VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Vũ Minh Thư
MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà
Hà Nội - 2012

Mục lục
Mở đầu 4
1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 6
1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . 6
1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian metric 10
1.2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . 17
1.3.1. Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ của
không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . 18
2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke 21
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke . . . . . . . . . . . 27
2
2.3. Điều kiện đủ để tồn tại cực tiểu yếu và cực tiểu thực sự
dương của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 38

Chương 2. Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị sử dụng
nón pháp tuyến và đối đạo hàm Clarke. Đây là nội dung chính
của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng
của nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa trị trong không gian
Banach có sử dụng nón pháp tuyến, đối đạo hàm Clarke và một số
điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có cực tiểu yếu, cực tiểu thực sự dương.
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Trương Xuân Đức Hà. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Cô.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, các
thầy cô và Trung tâm đào tạo sau đại học của Viện đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp khoa Khoa
học cơ bản - Cao đẳng công nghệ Hà Nội, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ
tôi rất nhiều trong quá trình học tập của mình.
Hà Nội, tháng 8 năm 2011
Tác giả
5
Chương 1
Nguyên lý biến phân Ekeland cổ
điển
Trong chương này, chúng ta cùng xem xét nguyên lý biến phân Ekeland
cổ điển được giới thiệu trong bài báo [4], nguyên lý Ekeland trong không
gian hữu hạn chiều theo [10] và một số ứng dụng của nguyên lý theo [2].
1.1. Một vài tính chất của hàm nửa liên tục dưới
Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại về lớp hàm nửa liên tục dưới và một
số tính chất của nó. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R∪{+∞}
Kí hiệu :
domf = {x ∈ X|f(x) < +∞},
epif = {(x, a) ∈ X × R|f(x) ≤ a}.

− 1 nếu x = 1
0 nếu x = 1
Ta thấy f liên tục trên R \ {1} và gián đoạn tại x = 1. Nhưng f nửa
liên tục dưới tại x = 1 vì lim inf
x→1
f(x) = 5 ≥ f(1). Vậy f nửa liên tục dưới
trên R.
Sau đây là một số tính chất của hàm nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian topo và hàm f : X → R ∪{+∞}.
Các khẳng định sau là tương đương
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
(ii) epif là tập đóng trong X ×R.
(iii) ∀a ∈ R thì tập mức L
a
f là tập đóng trong X.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử f là nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy
dãy {(x
n
, a
n
)} ⊂ epif sao cho lim
n→∞
(x
n
, a
n
) = (x
0
, a
0

n
)} ⊂ epif nên
f(x
n
) ≤ a
n
, n ∈ N. Do đó lim
n→∞
inf f(x
n
) ≤ lim
n→∞
a
n
. Suy ra
f(x
0
) ≤ lim
n→∞
inf f(x
n
) ≤ lim
n→∞
a
n
= a
0
.
Điều này chứng tỏ (x
0

x
n
= x
0
nên lim
n→∞
(x
n
, a) = (x
0
, a).
Mặt khác, epif đóng trong X ×R nên (x
0
, a) ∈ epif vì vậy x
0
∈ L
a
f
hay L
a
f là tập đóng ∀a ∈ R.
(iii) ⇒ (i). Giả sử L
a
f đóng trong X, ∀a ∈ R. Ta phải chứng minh f là
hàm nửa liên tục dưới trên X. Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục
dưới tại x
0
∈ X khi đó tồn tại dãy x
n
⊂ X sao cho lim

0
∈ L
do đó f(x
0
) ≤ f(x
0
) − ε (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại hai định lý trong giải tích về sự tồn
tại điểm cực tiểu của hàm nửa liên tục dưới.
Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R∪{+∞}
đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
Sau đây, ta cùng xem lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu
của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X.
8
Mệnh đề 1.1.2. [10] Cho hàm f : X → R ∪{+ ∞} là hàm nửa liên tục
dưới trên tập compact X trong không gian topo. Khi đó f đạt cực tiểu trên
X.
Chứng minh. Đặt a = inf{f(x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy x
n
⊂ X sao
cho lim
n→∞
f(x
n
) = a. Do X là tập compact, không mất tính tổng quát ta
có thể coi x
n
là dãy hội tụ đến x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f(x) = a. Thật
vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nên lim
n→∞

