LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn
Phó giáo sư, Tiến sĩ Lê Viết Hòa, cảm ơn thầy đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ, động viên và cung cấp cho em vốn kiến thức, tài liệu
quý báu để em có thể hoàn thành được luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý
– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho em những kiến
thức khoa học căn bản cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
trong suốt quá trình em thực hiện luận văn.

Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả luận văn
Lê Thị Hương
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO 71MỞ ĐẦU
Theo quan điểm đối xứng có thể chia các hệ vật lý thành hai loại: Loại
thứ nhất bao gồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phục
hồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt từ trong vật lý các môi trường đậm đặc,
mô hình chuẩn hoặc mô hình thống nhất lớn trong vật lý hạt. Bên cạnh đó
cũng có hiện tượng phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) tức là đối xứng ban đầu
bị phá vỡ khi nhiệt độ tăng. Loại thứ hai bao hồm các hệ mà đối xứng bị phá
vỡ tường minh sẽ không được phục hồi (SNR) khi nhiệt độ tăng như các hệ
tinh thể lỏng, các muối Rochelle, một số hợp chất mangan …. Trong khuân
khổ lý thuyết trường lượng tử, vấn đề không phục hồi đối xứng đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây vì nó liên quan
đến những vấn đề quan trọng trong vũ trụ học như về sự tồn tại của các vách
ngăn (domain wall), các hạt đơn cực (monopole)…Chính vì vai trò quan trọng
của bài toán về SNR/ISB ở nhiệt độ cao chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu sự

δ δ
φ φ
 
 
∇ ∇
φ φ − φ φ −
 ÷
 ÷
 
 
−
1
ở đây
1 2
μ μ,
tương ứng là thế hóa học của các trường
φ
, ψ; m
1
, m
2
là khối
lượng thuần của các nguyên tử được biểu diễn bằng các trường
φ
, ψ tương
ứng; λ
1,
λ
2
, λ là các hằng số liên kết.

∫
Mọi đặc trưng động lực của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dời
chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà nó được
biểu diễn bằng tích phân đường:

[ ]
[ ] [ ]
i(S .j) iw j
out in
J 0 0 D e e ,Z (1.2)
φ +φ
≡ = φ =
∫
ta dùng kí hiệu:

4
.J (x)J(x)d x. (1.3)φ = φ
∫
[ ]
Z J
chính là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm
hàm của nó cho các hàm Green:

[ ]
[ ]
n
1 n 1,2 n
n
n 2 1
J

là trị trung bình của trường
lượng tử
( )
xφ
:

[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
i S + .J
i S + .J
i D (x)e
δW J
= (x) = (x)
δJ
i D e
φ φ
φ φ
φφ
≡ φ φ
φ
∫
∫

(1.6)
thì tác dụng hiệu dụng
[ ]Γ φ
sẽ nhận được bằng phép biến đổi Legendre loại I

xφ
J 0
[ ]
0. (1.10)
=
δΓ φ
=
δφ
Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:
4
[ ]
[ ]
[ ]
( )
1
i S + .J+ .K.
iW J,K
2
Z J,K = D e = e , 1.11
 
 ÷
φ

φ φ φ

φ
∫
ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính Composite của trường.
Tương tự như trên, bằng cách đưa vào “trường cổ điển”
( )

.J = x J x d x,
.K. x K x,y y d xd y,
Tr G,K G x,y K x,y d xd y. 1.14
φ φ
φ φ = φ φ
=
∫
∫
∫
Các phương trình (1.6) và (1.12) có thể xem như phép biến đổi từ (J,K) thành
các biến tự nhiên
( )
,Gφ
của phép biến đổi Legendre loại II (1.13).
Các đạo phiếm hàm của
[ ,G]Γ φ
theo biến số tự nhiên
φ
sẽ cho các phương trình:

