BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN GIANG NAM
TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH
VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62.46.05.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2011
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN
2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG
Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung
Viện Toán học, Hà Nội
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 3: TS. Hoàng Đình Hải
Trường Đại học Hồng Đức Thanh Hóa
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường
Đại học Vinh
Vào hồi . . . . . . giờ . . . . . . ngày . . . . . . tháng . . . . . . năm . . . . . .
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia, Hà Nội.
- Trung tâm thông tin-thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh.
1
Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver vào nằm 1934, là tổng quát
hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng
của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương

hai iđêan của nó. Điều này không còn đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành
chỉ chứa các iđêan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường.
Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng tự do và iđêan
không tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, Sidney S. Mitchell - Paul B. Fenoglio
(1988) chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng
2
không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B; dễ thấy rằng
các nửa vành giao hoán không có iđêan không tầm thường chỉ là các nửa trường.
Gần đây, R. El Bashir - J. Hurt - A. Janˇcaˇrík - T. Kepka (2001) đã mở rộng hai
kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và đơn vị.
C. Monico (2004) đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phần tử không và
đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường; nhưng sự mô tả này
là không đầy đủ. Sau đó, J. Zumbragel (2008) đã phân loại một cách đầy đủ các
nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không
tầm thường. Việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không
tầm thường bất kỳ vẫn chưa làm được.
Bourne - Zassenhaus (1957) đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn
không có tương đẳng không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy
linh khác không; cụ thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận
trên các nửa thể. Steinfeld - Wiegandt (1967) chỉ ra rằng kết quả này vẫn đúng
cho nửa vành nửa đơn không có tương đẳng không tầm thường. Sau đó, Stone
(1977) mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một
vành nào đó. Weinert (1984) nghiên cứu không có tương đẳng không tầm thường
nửa vành ma trận và nửa vành nửa nhóm. Khái niệm nửa vành mà Weinert xem
xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại
nửa vành iđêan tự do vẫn là một câu hỏi mở.
Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu
cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu
được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu
diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông

của các nửa môđun trên chúng là tương đương.
Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải.
Mặt khác, việc dùng khái niệm nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành
cũng đã được quan tâm bởi một số nhà toán học và họ nhận được một số kết
quả đáng chú ý sau: H. Wang (1994) chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành
cộng lũy đẳng đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó. Y. Katsov (1997)
mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy. S. N. Il’in (2008) chứng minh
được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer và mọi nửa môđun trên đó đều
nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là các vành. Cuối cùng, Ahsan - Shabir
- Weinert (1998) đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua
các nửa môđun cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn
ít.
Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho
nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ.
Những vấn đề sau của đề tài được tập trung nghiên cứu:
(1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và
nửa vành không có iđêan không tầm thường;
(2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa
đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y.
Katsov.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không
tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa
iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ
và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa
môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên
của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy.
4
3 Đối tượng nghiên cứu
Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan

tôi đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành
đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có
iđêan không tầm thường, tính đơn của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao
hoán cộng lũy đẳng (Định lý 2.1.9). Trong Mục 2.2, chúng tôi chỉ ra rằng tính
không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường
và tính đơn của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6).
Trong Mục 2.3, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan
một phía của nó (Định lý 2.3.1) và qua đó mô tả được cấu trúc nửa vành đơn
chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6
và Định lý 2.3.2, chúng tôi đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan
không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4).
Chương 3 của Luận án nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm
thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn cho một số lớp nửa
vành đặc biệt. Trong Mục 3.1, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái
(phải) xích không có iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái (phải)
xích đơn (Định lý 3.1.4); cũng như, mô tả cấu trúc nửa vành không có tương
đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định lý 3.1.5). Trong Mục 3.2, chúng
tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6)
và qua đó phân loại được nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không
có iđêan không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô
lập trái (phải) không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.2.10). Trong
Mục 3.3, chúng tôi phân loại nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm
thường (Định lý 3.3.6). Dùng Định lý 2.2.6, chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn
chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.9) và qua đó biểu diễn được nửa vành không
có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.10).
Chương 4 của Luận án nhằm đặc trưng nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa
đơn cô lập dựa vào các khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa
môđun nội xạ ; đặc biệt là trả lời giả thuyết và bài toán của Y. Katsov cho
nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Trong Mục 4.1, chúng tôi chứng minh các
tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng và đơn-phẳng đều bất biến qua phép

