PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự
PH NG TRÌNH KHÔNG M U M CƯƠ Ẫ Ự
L I GI I THI UỜ Ớ Ệ
L I GI I THI UỜ Ớ Ệ
rong quá trình h c toán, các b n h c sinh có th g p đây đó mà đ u đ có vọ ạ ọ ể ặ ầ ề ẻ
“l ” , nh ng bài toán này không th tr c ti p áp d ng nh ng quy t c quenạ ữ ể ự ế ụ ữ ắ
thu c. Nh ng bài toán nh v y th ng đ c g i “không m u m c” (non –ộ ữ ư ậ ườ ượ ọ ẫ ự
standard problems), có tác d ng không nh trong vi c rèn luy n t duy toán h c vàụ ỏ ệ ệ ư ọ
th ng là th thách c a sinh trong nh ng kì thi h c sinh gi i , thi vào các l p chuyênườ ử ủ ữ ọ ỏ ớ
toán , thi vào đ i h c.ạ ọ
T
Đ các ph ng trình và h ph ng trình “không m u m c” d n tr thành “quenể ươ ệ ươ ẫ ự ầ ở
thu c” v i mình, chúng tôi xin gi i thi u v i các b n h c sinh yêu toán m t chuyên độ ớ ớ ệ ớ ạ ọ ộ ề
v v n d trên .ề ấ ề
Trong lúc biên so n ch n không th không sai sót, r t mong đ c s góp ý c a cácạ ắ ể ấ ượ ự ủ
đ c gi .ộ ả
Nguy n Lê Anh Khoaễ
Nguy n Lê Anh Khoaễ
Thái H u Đăng Khangữ
Thái H u Đăng Khangữ
Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ
Nguy n Kh c Thiên Ch ngễ ắ ươ
Nguy n Minh Hùng.ễ
Nguy n Minh Hùng.ễ
1
M c l c:ụ ụ
PH NG TRÌNHƯƠ
PH NG TRÌNHƯƠ
I. Ph ng pháp th ng v n d ngươ ườ ậ ụ
1. Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ
2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ

⇔
3( 7 3) 2( 7 3) 0x x x+ + − − + − =
⇔
( 7 3)( 3 2) 0x x+ − + − =
⇔
3 2 0
7 3 0
x
x

+ − =

+ − =


⇔
7 9
3 4
x
x
+ =


+ =

⇔
2
1
x
x

= + −
Đs:
1 5 3
2;1; ;
2 2
±
4
3.Gi i ph ng trình:ả ươ
5 4 3 2
2x x x x x
= + + + +
(3)
Gi iả
Đs: 2
4. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
(4)
Gi iả
1 1 1 1
(4)
( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18x x x x x x
⇔ + + =
+ + + + + +
(đi u ki n x ≠ -4 ,-5, -6, -7) ề ệ
2
1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1
1994 0
1700 1698 1696 1694
1994 0
x x x x
x
x
− − − −
       
⇔ − + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
⇔ − =
Do
1 1 1 1
0
1700 1698 1696 1694
+ + + 〉
Đs: 1994
6. Gi i ph ng trình:ả ươ
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x
+ + =
+ + + + + + + +
(6)

2 3 5
4
2 2
x
y x y
+
= ⇒ + = −
4
3
5
(7) 16 100
2
y y y
 
⇔ − = +
 ÷
 

4
2
5 25
16 0
2 4
y y y
   
⇔ − − + =
 ÷  ÷
   
(*)
Ta có

 
(**) tr thành :ở
( ) ( )
2 2
16 80 0
4 20 0
t yt y
t y t y
− − =
⇔ + − =
Gi i ra ta đ cả ượ Đs:
10 6 1 10 6 1
;
4 4
− − −
8. Gi i ph ng trình:ả ươ
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
(8)
(câu 3 d 52 b tuy n sinh đ i h c 1993)ề ộ ể ạ ọ
Gi iả
Đ t ặ
(
)
2 3

⇔ = + = −
Đ t: ặ
2
1 ; 1y x y= + ≥
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
(9) 4 1 2 2 1
2 4 1 2 1 0
2 4 2 2 1 0
2 1 2 1 0
x y y x
y x y x
y xy y y x
y x y
⇔ − = + −
⇔ − − + − =
⇔ − + − − + =
⇔ − + − =
Đs:
4
0 ;
3
2. Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ
a) Các b cướ


Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 6 2 7 2 3 6 3 2 7 5 12 33x x x x x x x x x x
 
 
+ − + + − + ≥ − + + − + = − +
 
 
 
Do đó:
( ) ( )
2 2
2
3 3 6 2 2 7
5 4 0
x x x x
x x
− + = − +
⇔ − + =
Đs: 1; 4
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( )
2 2 2
3 3.5 2 2 4 5x x x x x x
− + = − + − +
Gi i:ả