x
0
∈ X sao cho f(x
0
) = 0 thì ta suy ra x
0
= (0, 1) ∈ X (mâu thuẫn với
cách xác định X). Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X.
Khi giả thiết compact của X không còn thì hàm f có thể không
đạt cực trị. Dưới đây là một điều kiện để hàm nửa liên tục dưới đạt cực
trị trên tập đóng.
Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là bức trên tập X khác rỗng nếu
f(x) → +∞ khi x ∈ X, x → +∞.
9
Mệnh đề 1.1.3. [10] Một hàm f : X → R∪{+∞} nửa liên tục dưới trên
một tập đóng X khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều và bức trên X
thì f phải có cực tiểu trên X.
Chứng minh. Lấy a ∈ X. Do f là nửa liên tục dưới nên từ Mệnh đề 1.1.1
ta suy ra tập C = {x ∈ X|f(x) ≤ f(a)} là tập đóng .
Giả sử rằng C là tập không bị chặn vậy tồn tại {x
k
} ⊂ C sao cho
f(x
k
) ≤ f(a),


x
k


10
đây ta xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển trên không gian metric
đủ (X, d).
Định lý 1.2.1. [4] [Nguyên lý biến phân Ekeland ] Cho (X, d) là không
gian metric đủ và hàm f : X → R ∪ { + ∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị
chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa mãn
f(x
ε
) < inf
X
f + ε.
Khi đó với λ > 0 bất kỳ thì tồn tại x ∈ X sao cho:
(i) d(x, x
ε
) ≤ λ.
(ii) f(x) +
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ f(x
ε
).
(iii) f(x) +
ε
λ
d(x, x) > f(x), ∀x ∈ X\{x}.
Để chứng minh Định lý trên, trước hết ta định nghĩa một quan hệ thứ tự

Ta chứng minh quan hệ

≤

có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ : dễ thấy từ định nghĩa quan hệ

≤

.
Tính phản đối xứng : giả sử rằng (x
1
, y
1
) ≤ (x
2
, y
2
) và (x
2
, y
2
) ≤
(x
1
, y
1
). Ta cần chứng minh (x
1
, y

) ≤ (x
1
, y
1
) ⇔ d(x
2
, x
1
) ≤
y
2
− y
1
α
.
Suy ra 2d(x
1
, x
2
) ≤ 0. Vì vậy x
1
= x
2
. Do đó (x
1
, y
1
) = (x
2
, y

α
và d(x
2
, x
3
) ≤
y
2
− y
3
α
.
Ta suy ra
d(x
1
, x
2
) + d(x
2
, x
3
) ≤
y
1
− y
3
α
.
Mặt khác
d(x

3
).
Bổ đề sau sẽ được dùng để chứng minh Định lý 1.2.1.
Bổ đề 1.2.1. [4] Cho S là tập đóng trong X ×R thỏa mãn tồn tại m ∈ R
sao cho nếu (x, a) ∈ S thì a ≥ m. Khi đó, với mỗi phần tử (x
1
, a
1
) ∈ S
luôn có phần tử (x, a) ∈ S sao cho (x
1
, a
1
) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử
cực đại trong S theo nghĩa
(x, a)  (x, a), ∀(x, a) ∈ S và (x, a) = (x, a).
Chứng minh. Ta xây dựng dãy (x
n
, a
n
) ⊂ S bằng quy nạp như sau, bắt
đầu với (x
1
, a
1
) ∈ S cho trước. Giả sử rằng (x
n
, a
n
) đã biết. Ký hiệu

− m
n
2
. (1.1)
Do quan hệ

≤

có tính bắc cầu nên S
n+1
⊂ S
n
suy ra m
n
≤ m
n+1
.
Như vậy, S
n
là dãy các tập đóng giảm dần trong S, m
n
là dãy giảm dần
12
trong R và bị chặn dưới, vậy (1.1) có thể viết thành
a
n
− m
n
2
≥ a

) < (x, a) nên ta có
d(x
n+1
, x) ≤
a
n+1
− a
α
≤
a
1
− m
2
n
α
(α > 0).
Vậy đường kính của S
n
tiến dần về 0. Suy ra dãy S
n
là dãy các tập
đóng lồng nhau thắt dần và có đường kính tiến dần về 0 trong X × R,
theo Định lý Cantor tồn tại (x, a) ∈ S thoả mãn
{(
x, a)} =
∩
n∈N
S
n
. (1.2)

ε
, f(x
ε
)), luôn tìm được
(x, a) sao cho (x
ε
, f(x
ε
)) ≤ (x, a) và (x, a) là phần tử cực đại trong S.
Từ định nghĩa của epif ta luôn có (x, f(x)) ∈ S, ∀x ∈ X. Mặt khác
f(x) ≤ a nên
−f(x) + a +
ε
λ
d(x, x) ≥ 0.
13
mà (x, a) là phần tử lớn nhất trong S nên ta có f(x) = a. Vậy (x, f(x))
là phần tử lớn nhất trong S.
Ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy, theo Bổ đề 1.2.1 ta có
(x
ε
, f(x
ε
)) ≤ (x, f(x)) tức là
f(x) +
ε
λ
d(x, x
ε
) ≤ f(x