P ) là một nửa vành các tự đồng cấu của R-nửa
môđun trái
R
P ∈ |
R
M|. Khi đó, P trở thành một R-S-song nửa môđun với
cấu trúc S-nửa môđun phải trên P. Chúng ta viết Q = P
∗
:=
R
M(
R
P,
R
R) với
S-R-song nửa môđun đối ngẫu P
∗
của R-S-song nửa môđun P . Ta xác định
một tự đồng cấu qp ∈ S bởi p

(qp) = (p

q)p với mọi p, p

∈ P và q ∈ Q. Khi đó,
chúng ta nhận được khẳng định dưới đây:
Bổ đề 1.2.2. Các tương ứng (p, q) −→ pq và (q, p) −→ qp lần lượt xác định
(R, R)-đồng cấu α : P ⊗
S
Q −→ R và (S, S)-đồng cấu β : Q ⊗

R
P ∈ |
R
M| được gọi là một vật sinh
(generator) của phạm trù các nửa môđun trái
R
M nếu nửa môđun trái
R
R là
một phép co của một tổng trực tiếp hữu hạn ⊕
i
P của nửa môđun
R
P .
Mệnh đề 1.2.8. Một nửa môđun trái hữu hạn sinh
R
P ∈ |
R
M| là một vật sinh
của
R
M khi và chỉ khi (R, R)-đồng cấu α : P ⊗
S
Q −→ R là một toàn cấu.
Hơn nữa, nếu α là một toàn cấu, thì nó là đẳng cấu.
Một nửa môđun trái
R
P ∈ |
R
M| được gọi một vật sinh xạ ảnh (progenerator)

End (
R
P ).
8
Kết quả sau mô tả các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có
phù hợp phải.
Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : M
R
−→ M
S
các phát biểu sau đây là
tương đương:
(i) F có một phù hợp phải;
(ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích;
(iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun
P ∈ |
R
M
S
| sao cho các hàm tử − ⊗
R
P : M
R
−→ M
S
và F là đẳng cấu tự
nhiên, tức là, F
∼
=
− ⊗

Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số kết quả về
các nửa vành không có tương đẳng và iđêan không tầm thường. Mặt khác, Luận
án đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành
đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng và nghiên cứu các tính đơn cho nửa vành
tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng.
Nửa vành R được gọi là không có tương đẳng không tầm thường (congruence-
free), hay là tương đẳng-đơn (congruence-simple) nếu đường chéo id
R
và R
2
chỉ
là hai tương đẳng trên R. Nửa vành R được gọi là không có iđêan không tầm
thường (ideal-free), hay là iđêan-đơn (ideal-simple) nếu 0 và R chỉ là hai iđêan
của nó; và R được gọi là đơn nếu R là không có iđêan và tương đẳng không tầm
thường.
Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng không tầm thường
và nửa vành không có iđêan không tầm thường đã được mô tả. Tiếp theo, Luận
án sẽ quan tâm đến các nửa vành không có tương đẳng và iđêan không tầm
thường không giao hoán. C. Monico (2004) đã mô tả các nửa vành (không đòi
hỏi phải chứa phần tử 0 và 1) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường.
Tuy nhiên, sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, J. Zumbragel (2008) chỉ mới
phân loại được các nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử 1) hữu hạn không
10
có tương đẳng không tầm thường. Nửa vành vô hạn không có tương đẳng không
tầm thường cũng đã được nghiên cứu bởi J. Zumbragel (2008), J. Jeˇzek - T.
Kepka - M. Maróti (2009) và một số tác giả khác.
Nửa vành không có iđêan không tầm thường không giao hoán đã được nghiên
cứu bởi Bourne-Zassenhaus (1957), O. Steinfeld - R. Wiegandt (1967), Stone
(1977), Weinert (1984),
Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra một cách tiếp cận khác cho các nửa vành

