Khảo sát hàm số
1

Đồ thị hàm số và
các bài toán liên quan

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tính đơn điệu của hàm số
1.1. Định nghĩa. Cho hàm số
f
xác định trên
K
, với
K
là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi
đó

f
đồng biến trên
K
( )
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ <
.


nghịch biến trên
I

⇔
0( ) ,f x x I
′
≤ ∀ ∈
và
0( )f x
′
=
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc
I
.

f
là hàm hằng trên
I

0( ) ,f x x I
′
⇔ = ∀ ∈
.
2. Cực trị của hàm số
2.1. Điều kiện cần để có cực trị
Cho hàm số
f
có đạo hàm tại
0
x

thì
f
đạt cực trị tại
0
x
.

x
0
xx
0
x

( )
f x
′
0


a b
chứa
0
x
,
0
0( )f x
′
=

và
0
0( )f x
′′
≠
. Khi đó

0
0( )f x
′′
<

⇒
f
đạt cực đại tại
0
x
, 
0
0( )f x

,
(
)
;
B B
B x y
. Thực hiện phép chia đa thức
( )f x
cho
( )f x
′
, ta được
( ) ( ). ( )f x g x f x x
α β
′
= + +
. Khi đó ta có
0
( ) ( ). ( )
A A A A A A
y f x g x f x x x
α β α β
=
′
= = + + = +

;
0
( ) ( ). ( )
B B B B B B

( )
C

Giả sử đồ thị
(
)
C
có hai điểm cực trị
( )
;
A A
A x y
,
( )
;
B B
B x y
. Đặt
2
( )u x ax bx c
= + +
,
( )v x dx e
= +
. Khi đó
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x

0
0
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
.
Do đó ta có
2
( )
A
A A
ax b
y f x
d
+
= =
và
2
( )
B
B B
ax b
y f x



∀ ∈ ≤

= ⇔


∃ ∈ =


D
D
D

0 0
, ( )
min ( )
, ( )
x
x f x m
m f x
x f x m
∈


∀ ∈ ≥

= ⇔



[ ; ]a b
thì
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
=
và
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
=
.
4. Tiệm cận
Đường thẳng
0
x x=
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn
0
lim ( )
x x
f x
−
→

( )y f x=
nếu
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
3
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
.
Đường thẳng
y ax b= +

0
( )a ≠
được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
1
0 0 1 0 0 0 0 0
0( ; ) ( ; ) ( ; ) ,
k k
k k
g x y m g x y m g x y m
−
−
⇔ + + + = ∀0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )

( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−


Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau
( )C
và
( )C
′
tiếp xúc nhau
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x


=

⇔

′ ′

=


có nghiệm.
5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Bài toán Cách giải
 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị
Cho
( )C
:
( )y f x=
và

.
Cách 1. Gọi
d
là đường thẳng qua
( )
;
A A
A x y
và
có hệ số góc
k
:
( )
A A
y k x x y= − +
. Dùng điều
kiện tiếp xúc 5.2 để xác định
k
.
Cách 2. Pttt
d
tại điểm
( )
0 0
;M x y
bất kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

.
Pttt
d
của
( )
C
tại
( )
0 0
;M x y
bất kỳ:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −
. Vì
d
có hệ số góc
k
nên
suy ra
0
( )f x k
′
=
. Từ đây suy ra
0
x
.
5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối

( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x


≥

=


− <


nên ta vẽ đồ thị
(
)
1
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
( )
a
C
của
( )
C
không nằm phía dưới trục

2
C
:
( )
y f x=
.
Ta có
( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x


≥


=


− <



và
 Từ đồ thị
( )
C
:
( )y f x=
,
hãy vẽ đồ thị
( )
3
C
:
( )
y f x= .
Ta thực hiện như sau
 Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x=
.
 Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x= .


 Từ đồ thị
( ) ( ) ( )
: .C y u x v x=
, hãy vẽ đồ
thị

, nên ta vẽ
( )
4
C
như sau
 Giữ lại phần đồ thị
( )
a
C
của
( )C

ứng với
( )
0u x ≥
.
 Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của
(
)
C
qua trục
hoành, ta được
( )
b
C
. Khi đó
( ) ( ) ( )
4 a b
C C C=
∪

a
= −

+∞

f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

0
∆ >

x
−∞

1
x
2
x +∞
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
5
6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên


Cho tam thức
2
( )f x ax bx c= + + 0
( )a ≠
. Khi đó ta có





.