ε
) ≤ λ.
Ta suy ra (i) đúng.
Ta chứng minh (iii). Theo phần trên (x, f(x)) là phần tử lớn nhất
trong S nên ∀(x, f(x)) ∈ S thì (x, f(x))  (x, f(x)), ∀x = x. Do đó
f(x) +
ε
λ
d(x, x) > f(x), ∀x = x.
Nhận xét 1.2.3. Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
f(x) +
ε
λ
d(x, x). Nếu λ nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của x so với
điểm x
ε
xấp xỉ ban đầu, nhưng khi đó hàm nhiễu f(x) +
ε
λ
d(x, x) lại có
sự sai khác lớn so với f(x). Ngược lại, nếu λ lớn thì ta không biết nhiều
về vị trí điểm x, nhưng hàm f(x) +
ε
λ
d(x, x) có thể sai khác rất ít so với
hàm f(x) ban đầu.
Hằng số λ trong Định lý trên được chọn rất linh hoạt. Nếu chọn
λ =
√
ε ta có kết quả sau.

Ekeland cho một không gian metric đủ tổng quát với hàm f là nửa liên
tục dưới và bị chặn dưới. Trong không gian hữu hạn chiều, ta có một cách
chứng minh ngắn gọn Định lý trên sử dụng điều kiện bức được trình bày
trong [10] của GS.Hoàng Tụy.
Định lý 1.2.3. [10] Cho f : R
n
→ R ∪{+ ∞} là hàm nửa liên tục dưới,
bị chặn dưới, λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử ε > 0 và x
ε
∈ X thỏa mãn
f(x
ε
) < inf
R
n
f + ε.
Khi đó tồn tại x ∈ R
n
sao cho:
(i) x
ε
− x < λ.
(ii) f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p

p
. Do f nửa liên tục dưới
và bị chặn dưới nên g cũng là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Mặt khác,
ta thấy rằng g thỏa mãn điều kiện bức tức là lim
x→+∞
g(x) = +∞.
Lấy a ∈ R
n
xét tập L
g(a)
g = {x ∈ R
n
|g(x) ≤ g(a)}, do g là nửa liên tục
dưới theo Mệnh đề 1.1.1 thì L
g(a)
g là đóng trong R
n
.
Ta chứng minh tập L
g(a)
g là bị chặn trong R
n
. Thật vậy giả sử
L
g(a)
g không bị chặn trong R
n
, lúc đó tồn tại dãy {x
n
} ⊂ L

n
hay L
g(a)
g là compact. Khi đó
g là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact L
g(a)
g. Từ đó theo Mệnh đề
1.1.2 tồn tại điểm cực tiểu x của g trên L
g(a)
g.
Ta sẽ chứng minh x là điểm cực tiểu của g trên R
n
. Ta có với x /∈ L
g(a)
g
thì g(x) > g(a) ≥ g(x) nghĩa là x là điểm cực tiểu của g trên R
n
.
Bây giờ ta chứng minh x thỏa mãn các kết luận của định lý. Thật vậy,
do x là điểm cực tiểu của g trên R
n
nên
f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p

inf
R
n
f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
≤ f(x) +
ε
λ
p
x − x
ε

p
≤ f(x
ε
) ≤ inf
R
n
f(x) + ε.
Nghĩa là x − x
ε
 < λ, ta chứng minh được (i).
16
1.3. Một số ứng dụng của nguyên lý biến phân Ekeland

m
, x
n
), ∀m, n ∈ N.
Ta suy ra {d(x
n
, x)} là dãy Cauchy trong R
+
(là không gian metric đủ)
nên dãy này hội tụ trong R
+
. Xét hàm f(x) = lim
n→∞
d(x
n
, x). Do hàm
17
khoảng cách là lipschitz với x nên ta có f(x) là hàm liên tục. Hơn nữa dãy
x
n
là dãy Cauchy nên f(x
n
) → 0 khi n → ∞. Ta suy ra inf
X
f = 0.
Với ε ∈ (0, 1), ta tìm được x ∈ X sao cho f(x) ≤ inf
X
f + ε và
f(x) + εd(x, x) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
Cho x = x

∗
sao cho ∀x ∈ X
lim
t→0
f(x
0
+ tu) − f(x
0
)
t
= f

(x
0
)(u), ∀u ∈ X.
Hàm f được gọi là khả vi Gateaux trên X nếu f khả vi Gateaux tại mọi
điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.3.3. [1] Cho X là không gian Banach và X
∗
là không gian
đối ngẫu của X. Hàm f : X → R ∪ { + ∞} được gọi là khả vi Frechet
18
tại x
0
∈ X(f(x
0
) < +∞) nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f