Định lý 2.2.6. Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau.
Khi đó, R là không có iđêan không tầm thường (không có tương đẳng không tầm
thường) khi và chỉ khi S là không có iđêan không tầm thường (không có tương
đẳng không tầm thường). Đặc biệt, R là một nửa vành đơn khi và chỉ khi S là
một nửa vành đơn.
Tính không có iđêan không tầm thường, tính không có tương đẳng không
tầm thường và tính đơn được bảo toàn khi mở rộng chúng sang giới hạn trực
tiếp.
Mệnh đề 2.2.7. Cho {R
i
| R
i
∈ |SRing|, i ∈ I} là một họ trực tiếp các nửa
vành và R = lim
−→
I
R
i
. Nếu R
i
, i ∈ I là không có iđêan không tầm thường (tương
ứng, không có tương đẳng không tầm thường và đơn) thì R là không có iđêan
không tầm thường (tương ứng, không có tương đẳng không tầm thường và đơn).
Cho trước một nửa vành D và gọi R
i
= M
2
i
(D) (i ≥ 0) là nửa vành ma
trận cấp 2

không có tương đẳng không tầm thường và đơn tổng quát là phức tạp. Do đó,
12
tiết và chương tiếp theo, chúng tôi chỉ nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành nói
trên cho một số lớp nửa vành khá đặc biệt.
2.3 Áp dụng
Trong tiết này, ứng dụng kết quả hai tiết trước, chúng tôi nghiên cứu chi tiết
tính đơn và tính không có iđêan không tầm thường cho lớp các nửa vành chứa
iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, đặc biệt là lớp các nửa vành hữu hạn.
Kết quả sau đây cho phép ta mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các
iđêan một phía của nó.
Định lý 2.3.1. Cho R là một nửa vành đơn và I là một iđêan trái khác không.
Đặt D = End(
R
I). Khi đó,
(i) Đồng cấu tự nhiên f : R −→ End(I
D
) là một đẳng cấu nửa vành;
(ii) I là một vật sinh của
R
M và là một D-nửa môđun phải xạ ảnh hữu hạn
sinh;
(iii) Tồn tại một số nguyên dương n và một phần tử lũy đẳng e trong nửa
vành ma trận M
n
(D) sao cho R
∼
=
eM
n
(D)e;

Trong chương này, Luận án giải quyết được những vấn đề sau.
- Đặc trưng nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành đơn
và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có iđêan
không tầm thường của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán cộng lũy
đẳng (Định lý 2.1.9, Hệ quả 2.1.11).
- Chỉ ra rằng tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường và tính đơn
của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6).
- Mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó
(Định lý 2.3.1) và qua đó mô tả được cấu trúc nửa vành đơn chứa iđêan một
phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không
có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4).
14
Chương 3
TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP
NỬA VÀNH
3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn
Trong tiết này chúng tôi quan tâm đến tính không có iđêan không tầm thường,
tính không có tương đẳng không tầm thường và tính đơn cho hai lớp nửa vành
cộng lũy đẳng đặc biệt, đó là nửa vành Artin trái (phải) xích và nửa vành được
sắp thứ tự dàn.
Mỗi nửa vành cộng lũy đẳng R, được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự (tự nhiên):
x, y ∈ R, x ≤ y nếu và chỉ nếu x + y = y. Với quan hệ thứ tự này R là một nửa
dàn với phần tử bé nhất là 0 và x ∨ y = x + y; đồng thời, (R, ≤) thỏa mãn hai
điều kiện sau: với mọi x, y, z ∈ R,
(i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z;
(ii) Nếu x ≤ y thì xz ≤ yz và zx ≤ zy.
Hơn nữa, quan hệ thứ tự này cũng là quan hệ thứ tự duy nhất trên R thỏa mãn
các điều kiện nói trên.
Takahashi-Wang (1993) gọi một nửa vành R là xích (chain) nếu R là cộng
lũy đẳng và được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ thứ tự tự nhiên.

