CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
CHUYÊN ĐỀ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A/ Tóm tắt lý thuyết:
I/ Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc. Số đo của
góc nhỏ nhất trong bốn góc đó gọi là số đo góc hợp bởi a và b hay góc giữa
hai đường thẳng a và b.
 Trong không gian góc giữa hai đường thẳng a, b là
góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.
 Lưu ý:
0
0
≤

·
( , )a b

≤

0
90
* Nhị diện:
 Hình hợp bởi hai nữa mặt phẳng (
α
) và
( )
β

, ,c
α β
=
0
90
. Ta nói
[ ]
, ,c
α β
là nhị diện vuông.
2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
.

( ) ( )
0
, 90d d
α α
⊥ ⇒ =

d ⊥
( ) ( ) ( )
, , 'd d d
α α
⇒ =
với d’ là hình chiếu
của d trên
( )

( )
·
0
//
, 0
α β
α β
α β

⇒ =

≡


 Cách xác định góc giữa hai mp cắt nhau:
Cho
( ) ( )
c
α β
=I
.
B1: Lấy điểm I bất kì thuộc c.
B2: Trong
( )
α
dựng
a c
⊥
tại I
B3: Trong

trong (
α
) .
·
·
90
' ' ' 90
/ /( )
( )
AOB
A O B
OA
OA
α
α

=

⇔ =




⊂


o
o
II/Quan hệ vuông góc
1.Hai đường thẳng vuông góc:

 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập
hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
 Định lí và tính chất:

a.
( )
, ( )
d a
d b
d P
a b
a b P
⊥


⊥

⇒ ⊥

∩


∈

b.
/ /
( )
( )
a b
P b


≡

e.
( )
( ) / /
a P
b P a b
a b
⊥


⊥ ⇒


≡


f.
( )
( )
( )
a P
a b a P
b P
⊄


⊥ ⇒ ⊥


·
( ) ( ) (( ),( )) 90P Q P Q⊥ ⇔ =
o
 Các tính chất:
1.
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

2.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
P Q
a P
a Q
P Q c
a c
⊥




 Hệ quả:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

3. Hình lăng trụ đứng và hình chóp đều:
a. Hình lăng trụ:
Hình có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là hình lăng trụ
hay hình lăng trụ đứng.
Hình lăng trụ đứng có đáy là các miền đa giác đều được gọi là hình
lăng trụ đều.
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp
đứng.
Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ
nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông được gọi là hình lập
phương.
b. Hình chóp
-Hình chóp đều là hình có đáy đáy là

( ) ( ;( ))
( )
O
H OH d O
OH
α
α α
α
∉


∈ ⇒ =


⊥

-Ta có:
•
( )
( )
( )
, ,d O OH OM M
α α
= ≤ ∀ ∈
•
( )
( )
( )
, 0d O O
α α

α β
.
Khi đó:
(( ),( )) ( ,( )) ', ( ), ' ( )d d M MM M M
α β β α β
= = ∈ ∈
hoặc
(( ),( )) ( ,( )) AA', ( ), ' ( )d d A A A
α β β α β
= = ∈ ∈
5
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
5.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
-Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
là đường thẳng a cắt
( )
∆
ở
M
và cắt
( )
'∆

⊥
b
⇔
·
( , )a b
=
0
90
/ /b c
a b
a c

⇒ ⊥

⊥

.
•
0a b a b⊥ ⇔ × =
uur uur
.Nếu
,a b
uur uur
lần lượt là các vectơ
chỉ phương của hai đường
thẳng
vàa b

Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có
thể dùng các kết luận đã có trong

⊥

•
( )
'
( ) '
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥

( )
'
( )
'
a hch a
b b a
b a
α
α
=


α α
⊥ ⊂


⊥ ⊂ ⇒ ⊥


∩ =

.
 .
/ /
( )
( )
a b
b
a
α
α

⇒ ⊥

⊥


/ /( )
( )
a
b
a b


= =

.

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
P Q
a P
a Q
P Q c
a c
⊥ 

⊂

⇒ ⊥

∩ =


⊥


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )


( )
( )
( ) ( )
P a
P Q
a Q
⊃ 

⇒ ⊥

⊥



( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ /
R Q
P Q
P R
⊥ 

⇒ ⊥



-Phương pháp :
*Cách 1: (theo phương pháp hình học)

u u
u u
×
∆ ∆ = =
×
uur uur
uur uur
uur uur
.