0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ ≤

≥ ∀ ∈ ⇔


>




0
0
0
( ) ,f x x
a


∆ ≤

1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
0
x x< <
0
0
0
P
S


∆ >



⇔ >



>



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn

< <
( )
0
0
2
af
S
α
α




∆ >



⇔ >





<



.
 (1) có hai nghiệm
1 2



.
 (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
x x
α
< <
. Đặt
t x
α
= −
, phương trình (1) trở
thành
( )
0g t =
(2), ta cần phải có
(2) có hai nghiệm
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
0
t t< <
0P⇔ <
.
6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai



.
 (1) có một nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t≤ =
0
0
P
S


=

⇔


≤


.
 (1) có hai nghiệm


⇔



t t< <www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
6
 (1) có ba nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
1 2
0
t t= <
0
0
P
S


=

⇔


>


.
 (1) có bốn nghiệm
⇔
(2) có nghiệm

0
: a x b y c∆ + + =
. Khi đó
1
∆
và
2
∆
tạo với
nhau một góc
α
thì
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a b b
a b a b
α
+
=
+ +
.
Đặc biệt

1
∆
song song
2
∆






 

.
6.3. Khoảng cách
6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
là
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
.
6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( ; )
M M
M x y
tới

;
.
Giải
Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán
⇔
( )
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y x mx m x
′
= + + − ≥ ∀ ∈⇔
2
2 3 2 0 1 2
, ;
y x mx m x
 
′
= + + − ≥ ∀ ∈
 
 
(vì
y
′
liên tục tại
1

≥ −
.
Ta có
( )
(
)
2
2
2 6 4
2 3
x x
g x
x
+ +
′
=
+
;
( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x

 
= − ∉

5
;
min
x
g x g
 
∈
 
 
= = −
. Vậy các giá trị của
m
cần tìm là
1
5
m ≥
.
Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
7
Yêu cầu bài toán
⇔

( ) ( )
2
2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x
′
= = + + − ≥ ∀ ∈
. Điều này xảy ra nếu một

,x x
thỏa mãn
1 2
1x x< ≤
, ta có
( )
2
3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S
m




′
∆ = − + >



= − ≥










>



> −




.
Trường hợp 2.
( )
0f x =
có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
2 x x< <
, ta có
( )
2
3 2 0
2 7 2 0
2
2



< ∨ >





⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅




< −




.
Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
5
m ≥
.
Bài 2. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )

3
m m m
′
⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
ii.
( )
0f x =
có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
1 x x≤ <
, tương đương với
( )
( )
2
2
8
1
3 5 8 0
3
1 5 8 0
0
2 1 1
2
m
m m
af m m m




8
3
m⇔ < −
.
Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị
m
cần tìm là
1
m ≤
.
Bài 3. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( ) ( )
3 2
1
2 1 1 2 1
3
y x m x m x m= + − + + + −

a. đồng biến trên

,
b. đồng biến trên
)
1
;

. Khi đó
( )
2
2 1 1 0 0 5m m m
′
∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤
.
Vậy các giá trị của
m
cần tìm là
0 5
m≤ ≤
.
b. Hàm số đã cho đồng biến trên
)
1
;

+∞


khi và chỉ khi
)
0 1;y x

′
≥ ∀ ∈ +∞


. Điều này tương

( )
( )
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′
=
+
;
( )
)
)
1 1
0
1
1
2
;
;
x
g x
x


= − ∉ +∞

(
)
g x

1
50

Ta thấy
)
( ) ( )
1
1
1
5
;
max
x
g x g

∈ +∞


= =
. Do đó ta có
1
5
m ≥


( )
2
2
0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− +
 
⇔ = ≥ ∀ ∈
 
 
+
, tức là
( )
0 1;
min
x
g x m
 
∈
 
 
≥
.
Ta có
( )

;
1 1
2 4
g
 



=





 
và
( )
1
1
5
g
=
.
Do đó
( ) ( )
0 1
0 0
;
min
x

Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
0 1
;
khi và chỉ khi
( )
( )
2
2
4 4 3
0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′
= ≥ ∀ ∈
−
, tương
đương với
( ) ( )
2
4 4 3 0 0 1
;
g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈
. Vì
g
liên tục tại

