NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Thpt_LongThành
Tác giả : NGUYÊN NGỌC MINH TRAI
Where there is a will , there is a way
1
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
PHẦN . MỞ ĐẦU:
Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc
biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số. ngoài
những dạng dãy số sai phân tuyến tính mẫu mực còn có rất nhiều dạng không mẫu
mực mà cách giải thường là sử dụng phương pháp lượng giác. Hôm nay, tôi xin mạo
mụi viết một tập tài liệu nhỏ về cách sử dụng lượng giác để giải các bài toán dạng này.
Đây là tập tài liệu đầu tay của tôi nên sai sót là điều không thể tránh khỏi, hi vọng nhận
được các ý kiến từ các bạn…. qua email [email protected]
hoặc [email protected]. Trong tập tài liệu này, tác giả có sử
dụng một số tài liệu về dãy số trong ebook của thầy Nguyễn Tất Thu_THPT
Lê Hồng Phong_Đồng Nai__xin chân thành cảm ơn thầy.
Long Thành. ngày 3-9, năm 2009
Lớp 11A
2
, Nguyễn Ngọc Minh Trai
Where there is a will , there is a way
2
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
II. Phương pháp

hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán…
(Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1)
Where there is a will , there is a way
3
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
PHẦN 3. BÀI TẬP
Bài 1: (Olympic 30/4/2003)
Cho dãy {u
n
} định bởi:
( )
1
1
3
2 1
1 1 2
n
n
n
u
u
u
u
+

=



tan
π
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
1
1
3
*2 1
1 1 2
n
n
n
u
u
u
u
+

=


+ −

=

+ −


π
= −
Where there is a will , there is a way
4
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Từ (*) ta có:
( )
1
8
1
1
8
n
n
n
u tg
u
u tg
π
π
+
+
=
−
Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và
1
3u =
.suy ra

a
n+1
=2a
1
a
n
- a
n-1
tính : a
1999
+ a
1
hướng dẫn giải:
+ nếu thay n=2 thì ta được a
2
= 2a
1
2
– 1. vậy nên nếu muốn sử dụng lượng giác(ở đây
là hàm cos, vì cos2a = 2cos
2
a – 1) ta cần phải chứng minh được |a
1
|≤1 thì mới có thể
dặt a
1
=cosa.
+ quả vậy, nếu |a
1
| ≥ 1, thì |a

k2
2
+
 a
1999
=cos1999a=cos(
ak −+
ππ
2
)= -cosa = -a
1
 a
1999
+ a
1
= 0
Bài 3: Cho dãy {u
n
} và {v
n
} như sau: (tạp chí THTT)
0
2
1
2
2
2
1 1
2
n n

=


Chứng minh rằng:
2 2
2 . 2 .
n n
n n
u v
π
+ +
< <
Giải:
Ta có:
0 1
2 2 3
2 2
sin , 1 cos sin
2 2
2 2 2
u u
π π π
= − = − =
Where there is a will , there is a way
5
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Vậy:
2 1 2

2 2
n
n
n
n
n n
tg
v tg
tg tg
π
π
π
π π
+
+
+
+ +
−
+
= = =
Bằng cách xét:
( )
sinf x x x= −
,
( )
; 0;
2
g x tgx x x
π
 

⇒
đpcm
Bài 4:
Cho a
0
= 2, b
0
= 1. Lập hai dãy số{a
n
},{b
n
}với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau:
1
2 .
n n
n
n n
a b
a
a b
+
=
+
;
1 1
.
n n n
b a b
+ +
=

3 6
a b
a
a b
a b
π π
= = = =
+
+ +
1 1 0
1
cos
6
b a b
π
= =
Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:
1
2 1
cos .cos cos .cos
2.3
2 .3 2 .3 2 .3
n
n n
a
π π π π
−
−
 
=

2 .3
n n
n
n
n
π
π π π π
π
−
= ∀ ≥
Ta có:
( )
2 .sin
2 .3
1
sin .cos
3
2 .3
n
n
n
n
a
π
π π
=
;
2 .sin
2 .3
sin

n
n
n
n n
n
a
π
π
π
π π π
→∞ →∞
= = =
2 3
lim lim .lim cos
9
2 .3
n n
n
n n n
b a
π π
→∞ →∞ →∞
= =
Vậy hai dãy {an},{bn}có cùng giới hạn chung là
2 3
9
π
Bài 5: (Kỳ thi quốc gia lần XXVIII-1990)
Cho dãy số{x
n

<0.
Nhưng x
2
> 0 tức là
2
3 3
n
x−
>
1
x
hay
2
1
3
4
x <
.
Suy ra:
1
3
0
2
x< <
.
Ngược lại, nếu
1
3
0
2

