Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

CH NG MINH QUAN H VUÔNG GÓC SONG SONG
ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1. Cho t di n ABCD và G là tr ng tâm tam giác ABD Trên đo n BC l y đi m M sao cho
MB  2MC . Ch ng minh r ng MG // (ACD) .
A
H ng d n
G i N là trung đi m c a AD .
BG
2
Khi đó
GN
N
G
BM
BG BM
2

Mà ta có
B
C
MC
GN MC


b. Ta có MP đi qua đi m M c đ nh và MP / /(AA'C'C)

B'
P

N
A

Suy ra MP  () trong đó () là m t ph ng đi qua M

C
M

và song song v i (AA'C'C) nên () c đ nh đpcm

B

c. Ta có MP / /AQ nên MP / /AC' khi và ch khi Q  C'  N  B .
Bài 3. Cho t di n ABCD . G i O,O' l n l

t là tâm đ

Ch ng minh r ng OO'/ /(BCD) khi và ch khi

H

ng tròn n i ti p các tam giác ABC,ABD .

BC AB  AC


OM MB MC MB  MC
BC
O' A AB  AD
T ng t ta đ c:
(3)

O' N
BD
Thay
vào
ta đ c:
AB  AC AB  AD
BC AB  AC
OO'/ /MN 



BC
BD
BD AB  AD

Chuyên đ : Hình h c không gian

A

O

O'



D

1

M

D

E

1

Suy ra E1  C'1  900  C'N  ED' (1)

N

M t khác: ME / /BC  ME  (CDD'C')  ME  C'N (2)

B

C

T (1) và (2), suy ra: C'N  (MED'A') (2*)
T (*) và (2*), suy ra C'N  MP đpcm

Bài 5. Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD . G i E là đi m đ i x ng c a B qua trung đi m c a SA .
G i M,N l n l t là trung đi m c a AE,CD . Ch ng minh r ng MN  BD .
H ng d n
E

H
B

C

hay MN  BD đpcm
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi
và SA  (ABCD) . K AB'  SB,AD'  SD v i

S

B'  SB,D'  SD . Ch ng minh r ng B' D'  (SAC) .

B'

H ng d n

a) AM  BC' .

b) AM  (MNJ)

H ng d n
a) Ch ng minh AM  BC' .
G i I là trung đi m c a BC khi đó

A'

AI  BC

AI  CC'(do CC'  (ABC))

C'
H

J

N
1

B'

 AI  (BCC' B')  AI  BC' (1)

M t khác, trong m t ph ng (BCC' B') ta có:
MI / /B'C
 MI  BC' (2)


đ hai m t ph ng (A' BD) và (MBD) vuông góc v i
b
nhau.
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

H ng d n
G i O là tâm c a hình vuông ABCD
Ta có A' B  A' D  A'O  BD . L i có MB  MD  MO  BD
A'O  BD; MO  BD
Khi đó 
(A' BD) (MBD)  BD

A'

D'

B'


  b2 



2
 2 
Ta có: 

b2 a 2
b2
2
2
2
 ; A'M 2  A'C'2  C'M 2  2a 2 
OM  MC  CO 
4
2
4


Khi đó



C

5b2
b2
 a 2  2a 2 
 b  a (vì a, b  0 ).

K

b. Ta có

A

Khi đó SC  HK (1)
Mà theo ý a. ta có BC  (SAE)  HK  BC  HK (2)

B
H
E

T (1), (2), suy ra HK  (SBC) đpcm

C

c. Trong t di n SBCR có SR  BC (do BC  (SAE) - ý a. )
Ta có RB  (HKB)  SC  RB (vì SC  (BHK) ch a RB ).
Theo ý b. ta có HK  (SBC)  RK  HK  (SBC)  RK  SB (*)

R

M t khác K là tr c tâm tam giác SBC nên CK  SB (2*)
T (*) và (2*), suy ra SB  (RCK)  SB  RC hay RC  SB .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!


2

2

2

2

2

25a 2
 3a 
AN  AD  DN  a    
16
 4 
Xét tam giác CMN ta có
2

2

2

S

2

2

2



C

M

Bài 11. Trong m t ph ng () cho hình vuông ABCD . Các tia Bx và Dy vuông góc v i m t ph ng
() và cùng chi u Các đi m M và N l n l

t thay đ i trên Bx,Dy sao cho m t ph ng (MAC) và

(NAC) vuông góc v i nhau. Ch ng minh r ng:

a) BM.DN không đ i.

b) (AMN)  (CMN) .