;
g x x x
 
′
= − = ⇔ = ∉
 
 
;
( )
0 4 3g m= − −
và
( )
1 4 6g m= − −
.
Suy ra
( ) ( )
0 1
1 4 6
;
min
x
g x g m
 
∈
 
 
= = − −
. Do đó các giá trị của
m
cần tìm là

)
1
;
+∞

⇔

( )
( )
2 2
2
4 2 1
0 1
;
x mx m
y x
x m
− − −
′
= ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay
( ) ( )
2 2
4 2 1 0 1
1
;
g x x mx m x
m



Bài 6. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
3 2
1
2
3
y x mx mx= + + +
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4x x− ≥
.
Giải
Hàm số đã cho có hai cực trị
1 2
,
x x

2
2 3 0y x mx m
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,

2
3
x x m
x x m


+ = −



=


nên (2)
⇔
2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m

≤ −

− − ≥ ⇔

≥



50
2 1 0
9
y x m x
′
⇔ = − − + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x( )
2
50
2 1 4 0
9
.
m⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2
6
m
m

−

<


2
3
50 2 1 50
2 2
2
9 3 9
m
m
x
m

 
=
−




= ⇔ = ⇔






= −
 


.

d. có hai cực trị nhỏ hơn 4;
e. có một cực trong khoảng
(
)
3 5
;
;
f. không có cực trị.
Giải
Ta có
(
)
2
4 2 5y x m x m
′
= − + + +
;
2
4 5
0
2
x x
y m
x
− +
′
= ⇔ =
−
.
Xét hàm số

g x
x

=

′
= ⇔

=


.
Bảng biến thiên
x −∞

1−

1

3
22 3 4 5
+∞

( )
g x
′


10
3
−

2−5
2
−
−∞+∞
2

5
210
3

+∞

c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn
3
2
⇔
5
2
m < −
hoặc
2m >
.
d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4
2m⇔ < −
hoặc
5
2
2
m< <
.
e. Hàm số có một cực trong khoảng
( )
3 5
;
10
2
3
m⇔ < <
.
f. Hàm số không có cực trị
2 2m⇔ − ≤ ≤
.


⇔


− ≠



1
3
m
m


>

⇔


≠


.
Bài 10. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
4 2
6
2

ta có
2
6
2
m
y = −
nên
2
0 6
2
;
m
A
 



−





 
. Hai nghiệm còn lại của
0y
′
=
là
2

;
m m
B
 
− 



− −






 
và
2
3
6
2 4
;
m m
C
 
− 



−

3
6
2 4
;
m m
OC
 




= − −






 

.
Yêu cầu bài toán
BA OC⇔ =
 
2
2 2
2 2
6 6
3
6

y
x
+ +
=
+
có hai điểm cực trị nằm về
hai phía trục tung.
Giải
Ta có
( )
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′
=
+
.
Hàm số đã cho có hai cực trị
2
4 6 1 0mx mx m⇔ + + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
2−2

là các nghiệm của phương trình (1). Yêu cầu bài toán tương đương với

1 2
0x x <
6 1 1
0 0
6
m
m
m
−
⇔ < ⇔ < <
(thỏa mãn (2)).
Bài 12. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= + − + − +
có hai điểm
cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm
( )
0 3
;
A −
.
Giải
Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi
( ) ( )
2

;
M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
y
′
, ta được
( )( )
2
1 1
2 1 2 2
3 3
m
y x y m m x m m
 
−


′

= + + − − − +





 
.
www.VNMATH.com

2 1 2 2y m m x m m= − − − +
,
và như vậy
m
d
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1
M
và
2
M
.
Ta có
( )
2
1
0 3 2 3 0
3
;
m
m
A d m m
m

= −

− ∈ ⇔ − − = ⇔

=



2
1 0m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1
m >
(1).
Với điều kiện (1), ta gọi
( )
1 1 1
;
M x y
và
( )
2 2 2
;
M x y
là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia
y
cho
y
′
được
( )
2
1 1 2
1
3 3 3

y m x= −
và
( )
2
2 2
2
1
3
y m x= −
. Các điểm
( )
1 1 1
;
M x y
và
( )
2 2 2
;
M x y
nằm cùng phía đối với
2 0
:
x y∆ + =

tương đương với

( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2

và
2
m ≠ ±
.
Bài 14. Tìm các giá trị của
m
để hàm số
3 2
1
3
y x x mx m= + + +
có cực đại và cực tiểu, đồng thời
khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
2 15
.
Giải
Hàm số có cực đại và cực tiểu
2
2 0y x x m
′
⇔ = + + =
có hai nghiệm phân biệt

1 0m
′
⇔ ∆ = − >
hay
1
m <
(1).