( )
δΓ[ ,G]
= J K. , 1.15
δ
φ
− − φ
φ

( )
δΓ[ ,G] 1

toán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T-
tích của các toán tử trường.
I.1.2. Tác dụng hiệu dụng của trường Fermion.
Việc xây dựng biểu thức cho tác dụng hiệu dụng đối với trường Fermion
cũng hoàn toàn tương tự như đối với trường vô hướng. Khi đó ta xét một hệ
với sự có mặt của các trường Fermion
ψ
và
ψ
được mô tả bởi mật độ
Lagangien
Lψ,ψ
é ù
ê ú
ë û
và tác dụng:

( )
4
I = Lψ,ψ d x. 1.19
 
 
∫
Biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của các
nguồn
η
và
η
cặp với các trường
ψ

tương ứng là giá trị
trung bình của trường
ψ(x)
và
ψ(x)
:
6
δW η,η
<ψ> = σ(x),
δη
δW η,η
<ψ> = σ(x), (1.22)
δη
é ù
ê ú
ë û
º
é ù
ê ú
ë û
º
ta thu được tác dụng hiệu dụng
[ ]
Γ σ(x),(x)
bằng phép biến đổi Legendre loại I:
[ ] [ ]
Γ σ(x),σ(x) = W η,η σ(x).η η.σ(x). (1.23)- -
Hệ thức liên hợp Legendre thu được từ đạo phiếm hàm của của
[ ]
(x), (x)Γ φ φ


δW η,η,ς
<ψψ> = σ(x)σ(x) + S(x,y).
δς
é ù
ê ú
ë û
º
(2.16)
Ta sẽ nhận được tác dụng CJT bằng phép biến đổi Legendre loại II:

[ ] [ ] [ ]
Γ σ,σ,S = W η,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς , (1.27)- - - -
ở đây đã dùng các kí hiệu:

4
ση = σ(x)η(x)d x,
ò

4
ση = σ(x)η(x)d x,
ò
7

[ ]
4 4
4 4
σ.ς.σ = σ(x)ς(x,y)σ(y)d xd y,
Tr Sς = S(x,y)ς(x,y)d xd y. (1.28)
ò

loop) và hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng. Điều này rất cần thiết cho
các tính toán tác dụng hiệu dụng trong những trường hợp cụ thể về sau.
I.2.1. Khai triển bất khả quy một hạt.
Xét trường vô hướng.
Từ phiếm hàm:
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
δΓ
i S .
δ
iΓ i W J .J
e = e = D e , 1.32
  
φ
 
 
φ − φ− φ
 
φ
 
φ − φ
 
   
φ
∫
với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.9).
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển

 
 
φ
 
 
φ φ φ − φ
 
φ
 
 
φ
∫
Từ đây ta hãy tìm phiếm hàm
1
[ ]Γ φ
thỏa mãn phương trình (1.34) và
trở nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng
tương tác và hàm truyền, tức là:

%
( )
% % %
( )
1
-1
0 int
1
δΓ
1
i .iG . . + S , .


[ ]
% %
( )
%
( )
-1
0 int
δS[ ] 1
S = S[ + ] = S[ ]+ + .iG . . +S [ , ], 1.37
δ 2
φ
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
φ
% %
ở đây
( )
2
-1
0
δ S
iG . =
δ ( )δ ( )x y
φ
φ φ

và
[ ]
°
%

φ φ
 
   
 
φ
∫
So sánh (1.38) và (1.32) ta nhận được:

[ ] [ ] [ ]
( )
1
S , 1.39Γ φ = Γ φ + φ
9
ở đây
[ ]
1
Γ φ
là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1 hạt tương
ứng với tác dụng tương tác
int
S ,φ φ
 
 
và hàm truyền
( )
1
0
G .
−
φ

Iψ,ψ = ψ.iS .ψ+I ψ,ψ . (1.41)-
Khi đó ứng với
σ = σ = 0
thì phương trình (1.40) trở thành:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
-1
0 intσ = σ = 0
δΓ σ,σ δΓ σ,σ
iψ.iS .ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ)
iΓ 0,0
δσ δσ
e = DψDψe . (1.42)
ì ü
ï ï
ï ï
- -
í ý
ï ï
ï ï
î þ
ò
Ta lại tìm một phiếm hàm
[ ]
1
σ,σG
thỏa mãn phương trình tương tự như (1.42)
và trở nên trùng khớp với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng
tương tác và hàm truyền tức là thỏa mãn:


[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2
int
Iψ,ψ = I ψ + σ,ψ + σ
δI σ,σ δI σ,σ δ I σ,σ
= Iσ,σ + ψ + ψ+ ψ ψ +I ψ,ψ,σ,σ . (1.45)
δσ δσ δσδσ
%
%
% % %
% % %
Suy ra:
10

[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2
int
δI σ,σ δI σ,σ δ I σ,σ
Iσ,σ = I ψ,ψ ψ ψ ψ ψ I ψ,ψ,σ,σ ,
δσ δσ δσδσ
- - - -
% % %
% %

Iψ,ψ,σ,σ
và hàm truyền
1
0
S (σ,σ)
-
.
I.2.2. Khai triển bất khả quy hai hạt.
Xét trường vô hướng.
Xuất phát từ phiếm hàm sinh tổng quát :
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
i S + .J + .K.
iW J,K
2
1 1 1
1 1
i S + .J + .K. .J .K. Tr G.K
i{W J,K .J .K. Tr G.K }
2 2 2
2 2
Z J,K = D e = e
e = D e .
 
φ φ φ φ
 ÷

i S . .iTr G
δ δG
δG
e = e
= e D e
= e D e , (1.48)
− φ − φ φ −
φ
 
 
φ φ − φ φ φ − φ φ − φ
−
φ φφ
 
      
 
 
   
 
φ − φ − φ − φ − φ φ − φ
 ÷
 
 
φ
 
 
   
φ
φ
∫

 
φ φ φ − φ − φ φ
 
 
φ
 
   
φ
∫
Ta đưa vào hằng số

( )
( )
1
-1 -1
-
-1
2
0 0
0
1 1
.G . Tr lnG
ln DetG
2 2
D e = e = e 1.50
− φ φ −
 
 
φ
∫

i .iG .
2
D e
= e . . 1.51
D e

φ
 
φ
φ φ φ − φ − φ φ
 
φ
 
 
 
 
φ φ
φ
φ
∫
∫
Cũng giống như khai triển bất khả quy một hạt, ta cần tìm phiếm hàm
[ ]
2
δΓ ,Gφ
thỏa mãn phương trình giống (1.51) và trở nên đồng nhất với nó khi một số
thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức là:
{ }
%
% % % % % %

 
 
 
 
φ −
 
 
 
 
 
φ φ
    
 
   
 
φ φ φ φ − φ − φ φ
 
 
φ
 
 
φ φ
×
φ
×
φ
∫
∫
với
%

i .iG . + S . .
2δ δG
δΓ 0,G
iTr G
δG
i
.iG .
2
e =
D e
= e . . (1.53)
D e
φ=
−
 
 
 
φ
 
 
 
φ φ φ − φ − φ φ
 
φ
 
 
 
 
 
φ φ

-1
0
S
iG .
(x) (y)
δ
φ =
δφ δφ
. Nhân cả hai vế của (1.53) cho
[ ]
iS
e
φ
ta có:
[ ] [ ]
{ }
%
[ ]
%
[ ]
%
[ ]
%
-1
2 0
2 2k
-1
2
0
i

-1 -1
-
-1
2
1 1 1
.G . Tr lnG Tr lnG
ln DetG
2 2 2
D e = e = e = e . (1.55)
− φ φ −  
 
φ
∫
Nhân hai vế của (1.54) với (1.55) ta có :
[ ]
{ }
[ ]
%
[ ]
%
[ ]
%
( )
2
-1
2 0
2k 2
-1 -1
0
δΓ ,G

 ÷
 
φ φ
 
  
φ
∫
%
So sánh (1.56) và (1.48) ta thu được khai triển bất khả quy hai hạt của các tác
dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite:
( )
-1 -1
0 0 2
i
Γ ,G = S Tr lnGG GG +1 + Γ ,G , 1.57
2
φ φ − − φ
 