(x
0

dưới, bị chặn dưới f : X → R ∪ { + ∞} là khả vi Gateaux trên X. Giả
sử với ε > 0 ta có inf
X
f > f(x
ε
) − ε. Khi đó với bất kỳ λ > 0 tồn tại
x
∗
∈ B(x
ε
, λ) sao cho đạo hàm Gateaux của f tại x
∗
thỏa mãn:
f

(x
∗
) ≤
ε
λ
.
Điểm x
∗
thỏa mãn kết luận của định lý được gọi là điểm xấp xỉ tới hạn.
Chứng minh. Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm
được x
∗
∈ B(x
ε
, λ) thỏa mãn

Vì f khả vi Gateaux trên X nên ta cho t → 0
−
trong (1.4) ta có
f

(x
∗
)(u) = lim
t→0
−
f(x
∗
+ tu) − f(x
∗
)
t
≤
ε
λ
u. (1.5)
19
Tiếp theo ta cho t → 0
+
trong (1.4) ta có
f

(x
∗
)(u) = lim
t→0

.
Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực
tiểu có thể làm bé tùy ý theo ε. Người ta đã chứng minh rằng nếu ánh xạ
đơn trị thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.3.5 và thỏa mãn thêm điều
kiện Palais - Smale luôn có cực trị. Chúng tôi sẽ trình bày mở rộng của
kết quả này cho ánh xạ đa trị trong chương sau của luận văn.
20
Chương 2
Nguyên lý biến phân Ekeland cho
ánh xạ đa trị sử dụng nón pháp
tuyến và đối đạo hàm Clarke
Trong chương này, chúng tôi trình bày hai dạng của nguyên lý biến
phân Ekeland cho ánh xạ đa trị có sử dụng nón pháp tuyến và đối đạo
hàm Clarke và từ đó chứng minh điều kiện đủ để ánh xạ này có cực tiểu
yếu và cực tiểu thực sự dương khi nó thỏa mãn điều kiện Palais - Smale.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, tính chất, định lý có liên
quan về nón pháp tuyến Clarke, đối đạo hàm Clarke và một vài kết quả
của tối ưu vectơ. Những kiến thức trên được giới thiệu và chứng minh khá
đầy đủ trong các bài báo [3], [7], [8], [9] của các tác giả F.Clarke, D.T.Luc,
B.S.Mordukhovich, R.T.Rockafellar nên chúng tôi coi đây là các kết quả
đã biết và không chứng minh.
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 2.1.4. [11] Cho X, Y là 2 tập hợp bất kỳ. Cho F : X ⇒ Y
là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y . Ta nói F là
ánh xạ đa trị từ X vào Y và kí hiệu F : X ⇒ Y .
21
Trên đây là định nghĩa tổng quát của ánh xạ đa trị, tuy nhiên trong
khuôn khổ chương này chúng tôi coi X, Y là các không gian Banach với
X
∗

1
 y
2
nếu y
2
− y
1
∈ K.
Dễ thấy rằng quan hệ  thỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng
và bắc cầu.
Quan hệ thứ tự này phù hợp với cấu trúc vectơ trong Y tức là ∀x, y ∈ Y
ta có
(i) x  y suy ra x + z  y + z, ∀z ∈ Y.
22
(ii) x  y suy ra αx  αy, ∀α ≥ 0.
Ví dụ 2.1.3. a) Trong C
[a,b]
: không gian các hàm số liên tục trên [a, b] thì
tập
K
1
=

f ∈ C
[a,b]
|f(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]

,
là nón lồi, đóng, nhọn.
Xét nón K

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về nón tiếp tuyến Clarke,
nón pháp tuyến Clarke và từ đó xây dựng khái niệm dưới vi phân, đối đạo
hàm Clarke.
Định nghĩa 2.1.7. Cho X là không gian Banach và tập Ω khác rỗng với
Ω ⊂ X thì nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu T(x, Ω) được
xác định bởi
T (x, Ω) = {u ∈ X|∀{t
k
} ⊂ R
+
\{0}, t
k
→ 0, ∀{x
k
} ⊂ Ω, x
k
→ x
∃u
k
→ u, x
k
+ t
k
u
k
∈ Ω, ∀k ∈ N}.
Nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω kí hiệu là N(x, Ω) được xác định
bởi
N(x, Ω) = {u
∗

|g(x) − g(x
0
) ≥ x
∗
, x − x
0
, ∀x ∈ X}.
(ii) ∂(sg)(x) = s∂g(x), ∀s ∈ R.
(iii) g xác định tại x và g(x

) ≥ g(x), ∀x

thuộc một lân cận của x thì
0 ∈ ∂g(x).
(iv) (Định lý Rockafellar) Cho g
1
, g
2
: X → R ∪ { + ∞}, giả sử rằng g
1
hữu hạn tại x , g
2
lipschitz tại x thì ta có
∂(g
1
+ g
2
)(x) ⊆ ∂g
1
(x) + ∂g