-Phương pháp :
-
( )
·
( )
0
, 90a a
α α
⊥ ⇒ =
;
-
( )
·
0
/ /
, 0
a
a
a
α

'd hch d
α
=
ta lấy tùy ý điểm
A d∈
, dựng
( )
AH
α
⊥
tại H , suy ra
( )
( )
' ,hch d d OH O d
α
α
= = = ∩
·
( )
·
,d AOH
α
⇒ =

-Phương pháp:
*Cách 1: Dùng định nghĩa:

( ) ( )
·
(

(
)
·
( )
, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
⊥ ∆ = ∩ 

∩ = ⇒ =


∩ =

.
*Cách 3: Dùng hệ quả:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
,
P
M Q
H hch M P Q MNH
HN m P Q

, lúc đó
( )H Mx P= ∩
là hình chiếu
của điểm M trên mp(P).
*Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho
ABC∆
nằm trên (P), hình
chiếu vuông góc của điểm M trên (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
,
tức là nếu MA=MB=MC khi đó hình chiếu của điểm M trên mp (P) là tâm O
của đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
.
 Chú ý :
-Nếu
( ) ( )
( )
( )
( )
/ / , ,MA d M d A
α α α
⇒ =
.
9
Dạng 7: Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
-Nếu
( )
MA P I∩ =

.
-Khi
( )
/ /a P

( )
( )
( )
( )
, ,d a P d A P⇒ =
với
A a∈
.
-Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0
P Q
d P Q
P Q
∩
⇒ =

≡


.
-Khi

d
∆ ∩ ∆
⇒ ∆ ∆ =

∆ ≡ ∆


.
-Khi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ / ' , ' , ' ,d d M d N∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ = ∆
với
( ) ( )
, 'M N∈ ∆ ∈ ∆
.
-Phương pháp :
10
Dạng 11: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Dạng 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Dang 9: Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng
Dạng 8: khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
*Cách 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính
khoảng cách từ b đến mp(P) .
*Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng .

-Gọi
'H a b= ∩
, dựng
/ /HK MN

HK⇒
là đoạn vuông góc chung cần tìm .
*Cách 3:
-Dựng
( )
α
⊥
a tại O,
( )
α
cắt b tại I
-Dựng b’=
( )
hch b
α
=
-Trong
( )
α
, vẽ
', '.OH b H b⊥ ∈
-Từ H dựng đường thẳng song song với
a cắt b tại B.
-Từ B dựng đường thẳng song song với OH
cắt a tại A. Vậy AB là khoảng cách của hai

∆
) và (
∆
’).
2.Nếu không xác định được (
∆
’) thì ta xác định mặt phẳng trung trực (
α
)
một cạnh bên nào đó của hình chóp, lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là giao điểm của (
∆
) và (
α
)
BÀI TẬP
Ví dụ 1: Tứ diện A.BCD có AD=
2a
, các cạnh khác đều bằng a; DH
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H.
a)Chứng minh rằng ABH và ACH là nhứng tam giác vuông bằng nhau và
các mặt phẳng (DBC) và (ADH) vuông góc với nhau.
b)Tính số đo nhị diện cạnh AD.
c)Mặt phẳng qua H vuông góc với AD cắt AD, BD, CD lần lượt tại A’, B’,
C’.Tính AH, DH, DB’ và chứng minh rằng tứ giác HB’A’C’ là hình vuông.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,
( )SO ABCD⊥
. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của đáy
và vuông góc với cạnh bên đối diện có diện tích bằng nữa diện tích đáy.
Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

(1)
Mặt khác:
(AF )
(AF )
SC GH
SC FH
FH GH
⊥

⇒ ⊥

⊂

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
/ /
( )
DB FH
FH AG
DB SAC DB AG

⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥

a
Vì
SEG SCO∆ ∆:
Nên :
·
SEG
=
·
SCO
Mà
·
SEG
=
·
AEO
(Đối đỉnh)
Suy ra:
·
SEG
=
·
AEO
=
·
SCO
=
α
Xét
∆
AEO vuông tại O, EO=cot

nên FH=BD(
2
1 cot
α
−
)=
2a
(
2
1 cot
α
−
)
Xét
∆
AGC vuông tại G vì SC
AG⊥
, nên AG=sin
α
.
2a
AFGH
S
=
1
2
AG.FH=
1
2
(sin

