
(
)
2 2
;
B x mx m
−
.
Ta có
(

(
)
1 2 1 2
1 1 1 1 0
x x mx m mx m
⇔ − − + − − − − =(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 0
m x x m m x x m
 
⇔ + − + + + + + + =
 
 (
)
(

<
).
Bài 23. Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
3 1 3 1
,
m
y x m x x C
= − + − +
. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
1
:
d y x
= +
cắt
(
)
m
C
tại ba điểm phân biệt
(
)
0 1
; ; ;

⇔ − + − =
(
)
2
0
3 1 4 0 2
( )
x
x m x

=

⇔

− + − =


.
(
)
m
C
và
d
có 3 giao điểm
⇔
(1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

;
A x x
+
và
(
)
2 2
1
;
C x x
+
thì
2
50
AC
=
(
)
(
)
(
)
2
2
2 1 2 1
1 1 50
x x x x
 
⇔ − + + − + =
 


⇔

= −


.
Bài 24. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
2
:
k
d y kx k
= + −
cắt đồ thị
(
)
C
của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt
A

(
)
C
tại hai điểm phân biệt
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghiệm phân biệt

2
2 3 0
kx kx k
⇔ − + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

(
)
2
0
3 0
k
k k k



. Ta có

AD BD
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3
x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0
x x x x k x x k x x k
 

(vì
1 2
x x
≠
)

2 2
2 4 2 2 6 0
k k k
⇔ − + − + =
(do
1 2
;
x x
là nghiệm của phương trình (1)

1
3
k
⇔ =
(thỏa mãn điều kiện (2))
Dạng toán 5. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 25. Từ đồ thị của hàm số
(
)
3 2
3 3
:C y x x
= − +

= = − +
.
a. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x


≥


= − + =


− <


qua trục Ox, ta gọi là
(
)
1
b
C
.
 Đồ thị
(
)
1
C
gồm có hai phần
(
)
1
a
C
và
(
)
1
b
C
.
b. Ta có
(
)
(
)

)
2
C
của nó như sau
 Giữ lại phần đồ thị của
(
)
C
không nằm bên trái trục hoành, ta
x
y
-1
2
3
O
1
(
)
C

(
)
1
C

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
19
gọi là

và
(
)
2
b
C
.
c. Ta vẽ đồ thị
(
)
3
C
của hàm số
3
2
3 3
y x x
= − +
như sau
 Từ đồ thị
(
)
C
của hàm số
(
)
3 2
3 3
:
C y x x

Bài 26. Cho hàm số
(
)
4 2
4 3
,
y x x C
= − +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
b. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
4 2
2
4 3 1 0
log
x x m
− + − + =
có 8 nghiệm phân biệt.
Giải
a. (Học sinh tự khảo sát)


= −
.
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2
4 3 4 3 0
4 3
4 3 4 3 0
,
,
x x x x
x x
x x x x


− + − + ≥


− + =


− + − + <



, nên ta vẽ đồ
thị
(
)

a
C
và
(
)
1
b
C
.
x
y
1
-1
3
O
1
x
y
1
-1
-2
2
3
O
1
x
y
1
-1
3

x
y
x
+
=
−
,
(
)
C
. Tìm điểm
M
thuộc
(
)
C
sao cho
a.
M
có tọa độ nguyên;
b.
M
cách đều hai trục tọa độ;
c. Tổng khoảng cách từ
M
tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất;
d.
M
cách đều gốc tọa độ
O

;
x
M x
x
 
+









−
 
,
0
1
x
≠
.
a. Điểm
M
có tọa độ nguyên, tức là
0
0
0 0
2 1

⇔ −
và
0
x
∈
(
)
{
}
0
1 1 3
;
x
⇔ − ∈ ± ±{
}
0
2 0 2 4
; ; ;
x
⇔ ∈ −
.
Vậy có 4 điểm trên
(
)

M
.
b. Khoảng cách từ điểm
M
tới các các trục
Ox
và
Oy
lần lượt là
0
0
2 1
1
x
x
+
−
và
0
x
.
Yêu cầu bài toán
0
0
0
2 1
1
x
x
x


.
Vậy có hai điểm thoản mãn yêu cầu bài toán là
5
4 13
3 13
3
;M
 
+ 



+






 
và
6
4 13
3 13
3
;M
 
− 


C
có tiệm cận đứng là
1
1
:
x
∆ =
.

2
lim
x
y
→+∞
=
và
2
lim
x
y
→−∞
=
nên
(
)
C
có tiệm cận ngang là
2
2
:

1
1
, ,
d M d M x
x
∆ + ∆ = − +
−
0
0
3
2 1 2 3
1
.
Cosi
x
x
≥ − =
−

Đẳng thức xảy ra
0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2

;
M − − .
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
21
d. Ta có
(
)
2
4 3 2
2
0 0 0 0 0
0
2
0
0
2 1 2 5 4 1
1
1
x x x x x
MO x
x
x
 
+ − + + +










−
 (
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
0 0 0 0
2
0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
1
x x x x
x
− + + + − + + +
=
−
.
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với

)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
2 5 4 1
1 1
x x x x
x x x x
x x
− + + + − + + +
− + + +
⇔ =
− −

(
)
(
)
(
)