′
=
nên từ (2) ta suy ra
( )
1 1
2 2
1
3 3
y m x m= − +
và
( )
2 2
2 2
1
3 3
y m x m= − +
.
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
13
Ta có
( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1
2 15M M x x y y= − + − =

( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4

m m m⇔ − + + =

( )
( )
2
2 4 20 60 0
m m m⇔ + − + =

2
m⇔ = −
(vì
2
4 20 60 0m m m− + > ∀ ∈

).
Ta thấy giá trị
2
m = −
thỏa mãn điều kiện (1) nên
2
m = −
là giá trị cần tìm.
Bài 15. Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
2
3
1
x mx
y

2
2 3 0
x x m− − − =
có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔
4 0
4
4 0
m
m
m

′

∆ = + >

⇔ > −


+ ≠


(1).
Khi đó, ta gọi
( )
1 1 1
;
M x y
và

1
x
là nghiệm của phương trình
0
y
′
=
nên
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 1 1
1 1
0
u x u x
u x v x u x v x
v x v x
′
′ ′
− = ⇔ =
′
,
tức là
1 1
2
y x m
= +

3 2 4 0
x x m⇔ + + − =
(vì
1 2
x x
≠
)

3 2 2 4 0
.
m⇔ + − =2
m⇔ = −
(thỏa mãn điều kiện (1)).
Vậy
2
m = −
là giá trị cần tìm.
Dạng toán 3. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài 16. Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x x x
= + + +
có đồ thị

Khảo sát hàm số
14
Giải
Ta có
2
2 1
y x x
′
= + +
. Phương trình tiếp tuyến
∆
của
( )
C
tại điểm
( )
0 0
;
x y
có dạng

( )
2
3 2
0 0 0
2
1 1
3
y x x x x
= + − − +

+
⇔ = ≠ ≠ −
+
(1).
Tung độ giao điểm tương ứng là
( )
( )
2
0 0
0
2 3 3
3 2
x x
y
x
+ +
=
+
, nên
( )
( )
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
2 3 3
2 3
3 2 3 2

0 0
0
2
0 0
0
22
1 0
2 3
9
5
3 5
3 2
27
1 2
2 3 3
14
5
3 5
3 2
x x
x
x x
x



+ +

+


9
5
x = −
. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều
kiện ở phương trình (1).
Với
0
3
x
=
hoặc
0
9
5
x
= −
ta được các tiếp tuyến cần tìm là 16 26y x= − và
16 206
25 125
y x
= +
.
Bài 17. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 1 1
3
y x mx m x= + + − +
có đồ thị

m
C tại
1
1 5
3
; m
 



+





 
là
1
7 2
3
y mx m= − +
.
Hoành độ giao điểm của ∆ và d là nghiệm của phương trình

1
7 2 2
3
mx m x
− + =

=
− −

2
7
6 1 12 2
6 1 12 2
m
m m
m m



≠



⇔


− = −





− = − +




Khảo sát hàm số
15
Bài 18. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của
( )
C . Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ với
( )
C luôn cắt hai tiệm cận tại hai điểm
,
A B
sao
cho tam giác IAB có diện tích không đổi.
Giải
Trước hết ta thấy

1
lim
x
y
+

C có tiệm cận ngang là
2
1:
y
∆ =
.
Do đó giao điểm của
1
∆
và
2
∆
là
( )
1 1
;
I .
Ta có
( )
2
3
1
y
x
−
′
=
−
. Phương trình d tiếp tuyến với
( )

2 2
0 0
4 2
3
1 1
x x
y x
x x
+ −
−
= +
− −
.
Với 1x = thì
( )
2
0 0
2
0
4 5
1
x x
y
x
+ −
=
−
nên
( )
2

∆
.
Với
1y =
thì x =
0
2 1
x x
= −
nên
( )
0
2 1 1;B x − là giao điểm của d và
2
∆
.
Khi đó
0
6
1
IA
x
=
−
và
0
2 1IB x= − nên diện tích tam giác IAB là