2a
(
2
1 cot
α
−
) =
1
2
2
a
⇔
-2sin
α
(
2
1
2
sin
α
−
)=1

⇔
4
2
sin
α
-sin
α

. Vì
0 90
o
α
≤ ≤
.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC đều cạnh a . I là trung điểm
của BC, SA vuông góc với (ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao
của ∆SBC. Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc
với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của ∆SBC và ∆ABC . Chứng minh OH
vuông góc với (SBC) .
d) Cho (α) qua A và song song với BC và (α) vuông góc với (SBC). Tính
diện tích của thiết diện S.ABC bởi (α) khi SA = 2a .
e.)Khi SA =
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và
(SBC) .
Bài làm:
14
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
a) cm (SAI) vuông góc (SBC)
( )
( )
BC SA SA ABC
BC SAI
BC AI
⊥ ⊥

( )SA ABC⊥ ⇒
A là hình chiếu của lên mp(ABC)
⇒
Vì CN
⊥
AB nên
CN
⊥
SB
Mặt khác: SB
⊥
CF
⇒
SB
⊥
(CNF) mà SB
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(FCN)
c)cm OH
⊥
(SBC)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
CFN SBC
SAI SBC OH SBC



∩ =


⇒ ⊥
⊥


⇒ ⊥





⊂

Nên SI
⊥
AP
Xét
∆
SAI vuông tại A, có AP là đường cao, nên ta có: SA.AI=AP.SI
⇒
AP=
2 2
3
2 .
. 2 3
2

a
a a
a
a
a
−
= =
+
1 16
EF
2 19
a
FP⇒ = =
15
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Diện tích thiết diện là:
2
AEF AFP
1 2 3 16 32 3
2. 2. . . .
2 19
19 19 19
a a a
S S AP FP= = = =
d.+Tính
( ) ( )
·
(
)
SBC , ABC

AIS
=
3
2
3
2
SA a
AI
a
= =
suy ra:
·
AIS
0
63 26';
Vậy
( ) ( )
·
(
)
SBC , ABC
=
·
AIS
0
63 26';
.
+Tính
( ) ( )
( )

⊥

⇒ ⊥

⊥

nên BE
⊥
AE suy ra
·
AEB
=
90
o
Vậy
( ) ( )
( )
·
(
)
SAC , SBC
=
·
AEB
=
90
o
Bài 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
·
60BAD =

·
·
·
·
0
/ / 60
1 1
(180 60 ) 60
2 2
OE DC DCB OEB
EBO ABC

⇒ = =


= = − =


o
o o
Mà F là trung điểm BE nên BF
⊥
OF
Mặt khác: SO
⊥
(ABCD) nên SO
⊥
BE
Suy ra: BE
⊥

SOF vuông tại O và có đường cao OI
Ta có hệ thức:
2 2 2
1 1 1
OFOI SO
= +
⇒
OI=
( )
( )
2
2
2 2
2 2
3
3
.
4 4
.OF 3
OF 8
3
3
4 4
a
a
SO a
SO
a
a
 

·
·
OJ
OD DB
EOB D
JO OE
=


=


=

(Đối đỉnh)
Suy ra:
∆
JOD đều nên K là trung điểm DJ
⇒
OK
⊥
DJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: d(AD,SO) = OK =
3
4
a
a) Xác định thiết diện
Vì SF
⊥
OI nên

KL AD⊥
Và KL
MN⊥
Suy ra hình thang có KL là đường cao
Xét tam giác SBC có MN//BC
Nên ta có tỉ lệ:
MN SL
BC SF
=
($)
OFS∆
vuông tại O nên theo định lý Pi Ta Go ta có: SF=
( )
2
2
2 2
3
3
3
OF
4 4
2
a
a
a
SO
 
+ = + =
 ÷
 

3
2
a
-
3
4
a
=
3
4
a
Từ ($) ta có:
MN SL
BC SF
=
3
1
4
2
3
2
2
a
MN
a
a
a
MN
⇒ = =
⇒ =