⇔
+

=


.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(
)
9
2 5
;
M và
10
1 3 5
3 5
4
;
M
 
+ 



+





3 3
2
,
d M ∆ =
2
0 0
3 3
3 3
2 2
x x− +
⇔ =

(
)
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN

− =

⇔

− + =



C
.
Giải
Ta có
2
3 6
y x x
′
= −
. Gọi
(
)
2
;
M a d
− ∈
bất kỳ. Khi đó, tiếp tuyến
∆
bất kỳ của
(
)
C
qua
M
có
dạng
(
)
2
y k x a


.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
22
Thay (2) vào (1) ta được
(
)
(
)
3 2 2
3 2 3 6 2
x x x x x a
− − = − − −
(
)
3 2
2 3 1 6 0
x a x ax
⇔ − + + =(
)
2
0
2 3 1 6 0 3
( )
x

a a
a



∆ = + − >

⇔


≠



1
3
3
0
a
a
a





<




5 7 1
y x x x
= − + − +

d.
4 2
4 2
y x x
= − +
e.
1
3 2
x
y
x
+
=
−
f.
3
3 2
x
y
x
−
=
+

g.
2

( ) ( )
x
y m m x x
= − + + + +
luôn đồng biến.
b.
2 3 2
1
2 3 1
3
( )
y m m x mx x
= − + + −
luôn nghịch biến.
c.
2 3 2
1
2 1
3
( )
y m m x mx x
= + + + +
luôn đồng biến.
d.

3 2
1
2 2 1 3 2
3
( ) ( )

0
m
≤
)
4. Cho hàm số
3 2
1 2
1 2 3
3 3
( ) ( )
y x m x m x
= + − + − −
.
a. Với các giá trị nào của
m
, hàm số đồng biến trên khoảng 1
( ; )
+∞
?
1
( )
m
≥

b. Với các giá trị nào của
m
, hàm số đồng biến trên

?
2

)
9
m
≥

6. Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 4
y x x m x m
= + + + +
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với
1
m
= −
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
23
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
(
)
1 1
;
−

1
2
m
 



< −





 

8. Cho hàm số
3 2
3 1
y x mx m
= − + −
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với
1
m
=
.
b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
(

0 3
;
.
12
7
m
 



≥





 

10. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
2
2 1 2
1
( )
x m x
y
x
+ + +
=

(
)
0
;
−∞
;
(
)
1
m
≥

c. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0
;
−∞
;
(
)
3
m
≤ −

d. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
1
;

m
− ≤ ≤

12. Cho hàm số
2
3
x x
y
x m
−
=
−
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát hàm số (1) khi
1
m
= −
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên 1
[ ; )
+∞
.
(
)
1 1
m

2
x y y y
y z z z
z x x x


= + + −



= + + −




= + + −


; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z

y y
z z
y
z
x
+
+
+


 





=







 




 

 



; d.
3
3
3
6
6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x



= +







2 6 2 6 3 2 6
m+ ≤ ≤ +

16. Cho hàm số
2
2 2
( )
f x x x
= −
.
a. Chứng minh rằng
f
đồng biến trên nửa khoảng
2
[ ; )
+∞
.
b. Chứng minh rằng phương trình
2
2 2 11
x x
− =
có một nghiệm duy nhất.
17. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
3 6 3 6
( )( )
x x x x m
− + − − − − =

1
( ) ( )
f x x
= −

e.
2
2 3
( )
x
f x
x
+
=
−
f.
2
8 24
2
( )
x x
f x
x
+ −
=
−

g.
2
4

3
( ) sin cos
f x x x
= −
trên đoạn
0
[ ; ]
π
,
b.
2 2
( ) sin cos
f x x x
= +
trên đoạn
0
[ ; ]
π
,
c.
2
2 3 2 3
( ) sin sin
f x x x
= + −
trên đoạn
[ ; ]
π π
−
,

>

b.
3 2
2 3 5
( )
y m x x mx
= + + + −
.
3 2 1
( )
m
− < ≠ <

21. Tìm
m
để hàm số
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
( ) ( )
y x m m x m x m
= + − + + + + −
đạt cực tiểu tại
2
x
= −
.


hoặc
2
3
)
m =

23. Tìm
m
để hàm số
3 2
1
1
3
( )
f x x mx mx
= − + −
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
8
x x
− >
.
1 65
2
(
m

1
(
m
=
hoặc
5
)
m
=

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số
25
25. Cho hàm số
( )
(
)
3 2 2
2
1 4 3 1
3
y x m x m m x
= + + + + + −
.
a. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2

(
)
4
m
= −

26. Cho hàm số
4 2 2
9 10
( )
y mx m x
= + − +
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
3
(
m
< −
hoặc
0 3
)

2
2
2
2 2
x x m
y
x x
+ +
=
− +
.
a. Với giá trị nào của
m
, hàm số đạt cực đại tại
2
x
=
.
(
)
2
m
=

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với
2
m
=
.
29. Cho hàm số

2
( )
( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
, (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m
=
.
b. Tìm
m
để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
(
)
1 2
4 2
M M =

31. Cho hàm số
2
1 1
1

=
−
, (
m
C
) (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
b. Tìm
m
để đồ thị (
m
C
) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
(
)
1 1
m
− < <

33. Cho hàm số
2
2 2
1
x mx



<





 

WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com