Một iđêan trái I của nửa vành cho trước R được gọi là cô lập nếu và chỉ nếu
với mỗi a, b ∈ R, nếu a và a + b ∈ I thì suy ra b ∈ I. Các iđêan phải và iđêan cô
lập cũng được định nghĩa theo một cách tương tự. Một nửa vành R được gọi là
cô lập trái (phải) nếu mọi iđêan trái (phải) của nó đều cô lập.
Kết quả sau đây sẽ cho ta một số đặc trưng về nửa vành nửa đơn cô lập một
phía.
Định lý 3.2.4. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương
16
đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn;
(ii) R là một tổng hữu hạn của các iđêan trái tối tiểu;
(iii) Mọi iđêan trái của R là một hạng tử trực tiếp của R;
(iv) R là Artin trái và Rad(
R
R) = 0.
Định lý sau mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập một phía.
Định lý 3.2.6. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn cô lập trái;
(ii) R là một nửa vành nửa đơn cô lập phải;
(iii) R
∼
=
D
1
× · · · × D
n
× M
n
1
(R

1
) với R
1
là một thể nào
đó và n là một số nguyên dương, hoặc R là một nửa thể phi đối xứng.
Áp dụng Định lý 3.2.7, ta nhận được kết quả dưới đây, nó cho biết cấu trúc
của nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có tương đẳng không
tầm thường.
Định lý 3.2.10. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là không
có tương đẳng không tầm thường khi và chỉ khi R
∼
=
M
n
(R
1
) với R
1
là một thể
và n là một số nguyên dương, hoặc R
∼
=
B.
3.3 Nửa vành đầy đủ tương đẳng tự do
Tiết này chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đầy đủ không có tương đẳng
không tầm thường, nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng và biểu diễn được nửa
17
vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng.
Một nửa vành đầy đủ (R, +, ., 0, 1, Σ) là một nửa vành cùng với phép cộng
vô hạn Σ là một mở rộng của phép cộng “ + ” và thỏa mãn luật phân phối và

j
là một phân hoạch, thì Σ
j∈J
(Σ
i∈I
j
x
i
) = Σ
i∈I
x
i
;
(3) Σ
i∈I
zx
i
= z(Σ
i∈I
x
i
), Σ
i∈I
x
i
z = (Σ
i∈I
x
i
)z, với mọi z ∈ R.

đầy đủ CEnd(M) sao cho F
M
⊆ S, trong đó M là một dàn đầy đủ khác không.
Một phần tử a của một nửa vành R được gọi là vô cùng nếu r + a = a với
mọi r ∈ R. Định lý sau cho ta cấu trúc của nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng,
đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ.
Định lý 3.3.9. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng;
(ii) R tương đương Morita với nửa vành Boole B;
(iii) R
∼
=
End(M), trong đó M là một dàn hữu hạn phân phối;
(iv) R là một nửa vành đơn đầy đủ.
18
Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 3.3.9 cho ta một biểu diễn của nửa vành
không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng.
Định lý 3.3.10. Cho R là một nửa vành chứa phần tử vô cùng. Khi đó, R là
nửa vành không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi tồn tại một nửa đẳng
cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M) của một dàn phân phối hữu
hạn M.
3.4 Kết luận Chương 3
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Mô tả cấu trúc của nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không
tầm thường và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn (Định lý 3.1.4). Mô tả cấu
trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định
lý 3.1.5).
- Đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định
lý 3.2.6). Phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có iđêan
không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái

