BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NGUYỄN THỊ HỒNG
CÁC LỚP BERNSTEIN VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC
HÀ NỘI, NĂM 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
PHẠM THỊ THU
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO
Chuyên ngành: Giải tích hàm
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS Lê Anh Dũng
HÀ NỘI, NĂM 2013
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy
cô trong khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung và các
thầy cô ở bộ môn Giải Tích nói riêng đã tạo điều kiện cho tôi học tập
và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê
Anh Dũng, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn PGS. TSKH Đỗ Hồng Tân và TS.
Nguyễn Thị Thanh Hà đã đọc khóa luận và có những ý kiến quý báu giúp
tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi rất mong các thầy cô và các bạn học
viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản khoá luận này được hoàn thiện và
phát triển hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2013
Phạm Thị Thu
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

lý biến phân Ekeland. Nguyên lý này đã đạt được nhiều kết quả đối với
các loại ánh xạ: ánh xạ co, ánh xạ co đa trị, ánh xạ Lipschitz, , cũng như
trong các không gian khác nhau: không gian lồi địa phương, không gian
mêtric, không gian gauge, Bởi vai trò quan trọng của nguyên lý này, tôi
chọn đề tài cho luận văn của mình là: Nguyên lý biến phân Ekeland đối
với ánh xạ dạng co.
Nội dung luận văn gồm ba chương và được viết dựa trên kết quả trong
các bài báo [3], [4], [7].
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này giới thiệu các định lý điểm bất động liên quan đến
ánh xạ co: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi và định lý Nadler.
Tiếp đó là các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn và các cấu trúc
hình học của không gian Banach, và các định lý điểm bất động của ánh
xạ không giãn đơn trị, đa trị và ánh xạ Lipschitz đều.
Chương II: Nguyên lý biến phân Ekeland đối với ánh xạ dạng co trong
không gian gauge.
Chương này đề cập tới không gian gauge, có thể xem như không gian
mêtric "Frechet" và cũng là trường hợp tổng quát hơn của không gian
mêtric. Các kết quả chính của chương đề cập đến nguyên lý biến phân
Ekeland và các dạng hình học của nó như định lý cánh hoa, định lý giọt
4
MỤC LỤC
nước trong không gian gauge. Ngoài ra, ta đạt được một số hệ quả là các
định lý về điểm bất động cho ánh xạ dạng co đa trị.
Chương III: Nguyên lý biến phân Ekeland với ánh xạ Lipschitz.
Chương này ta đề cập đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu đối
với ánh xạ Lipschitz trong không gian mêtric đầy đủ.
Tóm lại, nội dung chính của luận văn là chương II và chương III. Các
kết quả chính đạt được là các kết quả "tương tự" của nguyên lý biến phân
Ekeland đối với ánh xạ dang co trong các lớp không gian "mêtric" đủ.

x
◦
→ x
∗
khi n → ∞.
Định nghĩa dưới đây là trường hợp riêng của định nghĩa 1.1.1
Định nghĩa 1.1.3. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ đơn trị T từ
X vào X được gọi là co nếu tồn tại một số k ∈ (0, 1) sao cho
d (T x, T y)  kd (x, y) .
Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Ta ký hiệu
CB (X) là họ mọi tập con đóng, bị chặn, không rỗng trong X. Khi đó,
6
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A, B ∈ CB (X) được định nghĩa
như sau
D (A, B) = max

sup
x∈A
inf
y∈B
d(x, y), sup
y∈B
inf
x∈A
d(x, y)

.
Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ đa trị T từ tập hợp X vào tập hợp Y là một
phép gán cho mỗi x ∈ X một tập hợp con T x của Y .