3 1
cos sin sin
2 3 2 3
x
π π
α α α
   
= − − − =
 ÷  ÷
   
Where there is a will , there is a way
7
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Từ đó suy ra:
1 3
sin 0x x
α
= = = >
Vậy điều kiện là:
1
3
0
2
x< <
b. Xét hai trường hợp đối với x
1
:
• Trường hợp

2
3 3
2
x x
x
− + −
=
Suy ra:
( )
2
1 2 1
3 3 2 1x x x− = +

( ) ( )
2
2
2 1 2
3 3 2 2x x x⇒ − = +
Do (1) mà:
1 2
2 0x x+ >
.Suy ra:

( )
1 2 1 1 2 1 2
2 0x x x x x x x+ = + + > − >
(
1 2
0, 0x x≥ <
)

Cho hai dãy {a
n
},{b
n
} như sau: a < b cho trước

1
2
a b
a
+
=
;
1 1
.b a a=

1 1
2
2
a b
a
+
=
;
2 2 1
.b a b=1 1
2

b
α
=
0
2
π
α
 
< <
 ÷
 
Where there is a will , there is a way
8
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Ta có
2
1
1
cos
2
cos
2
a b
b b
α
α

=

 ÷

 



= = =


Bằng quy nạp ta dễ dàng có:
2
1
2
1
.sin cos .
2
.cos cos .cos
2
2 2
2 .sin
2
.sin .
.cos cos .cos
2
2 2
2 .sin
2
n
n
n n


Vậy:
sin
2
.
2 .sin sin
2 2
n
n
n
n n
b b
b
α
α
α α
α
= =
sin
lim
n
n
b
b
α
α
→∞
⇒ =
b.Ta cũng có:
.cos

→∞
Giải:
Đây là bài tóan đơn giản và quen thuộc. Ta sẽ chứng minh:
( )
1
2 2 2 2cos 1
2
n
k
v
π
+
= − + =
.
Rõ ràng với n = 1 thì (1) hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng khi n = k, nghĩa là:
1
2cos
2
k
k
v
π
+
=
.
Xét:
1
1
2 2 2cos

2 2
1
2 .sin .2 .sin
2
2 2
n n
n n
π π
+ +
+ +
= =
Từ đó ta có:
2
2
1
lim lim .2 .sin
2
2
n
n
n
n n
u
π
+
+
→∞ →∞
=
2
2

4
n n n
u u
u u u
− −
= =


= −

và
( )
2
1
cot
n
n i
i
S arc g u
=
=
∑
Tìm
lim
n
n
S
→∞
Giải:
-Ta sẽ chứng minh:

4
cot
4
n
n n
u
arc gu arccotg u
 
 
=
 
 ÷
 
 
( )
1 1
2
1 1
n n n
n n n
u u u
arccotg
u u u
+ −
+ −
+
 
=
 
−

1
n n
n n
u u
arccotg arccotg
u u
+
−
= −
Suy ra:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2
n n
i i i
i i
arcotg u arcotg u arcotg u
= =
= +
∑ ∑
Where there is a will , there is a way
10
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Ta sẽ chứng minh rằng
1n
n
u
u

u
+
→∞
≤
Mà:
1 2
4
n n n
u u u
− −
= −
1 2
1 4
n n
n n
u u
u u
− −
⇒ = −
1 2 1
1
1 4
n n n
n n n
u u u
u u u
− − −
−
⇒ = −
Nếu đặt:

π
→∞
= + =
Bài 9: (Tạp chí tóan học và tuổi trẻ năm 2005)
Dãy {h
n
} được cho bởi điều kiện
1
1
2
h =
và
2
1
1 1
; 1
2
n
n
h
h n
+
− −
= ∀ ≥
Đặt
1
;
n
n i
i

n
n
h
π
=
iả sử rằng:
sin sin
3.2
k
k
h
π
=
1
1 1 sin
1 cos
3.2
3.2
sin
2 2
3.2
k
k
k
n
h
π
π
π
+

NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010

1
2 3.2
π
< +
Do S
n
là dãy tăng nên
1
lim 1,03
2 3.2
n
n
S
π
→∞
≤ + <
⇒
đpcm.
Bài 10: (đề thi HSG quốc gia lầnXXV-1987)
Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu
1
1987
u
π
=
và công sai là

u u u u
=
± ± ± =
∑
∏
Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với n = 1:
( )
1 1 1
cos cos 2cosu u u+ − =
Với n = 2:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2
cos cos cos cosu u u u u u u u+ + − + − + − −
( )
1 2 1 2 1 2
2cos .cos 2cos .cos 4cos .cosu u u u u u= + − =
Giả sử bài tóan đúng với n, khi đó:
1
1
1
1 1
2 cos 2 2 . cos cos
n n
n n
j j n
j j
u u u
+
+