0
0

4
2
y
x
−
′
=
−
. Phương trình tiếp tuyến với
( )
C tại điểm
( )
0 0
;M x y ,
( )
0
2x ≠ có dạng
d
:
( )
( )
0
0
2
0
0
2
4
2
2

4
1
2x
−
= −
−
( )
2
0
0
0
4
2 4
0
x
x
x

=

⇔ − = ⇔

=


.
 Với
0
0
x

7y x= − +
.
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
16
Bài 20. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của
hàm số
3 2
3 1y x x= − +
, biết tiếp tuyến
đi qua điểm
( )
2 3;A − .
Giải
Gọi
k
d
là đường thẳng đi qua điểm
( )
2 3;A − và có hệ số góc k thì
(
)
2 3:
k
d y k x= − − .
Khi đó,
k

3 2 2
3 1 3 6 2 3x x x x x− + = − − −3 2
2 9 12 4 0x x x⇔ − + − =
2
1
2
x
x

=


⇔

=


.
Với
2x =
, thay vào (2) được
0k =
, ta có tiếp tuyến
3:
k
d y
= −

α
sao cho
5
41
cos α
= .
Giải
Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k . Các VTPT của d và ∆ lần lượt là
( )
1
;
d
n k= −

và
(
)
1 1;n
∆
= −

. Tiếp tuyến d tạo với ∆ một góc
α
sao cho
5
41
cos α
=
⇔




⇔

=


.
Với
9
k =
ta có
( )
2
0 0
3 3 9
f x x
′
= − =
0
2
x
⇔ = ±
. Các tiếp tuyến của
( )
C tại
0
2
x
=

C tại
0
2 21
9
x = ± có phương trình
1 243 112 21
9 243
y x
±
= + .
Dạng toán 4. Tìm các giá trị của tham số để giao điểm đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn
điều kiện cho trước

Bài 22. Tìm các giá trị của m để đường thẳng
:
m
d y mx m
= −
cắt đồ thị
( )
2
2 1
1
:
x x
C y
x
+ −
=
−

( ) ( )
2
1 2 1 1 0
m x m x m− − − + + = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( )( )
(
)
2
1 0
1 1 1 0
1 2 1 1 0
m
m m m
m m m


− ≠




⇔
′
∆ = − − − + >




− − − + + ≠


và
( )
C là
( )
1 1
;
A x mx m− ,
( )
2 2
;
B x mx m− .
Ta có
( )
1 1
1 1;CA x mx m= − − −

;
( )
2 2
1 1;CB x mx m= − − −

.
ABC vuông tại đỉnh C
0.
CACB
⇔ =
 
( )( ) ( )( )
1 2 1 2
1 1 1 1 0

⇔ + − + + + + + =
 
−  ( )
2 2 1 0
m m⇔ − =
0
m⇔ = (vì
1
m < ).
Bài 23. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1
,
m
y x m x x C= − + − + . Tìm các giá trị của m để đường thẳng
1
:
d y x= +
cắt
( )
m
C tại ba điểm phân biệt
( )
0 1
; ; ;
A B C sao cho



.
( )
m
C và d có 3 giao điểm ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

( )
( )
2
9 18 25 0
3 0
m m m
m


∆ = + + > ∀ ∈


⇔


≠ ∀ ∈





2
2 1
25x x⇔ − =( )
2
1 2 1 2
4 25x x x x⇔ + − =( )
2
9 1 16 25m⇔ + + =
0
2
m
m

=

⇔

= −


.
Bài 24. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng

3
O
1
Giải
k
d
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
2 1
2
1
x
kx k
x
+
⇔ = + −
−
có hai nghiệm phân biệt

2
2 3 0kx kx k⇔ − + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

( )
2
0
3 0
k

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 3 2 3x kx k x kx k⇔ − + − + = − + − +( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k x x k
 
⇔ − + − + − + − + =
 
 ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 6 0x x x x k x x k k
 
⇔ − + − + + − + =
 
 ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4 2 6 0x x k x x k k⇔ + − + + − + =
(vì

2
3 3y x x= − +
c.
3
2
3 3y x x= − +

Giải
Trước hết ta vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
3 2
3 3y f x x x= = − +
.
a. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
3 2
0
3 3
0
,
,
f x f x
y x x
f x f x



.
 Lấy đối xứng phần còn lại của
( )
C
qua trục Ox, ta gọi là
( )
1
b
C
.
 Đồ thị
( )
1
C
gồm có hai phần
( )
1
a
C
và
( )
1
b
C
.
b. Ta có
( )
( )
3
2