H ng d n
a) Ch ng minh BM.DN không đ i.
Đ t BM  m,DN  n,AB  a
G i O là tâm hình vuông ABCD
AC  BD

x
M
y
H

 AC  (BMND)  MO  AC

Ta có 

2

2

B

C

2

O
A

2

D

a2
a2
a2
a2
2
2
 2a  (m  n)  m   n   a  2mn  0  mn 
hay BM.DN  .
2
2
2
2


OH
OM ON2

 OH2 

1
m2 

a2
2

1



n2 

a2
2



m2  n2  a2
 2 a 2  2 a 2 
 m   n  
2 
2


a2

ng tròn.
ng d n
Tr c tiên ta s ch ng minh đi m A,B',C',D' đ ng
ph ng
Ta có CB  AB và CB  SA (do SA  (ABCD) )

S
C'

Suy ra CB  (SAB)  CB  AB'

D'

M t khác SB  AB' do đó AB'  (SCB)  AB'  SC (1)
Ch ng minh t ng t ta đ c
AD'  (SCD)  AD'  SC (2)

Mà theo gi thi t AC'  SC (3)
T (1), (2) và (3), suy ra A,B',C',D' đ ng ph ng (*)

B'

A

B

D

C


 


IC IB
BC 2
AC MB 3

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

S

1
a2
Ta có AC2  AB2  BC2  3a 2  AI 2  AC2 
9
3
2


M t khác: SA  (ABCD)  SA  MB (2)

Khi đó AI 2  MI 2 

T (1) và (2), suy ra: MB  (SAC)  (SMB)  (SAC) đpcm

M

A
I

600

B

C
a 2
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC , có SA,SB,SC đôi m t vuông góc. G i H là tr c tâm c a tam giác
ABC .
a) Ch ng minh r ng: SH  (ABC) .

b) G i  , ,  l n l

minh r ng:

t là góc t o b i m t ph ng (SBC),(SCA),(SAB) v i m t (ABC) . Ch ng

cos2   cos2   cos2   1

A

T (1) và (2), suy ra: SH  (ABC)

B

b) Ta có:

BC  (SAM)  BC  MS; BC  AM
 (SBC),(ABC)   AMS  

(SBC) (ABC)  BC

Ta có SA  (SBC)  SA  SM , suy ra tam giác ASM vuông t i S .
1
MH. BC S
2
 HBC
1
S ABC
MA. BC
2
S
và cos2   HAB
S ABC

MS
MS 2 MH.MA MH
 cos 2  





ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Bài 15. Cho hình l p ph

Chuyên đ : Hình h c không gian

ng ABCD.A' B'C' D' c nh a Đi m M thu c đo n AD' và đi m N thu c

đo n BD sao cho AM  DN  x v i 0  x  a 2 .

a 2
thì đo n MN ng n nh t.
3
b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên.

a) Ch ng minh r ng khi x 
H

ng d n
A'


 DE  a 
 EM  EA 

2
2
2
2



x 
x 
2 5 2
2
EN  DE  DN  2DE.DNcosEDN   a 
 x  2ax 2  a 2
  x  2a 
 x.
2
2
2
2


Xét tam giác MEN , ta có:
2

2

2


a 2
a 2
a 3
thì đo n MN ng n nh t và b ng
.
 0;a 2 . V y x 
3
3
3

b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên.
Ta có A,M,D' và D,N, B l n l

t n m trên hai đ

ng th ng chéo nhau là AD' và DB


AM MD' AD'
AM  DN  x



Do 
DN
NB
DB

AD'  DB  a 2



khi đó ba đ
A' B' B'C' C' A'

v i m t m t ph ng.
nghĩa là có c tr

ng h p đ

Bài 16. Cho tam giác nh n ABC và đ
Các đi m M và N l n l

ng th ng AA',BB',CC' cùng song song

ng cùng song song v i m t m t ch a đ

ng th ng  đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (ABC) .

t thay đ i trên  sao cho hai m t ph ng (MBC) và (NBC) vuông góc v i

nhau. Tìm v trí c a M,N sao cho đ dài đo n MN nh nh t
H ng d n
G i H là hình chi u c a A lên BC khi đó
 BC  MN
 BC  (MHN)  MH  BC

 BC  AH
(MBC)  (NBC)
 MH  (NBC)  MH  NH

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 9 -