Hàm f được gọi là liên tục dưới nếu f liên tục tại mọi x
◦
∈ X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho X là một không gian tô pô. Hàm f : X →
[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên tại x
◦
∈ X nếu với mọi ε > 0,
7
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
tồn tại lân cận U
x
◦
sao cho với mọi x ∈ U
x
◦
ta có
f (x) − f (x
◦
) < ε.
Hàm f được gọi là liên tục trên nếu f liên tục tại mọi x
◦
∈ X.
Nhận xét 1.2.1. Cho X là một không gian tô pô.
Hàm f : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới nếu nó thỏa mãn một
trong hai điều kiện sau tương đương sau đây:
(i) Tập {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X với mọi α ∈ R.
(ii) Lim
x→x
◦
inf f (x) ≥ f (x

∗
∈ M sao cho
(i) φ (x
∗
) ≤ φ (x
◦
);
8
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
(ii) d (x
◦
, x
∗
) ≤ δ;
(iii) φ (x
∗
) < φ (x) + cd (x, x
∗
), với mọi x = x
∗
.
Định lý dưới đây là một dạng tương đương của định lý Caristi và
xem như một cầu nối giữa lý thuyết điểm bất động và lý thuyết tối ưu
hóa.
Định lí 1.2.5. (Ekeland, 1974) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy
đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại x
ε
∈ X sao cho với mọi y ∈ X và khác x
ε

T x.
Tiếp theo, ta đề cập đến một số dạng hình học của nguyên lý biến
phân Ekeland như: định lý giọt nước, định lý cánh hoa.
Định nghĩa 1.2.6. Cho X là không gian Banach, A là tập lồi trong X
và x ∈ X. Ta ký hiệu
K (x, A) = Co (A, {x}) = {(1 − θ) x + θy : θ ∈ [0, 1] , y ∈ A}
và gọi là giọt nước liên kết giữa A với x.
Định lí 1.2.7. ([7]) (Định lý giọt nước, 1985) Cho E là một không gian
Banach, A là một tập con đóng của E và B là tập con lồi, đóng, bị chặn của
E với d (A, B) > 0. Khi đó, với mỗi x
◦
∈ A thì tồn tại x
∗
∈ A

K (x
◦
, B)
sao cho A

K (x
∗
, B) = {x
∗
}.
Định nghĩa 1.2.8. Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y ∈ X. Ký
hiệu
P
δ
(x, y) = {u ∈ X : d (u, y) + δd (u, x) ≤ d (x, y)}

ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất động trong C.
Định lí 1.3.3. ([4, 9]) (Browder-Gohde, 1965) Cho C là tập hợp lồi, đóng,
bị chặn trong không gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ không
giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
1.4 Ánh xạ Lipschitz và một số kết quả khởi đầu của ánh xạ
Lipschitz đều.
Định nghĩa 1.4.1. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Một ánh xạ
T : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại một số k không âm
sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d (T x, T y) ≤ kd (x, y) (1.1)
số k nhỏ nhất thỏa (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh xạ T .
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một không gian mêtric. Ánh xạ T : X → X
được gọi là ánh xạ Lipschitz đều (hay ánh xạ k − Lipschitz đều) nếu tồn
11
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
tại một số k không âm sao cho với mọi x, y ∈ X, mọi n ∈ N
∗
ta có
d (T
n
x, T
n
y)  kd (x, y) .
Sau đây, chúng tôi nhắc lại một số kết quả khởi đầu về sự tồn tại
điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều.
Định lí 1.4.3. ([8]) (Goebel-Kirk, 1973) Cho C là tập hợp lồi, đóng, bị
chặn trong không gian Banach X với ε
◦
(X) < 1 và cho T : C → C là
một ánh xạ k-Lipschitz đều với k < γ

một dãy tăng các hàm khoảng cách {d
n
: n ∈ N} , nghĩa là
d
1
(x, y) ≤ d
2
(x, y) (2.1)
với mọi x, y ∈ X và X là không gian đầy đủ với tô pô trên X xác định bởi
họ khoảng cách {d
n
} .
Nhận xét: Không gian mêtric đầy đủ là không gian gauge.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là không gian gauge và các tập A, B ⊂ X. Với
x ∈ X, ta định nghĩa
d
n
(x, B) = inf
y∈B
d
n
(x, y) , d
n
(A, B) = inf
x∈A
d
n
(x, B) ,
ρ
n

n
) là một không gian gauge. Ánh xạ đơn trị
T từ X vào X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương
{k
n
} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d
n
(T x, T y)  k
n
d
n
(x, y) .
Định nghĩa 2.1.4. Cho (X, d
n
) là một không gian gauge. Ánh xạ đa trị
T từ X vào CB (X) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một dãy số dương
{k
n
} ⊂ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có D
n
(T x, T y)  k
n
d
n
(x, y) .
2.2 Nguyên lý biến phân Ekeland và định lý Caristi trong
không gian gauge
Trước hết chúng tôi nhắc lại định lý Bishop-Phelps trong không gian
mêtric.