=
∏
Do {u
j
} là cấp số cộng nên:
Where there is a will , there is a way
12
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
1987 1
1985u u d= +
1985
1987 2.1987 2
π π π
= + =
Bài 11: (Kì thi quốc gia lần XXVII - 1984)
Cho dãy số u
1
, u
2
như sau:u
1
=1, u
2
=2,u
n+1
=3u
n
-u

1,
t
2,
t
3,
t
4
.
Ta có:
1 2
1t t= =
và
( )
2 1
1
n n n
t t t n
+ +
= + ≥
a. Trước hết ta chứng minh rằng:
2 3 5 2 1 2 2
cot cot cot cot cot
n n
arc gt arc gt arc gt arc g t arc gt
+ +
− − − − =
( )
1
Thật vậy theo công thức cộng cung ta có:
2 2 1 2 2 1

n n n n
t t t t
+ − +
− = −
Từ đó:
2 2 1 2 1 2 2
. 1 .
n n n n
t t t t
+ − +
+ =
Suy ra:
( )
2 2 1 2 2
cot cot cot 2
n n n
arc gt arc gt arc gt
+ +
− =
Trong (2) lần lượt thay
1,2,3, n =
rồi cộng lại sẽ được (1).
b. Từ (1) suy ra:
2 2
2
cot cot cot
n
i i n
i
arc gu arc gu arc gt

=
 
= =
 ÷
 
∑
Vậy:
2
lim lim cot
4 4 2
n
n i
n
i
v arc gu
π π π
→∞
=
 
= = + =
 ÷
 
∑
Bài tập 12
(103 trigonometry problems from the training of the USA IMO team)
Cho dãy số {a
n
} xác định bởi:
Where there is a will , there is a way
13

n
- 1)
2
là để chứng minh |x
n
| ≤ 1.
Ta có |x
n
| ≤ 1 => 0 ≤ t ≤1. vì nếu ngược lại thì ta có ngay: x
2
< 0 =>x
3
< 0 =>
…………… => X
1998
< 0(trái với giả thiết)…
Sau đó ta đặt t = sin
2
a …………=> công thức tổng quát của X
n
rồi giải… cách giải không
khác bài 2 là mấy…
Where there is a will , there is a way
14
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Phần IV : các bài tập tự giải.
bài tập 1:
Cho dãy {x

(giải tương tự bài tập 1)
Bài tập 3
Cho hai dãy số {x
n
} và {y
n
} xác định như sau:
X
0
= 0 , y
0
= cosa
X
n
= x
n-1
+ 2y
n-1
sin
2
a
Y
n
= y
n-1
+ 2x
n-1
cos
2
a

2
a)( X
n-1
+ mY
n-1
)=… = (1 + 2 mcos
2
a)
n
( X
0
+ mY
0
) (1)
Where there is a will , there is a way
15
n dấu căn
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Với cách chọn trên ta được. m = tana hoặc m = -tana
Thay 2 giá trị này vào(1), rồi giải hệ thì coi như ta đã giải quyết xong.)
Bài tập 4 (trích từ quyển 103 trigonometry problems from the training of the USA IMO
team)
Cho hai dãy số {x
n
} và {y
n
} xác định như sau:
X

y
y
Chứng minh rằng : 2 < x
n
. y
n
< 3
(lời giải được đề cập rất rõ trong quyển 103 trigonometry problems from the training of
the USA IMO team, nên tôi sẽ ko đề cập đền nữa)
Bài tập 5 (THTT 369)
Tìm lim








+++−+−− 2 222 222.22
Bài tập 6 (THTT 335)
Cho dãy số {x
n
} xác định:
X
1
= 1/2
X
n+1
=

NĂM HỌC 2009-2010
Tìm a để x
n
<0,
∀
n > 0……
BÀI TẬP 8
Cho dãy số {x
n
} xác định:
X
1
= a
X
n
=
1
1
1
−
−
−
+
n
n
bX
bX
Tìm dãy số tổng quát của {x
n
} .

Tìm tất cả các số chính phương abcd sao cho dcba là số chính phương
( với a,b,c,d là số tự nhiên có thể bằng nhau thỏa mãn a,b,c,d 9 và ad khác 0
Câu 6. (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho tam giác LMN nôị tiếp đường tròn tâm I ;
biết trọng tâm E( 15;4) , trực tâm U(1;7), đỉnh L(0;7).
Chứng minh rằng điểm I nằm bên trong tam giác LMN
Nhận xét : đề thi tỉnh Đồng Nai không khó lắm…. không đánh đúng vào những dạng
toán hay và khó của chương trình phổ thong như : bất đẳng thức, phương trình hàm,
dãy số …………….
The end
To be continue….
Where there is a will , there is a way
18