2
4 5x x− +
Đs:
3
2
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x
− + + − + + − + = +
(3)
Gi i:ả
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
(3) 3 2 3 4 2 1 3 2x x x⇔ − + + − + + − + = +
(*)
Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
4
3 2 3 4 2 1 2 4 1 3 2x x x− + + − + + − + ≥ + + = +
Nên (*) x y ra khi và ch khi ả ỉ
( )
( )
2
2
3 0
2 0
x

(4) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
Mà
( )
2
4 4
1 1 3
2
3 2x
+ ≤ + =
− +

( )
2
3 9 3x − + ≥
Do đó ta có:
( )
2
3 0 3x x− = ⇔ =
Đs:x = 3
5. Gi i ph ng trình:ả ươ
6
4
2 2
1 1 3 2
19 5 95 3

Nên
2 2
1 0 ; 1 0 ; 3 2 0x x x x− = − = − + =
Đs: 1
3. Ch ng minh nghi m duy nh tứ ệ ấ
a) Các b cướ
m t s ph ng trình ta có th th tr c ti p đ th y nghi m c a chúng, r iỞ ộ ố ươ ể ử ự ế ể ấ ệ ủ ồ
tìm cách ch ng minh r ng ngoài nghi m này ra không còn nghi m nào khác n a.ứ ằ ệ ệ ữ
8
b) Thí dụ
1. Gi i ph ng trình:ả ươ
2 2
3
2 3 9
x x
+
+ =
(1)
Gi i:ả
 x = 0 là m t nghi m (1)ộ ệ
 N u x ≠ 0 ta có ế
2 2
3 0 3 0
2 3 2 3 9
x x
+ +
+ 〉 + 〉
Do đó x ≠ 0 không th là nghi m c a (1)ể ệ ủ Đs: 0
2. Gi i ph ng trình:ả ươ
( )

x
   
   
+ 〉 + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
Đs: 2
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
1 1 1
2 3 5 2 3 5
x x x x x x− − − −
+ + = + +
(3)
Gi i:ả
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 2 1
(3) 2 2 1 3 3 1 5 5 1 0
x x x x x x
− − − − − −
⇔ − + − + − =
*
1
2
x =
là nghi m c a (3)ệ ủ
* Xét
1

Gi i:ả
 x = 3 và x = 4 là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
 Xét
3 ; 4 ; 3 4x x x〈 〉 〈 〈
Đs: 3 ; 4
9
6. Gi i ph ng trình:ả ươ
4 2 4 2 4 2
8 17 8 18 8 16
19 5 94 45
x x x x x x− + − + − +
+ + =
(6)
Gi i:ả
*Ta có:
( )
( )
( )
2
4 2 2
2
4 2 2
2
4 2 2
8 17 4 1 0
8 18 4 2 0
8 16 4 0
x x x
x x x
x x x

−

⇔
1
1
.
3
u v
a b
u v
− =


− −

=


⇔
( )
( )
1
1
.
3
u v
a b
u v

+ − =

a b− =
thì
0
∆ =
:
suy ra
3 1
2.3 2
u v= − = =
10
do đó
3
3
1
2
1
2
x a
x b

+ =




+ = −



⇒

a b
u
+ − −
=

⇒

( )
3 3 4 4 1
6
a b
v
− − − −
=
⇒
( )
3
3 3 4 4 1
6
a b
x b
 
− − − −
 ÷
= −
 ÷
 

( )
3 3 4 4 1

3 3
3 1 3 1 9 1 1x x x
+ + − + − =
(6)
Gi i:ả
Đ t: ặ
3
3 1u x= +
và
3
3 1v x= −
(6) tr thành: ở
2 2
3 3
. 1
2
u v u v
u v

+ + =


− =


2 2u v u v
⇒ − = ⇒ = +
Do đó:
( ) ( )
2


Đs: 0
3. Gi i ph ng trình:ả ươ
( ) ( )
1 1 1 1 2x x x+ − − + =
Gi i:ả
Đi u ki n: ề ệ
1 1x− ≤ ≤
Đ t: ặ
1 x u+ =

( )
0 2u≤ ≤
11
Suy ra:
2
1x u= −
Ph ng trình tr thành: ươ ở
( )
(
)
( )
2 2
1 2 1 2 1u u u− − + = −
( )
(
)
( )
(
)

)
( )
2
2 1 2 1u u− + = +
2
2 2 1u u⇔ − = +
( )
2
2
2 2 1
2 1 0 ( ng v 0)
u u
uđúì u