: X → R là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Khi đó với mỗi x
◦
∈ X
thì tồn tại x
∗
∈ X sao cho
(i) φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) với mọi n ∈ N;
14
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
(ii) Với mọi x = x
∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ

n
∈ S (x
n−1
)
sao cho φ
n
(x
n
) ≤
c
n
n
+ inf φ
n
(S (x
n−1
)) . Rõ ràng
S (x
◦
) ⊃ S (x
1
) ⊃
Với x ∈ S (x
n
) ta có
φ
n
(x) + c
n
d

, ∀x ∈ S (x
n
) .
Vì vậy, với k < n < p,
d
k
(x
p
, x
n
) ≤ d
n
(x
p
, x
n
) ≤
1
n
.
Điều này suy ra {x
n
} là dãy Cauchy và giả sử x
∗
= lim
n→∞
x
n
. Do S (x
n

mọi n ∈ N. Khi đó với mọi k ∈ N,
φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
k
) ≤ φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) + c
n
d
n
(x
∗
, x
k
)
≤ φ
n
(x
∗

) + d
n
(x
n
, x
∗
) ≤
2
n
, ∀n ≥ k.
Cho n → ∞ ta được d
k
(x, x
∗
) = 0. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với
x = x
∗
. Định lý được chứng minh.
Dựa vào định lý Bishop-Phelps trong không gian gauge, ta đạt được
nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian gauge.
Định lí 2.2.3. Cho X là không gian gauge. Với mỗi n ∈ N, cho φ
n
:
X → (−∞, +∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Với
mỗi x
◦
∈ X và mỗi dãy các số dương {c
n
} và {δ
n

n
với mọi n ∈ N;
(iii) Với mọi x = x
∗
thì tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
∗
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) .
Chứng minh.
Từ giả thiết φ
n
(x
◦
) ≤ inf φ
n
(X) + c
n
δ
n
ta suy ra φ

n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
)
với mọi n ∈ N và (iii) của định lý thỏa mãn với mọi x ∈ Y .
Do x
∗
∈ Y nên (i) của định lý thỏa mãn.
Mặt khác với mọi n ∈ N ta có.
φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
) ≤ φ

n
.
Suy ra (ii) của định lý thỏa mãn.
Bây giờ, ta chứng minh (iii) của định lý thỏa mãn với x ∈ X.
Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y , khi đó tồn tại n ∈ N sao cho φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x).
Ta có
φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x) ≤ φ
n
(x) + c
n
d
n
(x
∗

n
(f (x)) , ∀x ∈ X.
Khi đó f có điểm bất động.
17
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE
Chứng minh. Lấy x
◦
∈ X, theo định lý Bishop-Phelps tồn tại x
∗
∈ X sao
cho
φ
n
(x
∗
) + d
n
(x
∗
, x
◦
)  φ
n
(x
◦
)
với mọi n ∈ N. Chọn c
n
= 1, với x = x

n
(x
∗
) < φ
n
(f (x
∗
)) + d
n
(x
∗
, f (x
∗
))
φ
n
(x
∗
) − φ
n
(f (x
∗
)) ≤ d
n
(x
∗
, f (x
∗
)) .
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f (x

số dương {c
n
} và {δ
n
} thỏa φ
n
(x
◦
) ≤ inf φ
n
(Y ) +c
n
δ
n
, thì tồn tại x
∗
∈ Y
sao cho
(1) φ
n
(x
∗
) ≤ φ
n
(x
◦
) với mọi n ∈ N;
18
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG
KHÔNG GIAN GAUGE

