www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D
Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP ,
111
y
zzxxy
P
x
yz




HD :
Ta có :
2
() 1
14()42
cyc cyc cyc
xy xy xy
zxy



 
,
11
max ( )

PPxyz
Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP ,
22 22 22
111
(1) 1(1) 1(1) 1
P
xy yzzx


  

HD: đặt ,,
bca
xyz
abc

Ta có :
22 22
111 1
( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2
cyc cyc cyc cyc
a
x y x y x xyx abc

   


1
max ( 1)
2

2
PPxyz
Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP ,
222
x
yz
P
y
zzxxy




HD : ,,
y
zazybxyc  => a+b+c=2

2
(1 ) 1 1
24
cyc cyc cyc
a
a
aa a





 

(1 )(1 )(1 )P
x
yz
   =
111
()()()
xyz
x
yz
2
4
14
x
xxyz xyz    
www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2

2
4
14
y
xyyz xyz    
2
4
14zxyzzxyz   



   

 

111 9 9
111 34xyzxyz
 

=>
3
2224
xyz
P
xyzx yzxy z


   

13
max ( )
34
PPxyz
Bài 8 : Cho x,y,z>0 ,
3
4
xyz

 , Tìm MaxP ,

3
4
44
34 44 2 2 62 6
xxyz
xx
cyc cyc cyc
P

   
 

min ( 0) 6PPxyz

Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP ,
111
222
P
x
yz x yz xy z




HD : ta có xy+yz+zx=4xyz =>
111
4
xyz

1 1 211 1111

yxyxxyy xyxyxyxyxy     
=>
33
1( ) ( )
x
yxyxyxyzxyxyz   =>
33
11
1( )
z
x
yxyxyzxyz


33
1
1
1
cyc cyc
z
P
x
yxyz

 

, max ( 1) 1PPxyz
Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 3
(1)33MinP P x y z
Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 . Tìm MaxP ,
22 22 22
111
111
xy yz zx
P
xy yz zx






HD : Ta có
22
1
x
yxyxy =>


22 22 2
31 12()(1)xy xy xyxy xy

     
=>
22

max ( 1) 3PPxyz

Bài 14 : Cho x,y,z>0 ,
22 22 22
111
1
111xy yz zx

  
, Tìm MaxP ,
Pxyyzzx

HD : Ta có :

2
222 2
22 2
12
() 111
1( )
z
xyz x y z
x
yxyz

      
 

=>
222

P
x
yz xyz xyz xyz xyz xyz
  
HD: Biến đổi

3
33
2
3
111
x
yyzzx
P
xyz
  

Ta có
,, 1, 2
x
yz x y z xyz
, khi đó :

222(1)0xyzxyzzzxy   
,
222(1)0x y z x yz y y xz

    
,
222(1)0xyz xyz x xzy      

P
xyz
  

=>
3
3
max ( ) 4
2
PPxyz 

Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP ,
2
22
111
Px y z
y
zx


  





HD : Biến đổi
222
222
111

222
81 1 1 81 1 1 8
88816
99
P
xyz xyyzzx xyyzzx

       




1
()16
3
MinP P x y z 
Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP ,
22 22 22
232323
xyz
P
xy yz zx




HD :
Ta có :
22 2 2
111

Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,
22 22 22
xy yz zx
P
xy yz zx




HD :

11
2
229 11 2 9 2
cyc cyc cyc
x
yxyxyxy xy
Pxy
x
yxyxy



  

 

Mà
 
2

max ( )
39
PPxyz
Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP ,
333 33 33
33
44 44 44
xy yz zx
P
zxyxyzyzx



  

HD : Ta có :
33 3 3 3 3
31
()3()()() ()
44
x
yxy xyxyxy xy xy      
=>
33
3
44zxyzxy=>
33
3
2
44

y
zxyz
     

2
2
cyc cyc
xx
P
yz xyz
 


=> ( 1, 0) 2MinP P x y z

  
www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 5
Bài 21 : Cho x, y, z  0 thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm minP,


22 22 22 2 2 2
33 yz zx2Pxyyzzx xy xyz
HD :
Ta có Đặt t = xy+yz+zx

t



f ’’(t) =
3
2
2
(1 2 )t


< 0, t 
1
0,
3



 f’(t) là hàm giảm

111
'( ) '( ) 2 3
33
ft f
> 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t 
1
0,
3



(1 )(1 ) 8 8 4
xyz
x
yz



,
3
11 3
(1 )(1 ) 8 8 4
yzx
y
zx



,
3
11 3
(1 )(1 ) 8 8 4
zxy
z
xy




=>


PPxyz 
Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP,
222
222
111
Px y z
y
zx

HD :



2
2
2
3
2
3
111 1
3(
(
P a b c abc xyz xyz
xyz
x
yz

     



9
Pft
=>
1
()82
3
MinP P x y z
Bài 25 : Cho x,y,z>0 ,
3

y
z
xyz
x
  Tìm maxP ,
33
2
2
3( )
()
x
y x z x xy xz yz
P
yz yz yz

 


 



Ta có
22
3
()131()()2
4
ab ab ab ab  
Khiđó
33 2
3
3()3()()5
4
Pa b ab ab ab ab ab    
=> max ( 1) 5PPxyz
Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP ,
333 2 2 2
2( ) ( )Pxyzxyyzzx
HD: Ta có


222
, , 0,1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0xyz x y y z z x ,

32 32 32
,,
x
xxyyyzzz  
222 2 2 2
()3xyzxyzxyyzzx         
333 2 2 2

222
log ,log , log 1, 2xyz
Khi đó :


 






22 22 22
log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 0,xx yy zz
=>
 
222
222222
log log log log log log 6 0xyzxyz
Mà xyz=1 nên
2222
log log log log 0xyzxyz

 
=>
222
222
log log log 6Pxyz
1
max ( 4, ) 6

,0
2
txyz t  =>
2
99
() , '() 1 0Pftt ft
tt
 
315
6
22
P 
115
()
22
MinP P x y z
Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP ,
111
x
yz
P
y
zx




www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
HD : Ta có
111
0
1
1
1
y
xy
x











=>
11
(1 ) (1 ) 1 1
x
yz y
x
yz x x y




(1) (1) (1)
xyz
P
xyz



HD : Đặt ,,
111
x
yz
abc
x
yz



Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca

222 2 2
()2( )()2(()1)Pa b c abc abbcca abc abc            
=>
2
(1)11Pabc 

Bài 32 : Cho
1
1à, 1
4
x


Đặt
1
12tyz
x
  
Khi đó :
2
2
222
() (2)
11 15
t
Pft f
tt
  


=>
122
min ( , 2, 2)
415
PPx y z 