 Giữ lại phần đồ thị của
( )
C
không nằm bên trái trục hoành, ta
x
y
-1
2
3
O
1
(
)
C

( )
1
C

www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
19
gọi là
( )
2
a
C
.
 Lấy đối xứng
( )

2
3 3y x x= − +
như sau
 Từ đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
3 2
3 3
:
C y x x= − +
, ta vẽ đồ thị
( )
2
C
của hàm số
3
2
3 3y x x= − +
.
 Từ đồ thị
( )
2
C
, ta vẽ đồ thị
( )
3
C
của hàm số

b. Ta biến đổi
4 2
2
4 3 1 0logx x m− + − + =4 2
2
4 3 1
log
x x m⇔ − + = −
(1).
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
( )
4 2
1
4 3
:
C y x x= − +
và đường thẳng
2
1: log
m
d y m
= −
.
Vì
4 2 4 2
4 2
4 2 4 2

gọi là
( )
1
a
C
.
 Lấy đối xứng phần còn lại của
( )
C
qua trục hoành, ta được
( )
1
b
C
.
 Đồ thị gồm có
( )
1
a
C
và
( )
1
b
C
.
x
y
1
-1

-1
-2
2
3
O
1
www.VNMATH.com
Khảo sát hàm số
20
Dạng toán 6. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 27. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
,
( )
C
. Tìm điểm
M
thuộc
( )
C
sao cho
a.

0
2 1
1
;
x
M x
x
 
+









−
 
,
0
1
x
≠
.
a. Điểm
M
có tọa độ nguyên, tức là
0

1 3x⇔ −
và
0
x
∈
( )
{
}
0
1 1 3
;
x⇔ − ∈ ± ±{
}
0
2 0 2 4
; ; ;
x⇔ ∈ −
.
Vậy có 4 điểm trên
( )
C
có tọa độ nguyên là
( )
1

1
x
x
+
−
và
0
x .
Yêu cầu bài toán
0
0
0
2 1
1
x
x
x
+
⇔ =
−
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
3 1 0 3 13
1 0
3 13

+






 
và
6
4 13
3 13
3
;
M
 
− 



−






 
.
c. Ta có

→+∞
=
và
2
lim
x
y
→−∞
=
nên
(
)
C có tiệm cận ngang là
2
2:
y
∆ =
.
Khoảng cách từ điểm M lần lượt tới các tiệm cận là
(
)
1 0
1
,
d M x∆ = − và
( )
2
0
3
1

Đẳng thức xảy ra
0
0
3
1
1
x
x
⇔ − =
−
2
0
1 3x⇔ − =
0
0
1 3
1 3
x
x

= +

⇔


= −

.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( )

+ − + + +




= + =





−
 
−
;

( )
2
2
0
0
0
2 1
2 2 5 2
1
x
MA x
x
 
+

( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
2 5 4 1
1 1
x x x x
x x x x
x x
− + + + − + + +
− + + +
=
− −

( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
6 4 5 33 16 5 52 20 5 33 8 5
2 5 4 1



⇔
+

=


.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( )
9
2 5
;
M và
10
1 3 5
3 5
4
;
M
 
+ 



+




Do đó
( )
3 3
2
,
d M ∆ =
2
0 0
3 3
3 3
2 2
x x− +
⇔ =

( )
2
0 0
2
0 0
0
6 3 0
x x
x x VN

− =

⇔

− + =


∆
bất kỳ của
( )
C qua
M
có
dạng
( )
2y k x a= − − . Hoành độ tiếp điểm của
∆
và
( )
C là nghiệm của hệ phương trình
(
)
3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
( )
( )
( )
x x k x a
x x k


− − = − −


∗

=

⇔

− + + =


.
Từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với
( )
C
⇔
( )
∗
có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

( )
2
9 1 48 0
6 0
a a
a



∆ = + − >






≠


.
C. CÁC BÀI TẬP VÀ ĐỀ THI
 Tính đơn điệu của hàm số
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau
a.
2
5 1y x x= − + −
b.
3 2
3 3y x x= − +
c.
3 2
5 7 1y x x x= − + − +

d.
4 2
4 2y x x= − + e.
1
3 2
x
y
x
+

x
+
=
.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số
a.
3
2 2
1 1 3 5
3
( ) ( )
x
y m m x x
= − + + + +
luôn đồng biến.
b.
2 3 2
1
2 3 1
3
( )
y m m x mx x= − + + − luôn nghịch biến.
c.
2 3 2
1
2 1
3
( )
y m m x mx x= + + + +
luôn đồng biến.