Xét tam giác vuông LKF:
·
·
0 0 0 0
90 90 60 30LKF LFO= − = − =
Vậy
·
( )
·
( ),(ABCD ADMN LKF=
=
0
30
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
bằng a
2
.
a)Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD).
b)Tính khoảng cánh giữa đường thẳng AB và (SCD).
c)Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng AB và SC.
d)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P). Tính diện tích thiết diện.
e)Tính góc giữa đường thẳng AB và mp (P).
Bài làm:
19
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
∆
SAC,
∆

a
.
b)d(AB,(SCD))=?
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD
Gọi N là hình chiếu của I lên SI
Xét AB và (SIJ)
IJ
/ /IJ
AB BC
AB
BC
⊥

⇒ ⊥



và
( )SO ABCD SO AB⊥ ⇒ ⊥
( IJ)AB S⇒ ⊥
mà
( IJIN S⊂
) nên AB
⊥
IN (1)
Xét
∆
SIJ có IN
⊥
SJ

42
2
sin
7
7
2
a
SO
SIO
SI
a
= = =

·
0
67 48'SIO⇒ =
Do
∆
SIJ cân nên
·
·
0 0 0 0
ISN 180 2. 180 2.(67 48') 44 24'SIO⇒ = − = − =
NI=
·
0
7
.sinIS .sin(44 24')
2
a

AHMP
S AM HP=
Xét tam giác đều SAC có AM là đường cao: AM=
6
2
a
Xét tam giác SDB có HP//DB nên ta có tỉ lệ:
1
HP SR SO RO RO
DB SO SO SO
−
= = = −
Xét tam giác RAO vuông tại O có: RO=tan
·
.RAO AO
=
0
2 6
tan30 .
2 6
a a
=
6
2 2
6
(1 ). (1 ). 2
3
6
2
a

SC//QB
21
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Gọi giao điểm của đường thẳng đi qua B song song với SC và trong mp
(SBC) cắt MP tại F. Suy ra BFQO là hình bình hành.
Vì SC
⊥
(AHMP) nên BF
⊥
(AHMP)
Suy ra:
·
( )
,( )AB AHMP
=
·
( )
·
, AFAB FB B=
Xét tam giác ABF vuông tại F:
·
1
2 2
2
sin AF
2 2
SC
FB QO a
B
AB AB AB a

/ /
CD HK
CD SHK
CD AB
CD SH
AB SH
⊥


⊥


⇒ ⊥


⊥


mà HH’
⊂
(SHK)
Suy ra: CD
⊥
HH’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HH’
⊥
(SCD)
AH//CD nên AH//(SCD)
Suy ra: d(A,(SCD))= d(AH,(SCD))=HH’
Tính HH’=?

7
* Tính
·
( )
tan ( ),( ) ?SAB SCD =
Ta có: HK
⊥
(SAB) nên SH là hình chiếu của SK lên mặt phẳng (SAB)
Nên:
·
( )
·
( )
·
( )( ) ,SAB SCD SH SK HSK= =
Xét tam giác SHK vuông tại H:
·
2 3
tan
3
3
2
HK a a
HSK
SH
a
= = =
Vậy
·
( )

( )
tan ( ),( EF) ?SAB G =
Gọi M =
EF SH∩
nên M là trung điểm EF
Ta có tam giác EGF cân tại G nên GM
⊥
EF
Xé
t (SAB) và (GEF)
·
( )
·
( )
·
( ) ( EF) EF
EF ( ),( EF ,
EF
SAB G
SH SAB G HM MG HMG
GM
∩ =


⊥ ⇒ = =


⊥

Tam giác SAB cân nên M cũng là trung điểm SH: MH=

= =
(**)
Từ (*) và (**) suy ra: G là trọng tâm tam giác SHK.
Tính d(G,(SCD))=?
Gọi N là trung điểm SK
Ta có d(H,(SCD))=
21
7
a
mà G là trọng tâm tam giác SHK nên
1
3
GN
NH
=
Suy ra: d(G,(SCD))=
1
3
d(H,(SCD)) =
1
3
.
21
7
a
=
21
21
a
d) Tìm quỹ tích:

o
, cạnh SC=
6
2
a
và SC vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
a)Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b)Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.
c)Chứng minh
·
BKD
=
90
o
và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng (SAD).
Bài 5: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H,
K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a)Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b)Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc
với mặt phẳng (SBD).
c)Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).
b)Tính khoảng cánh giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’).
c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 7:Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc
·
60BAD =