− = +

⇔

+ ≥ ≥


2
5 4 1 0 ( 0)u u a b c⇔ + − = − + =
1
1u = −
;
2
1
5
u =

Bài 2: Gi s xả ử
1
,x
2
,x
3
là nghi m c a PT:ệ ủ
CM:
Bài 3:Gi i PT:ả
Bài 4:CM: là s vô tố ỉ
Bài 5:CM: là s vô tố ỉ
B ài 6:C ó bao nhi êu PT d ng:ạ
c ó 3 nghi m a;b;c?ệ
12
B ài 7: T ìm m sao cho PT c ó nghi m duyệ
nh tấ
B ài 8:Gi i c ác PT sau:ả
a)
b)
c)
B ài 9:Gi i PT:ả

B ài 10:Gi i PTả
B ài 11:Gi i PT:ả
B ài 12:Gi i PT:ả
B ài 13: Gi i PT:ả
Bài 14: Gi i PT:ả
Bài 15: Gi i PT:ả
Bài 16: Gi i PT:ả
Bài 17: Gi i các PT sau:ả

B ài 34:
B ài 35:
B ài 36:
Bài 37:
Gi i ph ng trình:ả ươ
38.
2 8
3
2
8
x x= +
39.
3
1 2 5x x+ + + =
40.
4 4 2 4 2
8 8 4 11 11 6 19 2x x x x x x x x+ + + + + + + + + =
41.
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
42.
3 33 2 3 2
2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + +
43.
2
1 2 1
2
x
x x− − = −
44.

50.
2005 2004 2
2004 4009 2005
x y
x y y x z
+ + + =
+ + +
51.
( )
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
x y
x y x y
y x
 
+ + + = + −
 ÷
 
52.
( ) ( ) ( )
4 4 4 2 2 2
16 1 1 1 32
n n n n n n
x y z x y z+ + + =
( n là tham s nguyên d ng)ố ươ
H ng d n gi iướ ẫ ả
Bài 1:

Không
th k t lu n.ể ế ậ
+HD: Gi s ả ử là s h u t ;Đ t :ố ữ ỉ ặ
Bi n đ i ế ổ
⇒
là s vô tố ỉ
Bài 6: Dành cho b n đ cạ ọ
Bài 7:
Gi i: 2 v c a PT là hàm s ch n c a x ả ế ủ ố ẵ ủ
Do PT có nghi m duy nh tệ ấ
⇒
x=0
⇒
m=0
V i m = 0(*) ớ
⇔
ĐK:
⇒
⇒
V ph i ≤ v tráiế ả ế
⇒
PT(*) có nghi m ệ
⇔
Bài 8:
17
+HD:
a) Đ t ặ
(*)
⇔
⇒

Đ t ặ
Ta có h :ệ
*L u ý:Chúng ta nên linh ho t trong vi c c ng tr các n s phư ạ ệ ộ ừ ẩ ố ụ
Bài 16:
18
G i ý: Dùng BĐT Côsiợ
Bài 17:
+HD:
a)
b) C1:(2)
⇔
⇔
C2:(2)
⇔
⇔
c)
d)
Bài 18:
+HD:
a)(1)
⇔

⇔
⇔
b)(2)
c)(3)
d)(4)
f)(6)
g)
Bài 19:

Bài 30:
+HD:Nhân l ng liên hi pượ ệ
Bài 31:
+HD:
B ài 32:
Áp d ng B ĐT C ô-si:ụ
B ài 33:
+HD: Áp d ng BĐT ụ
20
⇒
PT có nghi m ệ
⇔
⇔
Bài 34:
+HD: Đ t:ặ
Đ tặ
Bài 35:
+HD:Ta có :
Bài 36:
+HD:Ta c ó:
Bài 37:
+HD:Ta có :
Làm t ng t ươ ự
Tr c m i bài toán c n ph i đ t đi u ki nướ ọ ầ ả ặ ề ệ
38)
39)
40) 41)

x x
> ⇔ + + + >
− ≤ < ⇔ + + + <
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
4 2 2
2 2
4 2 2
8 2 1 3 3 1 4
8 3 4
x x x x x x
x x x x
+ + + + + + + + +
≥ + + + + +
(
)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
. 2 1. 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1x x x x x x x x x
 
+ + − ≤ + + + − = + + + −
 

1. 1 2 1 1
2 2 2
x x
x x
x x x
+ − −
+ − − ≤ + = − ≤
44)
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
: +tCMR x y z t x z y+ + + ≥ + +
D u b ng x y ra khi và chấ ằ ả ỉ
khi x.t = y.z
( )
( )
( )
( )
: 4
20 2
5
11 2
Thay x x
y
x z
t
− =
=
+ =

20 11 2006 20 11 2006 10127
x y z+ + +
⇒ + + ≥ + + =
50)
Áp d ng: ụ
( )
2
1 4
ab
a b
≥
+
51)
10 10
2 2
2 2
1 1 4
x y
x y
y x
+ + + ≥
( )
10 10
2
16 16 2 2
2 2
2 4 1 10
x y
x y x y
y x

( )
( ) ( )
3
3 2
1
2 3 1
f t t t
f x x f x
= + +
− = +