∗
. Bây giờ, ta sẽ chứng minh nó đúng với mọi x ∈ X, x = x
∗
.
Lấy x ∈ X\Y hay x /∈ Y , khi đó tồn tại n ∈ N sao cho
φ
n
(x
◦
) < φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
◦
) .
Vì x
∗
∈ Y nên với n ∈ N ta có
φ
n
(x
∗
) + c
n
d
n
(x

n
(x, x
◦
) − c
n
d
n
(x
∗
, x
◦
)
= φ
n
(x) + c
n
d
n
(x, x
∗
) .
Vậy có điều cần chứng minh.
Cuối cùng ta chứng minh định lý Caristi suy ra định lý Bishop-Phelps.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử trái lại tồn tại dãy hàm {φ
n
} nửa liên tục dưới và bị chặn dưới
trên X và một ánh xạ f trong X thỏa mãn
d
n

, ) ∈ [0, 1]
N
.
(i) Với γ = (γ
1
, γ
2
, ) ∈ [0, 1]
N
, ta định nghĩa cánh hoa tổng quát là
P
α,γ
(x, B) = {u ∈ X : ∀n ∈ N ta có α
n
d
n
(u, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(u, B)+γ
n
d
n
(x, u)
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α

n
) ρ
n
(u, B)
≤ (α
n
− θ
n
µ
n
) d
n
(x, B) + (1 − α
n
+ θ
n
ν
n
) ρ
n
(x, B)} .
Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến hai kết quả, các kết quả này cho thấy
sự tồn tại x
∗
là phần tử duy nhất của A∩ P
α,γ
(x
∗
, B) và A ∩ D
α,σ

d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Khi đó ánh xạ φ
n
là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Lấy x
◦
∈ A. Theo
định lý Bishop-Phelps, thì tồn tại x
∗
∈ A sao cho
(1)φ
n
(x
∗
) + γ
n
d
n
(x
◦
, x
∗
) ≤ φ
n
(x

α,γ
(x
∗
, B) mà x = x
∗
. Khi đó, x ∈ A và x ∈
P
α,γ
(x
∗
, B). Tức là x ∈ A và
α
n
d
n
(x, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x, B)+γ
n
d
n
(x, x
∗
) ≤ α
n
d
n
(x

) ρ
n
(x, B) + γ
n
d
n
(x, x
∗
)
≤ α
n
d
n
(x
∗
, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x
∗
, B) = φ
n
(x
∗
) .
Tóm lại, ta được φ
n
(x
∗

thì tồn tại x
∗
∈ A sao cho
A ∩ D
α,σ
(x
∗
, B) = {x
∗
} .
Chứng minh. Với n ∈ N, nếu ν
n
< 0, chọn γ
n
∈

0, min

1, −
ν
n
ω
n

. Nếu
µ
n
> 0, d
n
(A, B) > 0, ρ

n
ω
n
ρ
n
(x, B) và
α
n
d
n
(u, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(u, B) ≤ (α
n
− θ
n
µ
n
) d
n
(x, B)+(1 − α
n
+ θ
n
ν
n
) ρ
n

+ γ
n
ω
n
) ρ
n
(x, B) − µ
n
d
n
(x, B))
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Vậy u ∈ P
α,γ
(x, B) .
Kết hợp định lý cánh hoa với D
α,σ
(A, B) ⊂ P
α,γ
(A, B), ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 2.3.4. Định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không gian gauge

d
n
(x, B)+(1 − α
n
) ρ
n
(x, B) .
Ta chứng minh u ∈ D
α,σ
(x, B).
Chọn θ
n
∈ [0, 1] sao cho
d
n
(x, u) =
θ
n
γ
n
(α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B))
≤

n
d
n
(u, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(u, B)
≤ α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) − γ
n
d
n
(x, u)
= α
n
d
n
(x, B) + (1 − α
n
) ρ
n
(x, B) − θ

α,σ
(x, B) với σ =

1
γ
, α, α − 1

.
Kết hợp giả thiết với P
α,γ
(x, B) ⊂ D
α,σ
(x, B), định lý được chứng minh.
Sự tương đương giữa hai định lý trên với các định lý Caristi, Bishop-
Phelps và nguyên lý biến phân Ekeland được thể hiện ở bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.5. Hai định lý 2.3.2, 2.3.3 và các định lý Caristi, Bishop-Phelps,
nguyên lý biến phân Ekeland là tương đương.
Chứng minh. Ta có các định lý Caristi, Bishop-Phelps và nguyên lý biến
phân là tương đương, định lý cánh hoa và định lý giọt nước trong không
23