trái f : M −→ N và với mọi đồng cấu g : P −→ N, tồn tại một R-đồng cấu
h : P −→ M sao cho f ◦ h = g.
Khái niệm nửa môđun xạ ảnh ổn định được H.M.J. Al-Thani đưa ra vào năm
1996. Bây giờ, lấy đối ngẫu (hình thức) khái niệm này, chúng tôi giới thiệu khái
niệm nửa môđun nội xạ ổn định như sau: Cho M là một R-nửa môđun trái. Khi
đó, một R-nửa môđun trái U được gọi là M-nội xạ ổn định nếu với mỗi nửa
môđun con K của M và với mỗi R-đồng cấu ổn định g : K −→ U, tồn tại một
R-đồng cấu ổn định h : M −→ U sao cho h◦ i = g, trong đó i : K  M là phép
20
nhúng chính tắc. Nửa môđun
R
U ∈ |
R
M| là nội xạ ổn định nếu
R
U là M-nội
xạ ổn định, với mọi nửa môđun
R
M ∈ |
R
M|.
Định lý 1.1.9 đã chỉ ra rằng song hàm tử tích tenxơ −⊗− : M
R
×
R
M −→ M
là một phù hợp trái của hàm tử Hom. Do đó, hàm tử − ⊗
R
G bảo toàn các
giới hạn trực tiếp; nghĩa là, −⊗

(iii) Mọi R-nửa môđun trái là nội xạ ổn định.
21
4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy
Trong tiết này, chúng tôi mô tả lớp nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà
trên đó tính phẳng và tính xạ ảnh, hoặc tính phẳng và tính đơn-phẳng của các
nửa môđun là tương đương.
Một nửa vành R là cộng chính quy (additively regular) nếu (R, +, 0) là một
vị nhóm chính quy; nghĩa là, với mỗi r ∈ R, tồn tại r

∈ R sao cho r +r

+r = r.
Hiển nhiên, mọi vành hoặc nửa vành cộng lũy đẳng đều là nửa vành cộng chính
quy.
Chúng ta đã biết ở tiết trước mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng. Chiều ngược
lại là không đúng. Cụ thể hơn, năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ
ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng
bất kỳ là phân biệt. Năm 2004, Y. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa
vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho
tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của
các nửa môđun trên R là phân biệt; hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính
xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính
quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đồng thời, Ông
còn nêu ra giả thuyết rằng: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên
nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn
chỉnh. Định lý dưới đây cho thấy giả thuyết này là đúng cho nửa vành nửa đơn
cộng chính quy.
Định lý 4.2.1. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các phát biểu sau
là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái phẳng là xạ ảnh;

1
, . . . , D
r
là các thể, hoặc là
nửa vành Boole B.
4.3 Kết luận Chương 4
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Chứng minh các tính xạ ảnh, phẳng, đơn-phẳng, nội xạ và nội xạ ổn định
đều bảo toàn qua phép tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun.
Thiết lập một số đặc trưng của nửa thể thông qua các nửa môđun nêu trên. Áp
dụng các kết quả này và Định lý 1.3.12, Luận án đặc trưng nửa vành nửa đơn
và nửa vành nửa đơn cô lập (Định lý 4.1.6 và Định lý 4.1.10) dựa vào các khái
niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa môđun nội xạ.
- Mô tả các nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính phẳng và tính
xạ ảnh của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.1), hoặc tính phẳng và
tính đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4).
23
Kết luận của Luận án
Luận án đã thu được những kết quả chính sau.
1. Nghiên cứu, mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành.
2. Chứng minh các tính không có tương đẳng không tầm thường, không có iđêan
không tầm thường và đơn của nửa vành được bảo toàn qua tương đương
Morita. Ứng dụng kết quả này, Luận án đưa ra cấu trúc của nửa vành đơn
chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh, và đặc biệt là cấu trúc của nửa vành
đơn hữu hạn.
3. Mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập trái (phải). Ứng dụng kết quả
này, Luận án mô tả cấu trúc của nửa vành Artin trái cô lập trái không có
iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái cô lập trái không có tương
đẳng không tầm thường. Đồng thời, Luận án mô tả cấu trúc của nửa vành
đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có tương