4. Cho hàm số
3 2
1 2
1 2 3
3 3
( ) ( )
y x m x m x= + − + − − .
a. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng 1
( ; )
+∞ ? 1
( )
m ≥
b. Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên  ?
2
( )
m =

5. Cho hàm số
2
2
2
x x m
y
x
− +
=
−
, (1) (m là tham số).
a. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn 1 0
[ ; ]

b. Tìm các giá trị của
m
để hàm số nghịch biến trên
( )
2 0
;
−
.
1
2
m
 



< −





 

8. Cho hàm số
3 2
3 1y x mx m= − + −
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với 1m = .
b. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
( )






 

10. Tìm các giá trị của m để hàm số
2
2 1 2
1
( )
x m x
y
x
+ + +
=
+
đồng biến trên
( )
0
;
+∞ .
( )
0m ≥
11. Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 2 2 3 1y m x m x m x= − − + + + − .
a. Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên

( )
13m ≥
f. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1 4
;

( )
5 13m− ≤ ≤
12. Cho hàm số
2
3x x
y
x m
−
=
−
, (1) (m là tham số).
a. Khảo sát hàm số (1) khi
1m = −
.
b. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên 1
[ ; )
+∞ .
( )
1 1m− ≤ <
13. Tìm các giá trị của m để hàm số
2
6 2
2


= + + −




= + + −


; b.
3 2
3 2
3 2
3 3 1
3 3 1
3 3 1
ln( )
ln( )
ln( )
x x x x y
y y y y z
z z z z x


+ − + − + =



+ − + − + =



 





=







 




 





=




6
6
sin
sin
sin
y
x y
z
y z
x
z x



= +






= +






= +


+∞
.
b. Chứng minh rằng phương trình
2
2 2 11x x − =
có một nghiệm duy nhất.
17. Tìm các giá trị của
m
để phương trình
3 6 3 6
( )( )
x x x x m− + − − − − =
có nghiệm.
( )
9 6 2 3m− + ≤ ≤

 Cực trị của hàm số
18. Tìm cực trị các hàm số sau
a.
3 2
2 9 12 3
( )
f x x x x= − + −
b.
3 2
5 3 4 5
( )
f x x x x= − + − +

c.

g.
2
4
( )
x
f x
x
=
+
h.
4( )f x x x= −

i.
4
3
2
( )f x x
x
= − +
−
j.
4 2
2 1
( )
f x x x= − +
.
19. Tìm cực trị các hàm số sau
a.
2
3

1
6 2 1
3
( ) ( )y x mx m x m= + + + − +
2
(
m < − hoặc 3
)
m >
b.
3 2
2 3 5( )
y m x x mx= + + + −
.
3 2 1
( )
m− < ≠ <

21. Tìm m để hàm số
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
( ) ( )
y x m m x m x m= + − + + + + − đạt cực tiểu tại 2x = − .
3
( )
m =
22. Tìm m để hàm số
3 2

1 2
8x x− > .
1 65
2
(
m
−
< hoặc
1 65
2
)
m
+
>
24. Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
f x x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại
1 2
,
x x

thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
1 1 1
2
( )
x x

5 1m− < < −
b. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; .
( )
5 3m− < < −
c. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2
x
sao cho
( )
1 2 1 2
2A x x x x= − +
đạt giá trị
lớn nhất.
( )
4m = −
26. Cho hàm số
4 2 2
9 10( )
y mx m x= + − +
, (1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = .
b. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 3
(
m < − hoặc 0 3
)
m< <
27. Cho hàm số

2
x =
.
(
)
2m =
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với 2m = .
29. Cho hàm số
2
1
x mx
y
x
+
=
−
, (1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = .
b. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm
cực trị của hàm số (1) bằng 10?
4
( )
m =

30. Cho hàm số
2 2
2 1 4
2
( )
( )

m =
.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (
m
C
) của hàm số (1) luôn luôn có điểm cực đại, điểm
cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.
32. Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
, (
m
C
) (1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1
m =
.
b. Tìm m để đồ thị (
m
C
) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
(
)


<





 

www.VNMATH.com