     
     
 
13
ở đây
2
Γ ,Gφ
 
 
bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai
hạt. Phương trình (1.52) là một phương trình vi-tích phân của phiếm hàm sinh
2

ò
ò
Ta có:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
i{Wη,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς }
iΓ σ,σ,ς
-iTr Sς i{I ψ,ψ + (ψ σ)(η + σ.ς)+(η + σ.ς)(ψ σ) + (ψ σ).ς.(ψ σ)}
δΓ σ,σ,ς
iTr S
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς
i{Iψ,ψ (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ)}
δσ δσ δS
e =e
=e DψDψe
=e
DψDψe ,
(1.58)
é ù
- - - -
ê ú
ë û
- - - -
é ù
ê ú

DψDψe .
é ù
ê ú
ê ú
ë û
- - - - - - - -
´
´
ò
Khi đó ứng với
σ=σ=0
ta có :
14
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
-1
k k
0 int
σ=σ=0
iΓ 0,0,ς
δΓ 0,0,ς
iTr S
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ 0,0,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ) ψ ψ},
δσ δσ δS
e =
= e

[ ]
[ ] [ ] [ ]
-1
k k
0 int
σ=σ=0
-1
0
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ 0,0,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ) ψ ψ}
δΓ 0,0,ς
δσ δσ δS
iTr S
δS
i(ψ.iS ψ)
DψDψe
= e .
DψDψe
(1.59)
- - -
é ù
ê ú
ê ú
ë û
-
ò
ò
Cũng như khai triển bất khả quy một hạt, ta đi tìm hàm
[ ]
2

ê ú
ë û ë û
é ù
- - -
ë û
-
= ´
´
ò
ò
% % % %
% % % %
%
%
%
%
%
%
với :

ψ= ψ σ; ψ= ψ σ- -
%
%
và khai triển tác dụng cổ điển quanh
σ,σ
ta được:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2

δσ δσ δσ δσ δS
e = e
DψDψe .
(1.61)
é ù
ê ú
é ù
ê ú ê ú
ë û ë û
- - - -
´
´
ò
% %
% %
%
%
Ta lại có:

( )
-1 -1
-1
ln DetS Tr lnS
ψ.S .ψ
DψDψe = e = e
 
 
∫
%
%

- - - -
ò
% %
% %
%
%
So sánh (1.62) với (1.58) sẽ thu được khai triển bất khả quy hai hạt cho tác
dụng hiệu dụng CJT.

[ ] [ ] [ ]
-1 -1
0 0 2
Γ σ,σ,S = I σ,σ + iTr lnSS SS (σ,σ) + 1 + Γ σ,σ,S , (1.63)
é ù
-
ê ú
ë û
với:

[ ] [ ] [ ] [ ]
k 2k
Γ σ,σ,0 = Γ σ,σ = I σ,σ + Γ σ,σ . (1.64)
Phương trình (1.60) cho thấy
2
Γ σ,σ,S
 
 
là tổng của tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy 2 hạt ứng với tương tác
°

Γ[ ]φ
theo chuỗi lũy thừa của
φ
. Biểu thức khai triển được viết:
4 4 n
1 2 1 n 1 2 n
n=0
1
Γ[ ] = d x d x (x ) (x )Γ (x ,x , ,x ),
n!
∞
φ φ φ
∑
∫
(1.66)
trong đó :

n
n
1 2
1 n
Γ[ ]
Γ (x , ,x )=
(x ) (x ).
δ φ
δφ δφ
là các hàm Green một hạt bất khả quy. Biến đổi Fourier của
n
G
và

V ( )φ
với định nghĩa như sau:

4
c eff c
Γ[ ] = V ( ) d x.
φ − φ
∫
Với trường vô hướng
φ
. Trong trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển
(x)φ
là một hằng số:

c
(x) .φ = φ
Khi đó biểu diễn tác dụng hiệu dụng
c
Γ[ ,G]φ
dưới dạng:

4
c eff c
Γ[ ,G] = V ( ) d x,
φ − φ
∫
17
eff c
V ( ,G)φ
được gọi là thế hiệu dụng và từ khai triển (1.57) ta nhận được thế

eff c
c
V ,G
0,
δ φ
=
δφ
(1.69)

( )
eff c
V ,G
0.
G
δ φ
=
δ
(1.70)
Các lập luận trên đây cho trường vô hướng tự động mở rộng cho trường
fermion.
I.4. Một số ví dụ tính toán thế hiệu dụng.
I.4.1. Tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết
4
φ
.
Ta khảo sát một mô hình đơn giản nhất của trường vô hướng thực được
mô tả bằng Lagrangien.

2 2 4
1 1

1 1
S( ) Ld x ( m )d x.
2 2 4!
µ
µ
λ
φ = = ∂ φ∂ φ − φ − φ
∫ ∫
Sử dụng công thức chuyển tích phân thể tích sang tích phân mặt và chú ý đến
điều kiện triệt tiêu của trường ở biên:
4 4
d x d x,
µ
µ
∂ φ∂ φ = − φ φ
∫ ∫
W
ta nhận được:
( )
( )
2 4 4 4
1
0 int
1
S m d x d x
2 4!
1
.iG . S , (1.74)
2
−

φ +φ + φ φ
= φ =
∫
Đưa vào trường cổ điển
φ
là giá trị trung bình của trường lượng tử
φ
bằng
biểu thức:

W
(1.77)
J
δ
= φ = φ
δ
và hàm truyền G(x,y) thỏa mãn:

W 1
G(x,y) , (1.78)
K 2
δ
 
= φφ +
 
δ
ta nhận được tác dụng hiệu dụng CJT bằng biến đổi Legendre loại II:
19

[ ] [ ]

sẽ có dạng :

-1 -1
0 2
i
,G S Tr lnGG GG ( )+1Γ ,G ,
2
       
Γ φ = φ − − φ + φ
       
ở đây
2
,G
 
Γ φ
 
là tổng của tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt
G
0
là hàm truyền Boson thỏa mãn (1.75).
Do bất biến tịnh tiến ta có
c
φ = Φ
và do đó:

4
c
,G ,G V d x.
   
Γ φ = Γ φ −

) và theo (1.75) thì

-1 2 2
0
iG =p m . (1.83)−
Ngoài ra từ (1.75) và (1.37) ta có:
20

1 2 2 2
0 c
iG ( ) p m ,
2
−
λ
φ = − − φ
hay

1 2 2
0 c
iG ( ) p m ( ),
−
φ = − φ
(1.84)
với
2 2 2
c c
m ( ) m ,
2
λ
φ = − φ

 
∫
∫
(1.86)
Các giản đồ cho thế hiệu dụng
2 c
V ( ,G)
φ
có dạng như hình vẽ. Như vậy có hai
kiểu đỉnh: Đỉnh của ba đường và đỉnh của bốn đường, trong đó các đường liền
nét biểu diễn hàm truyền G.

Hình 1.1: Các giản đồ bất khả quy hai hạt cho thế hiệu dụng ở gần đúng 2 loop trong lý
thuyết trường vô hướng
4
φ
. Các đường biểu diễn hàm truyền G có hai kiểu đỉnh: dạng
đỉnh của 3 đường tỷ lệ với
c
λφ
và dạng đỉnh của 4 đường tỷ lệ với
λ
.
Thay (1.82) vào phương trình (1.81) và (1.80) ta thu được:

2 3
0 c
c c
c
V ( )

2π
1 d pδ δ
= { TrlnG p iG p TrG p iG ( ,p)}
2δ δ
2π
λ d p
= TrG p ,
2
2π
δ φ
= − φ 
 
δφ φ
− φ
φ φ
φ
∫
∫
∫

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 4 4
2 c c
2 4 4
c c

( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 4 4
2
4 4 4
c
m d pλ d p d k
6 3 trG p tr G p G p k G k . (1.87)
λ 3
2π 2π 2π
φ =− − − − 
 
∫ ∫
Ta cũng có:
0 c
δV ( )
=0,
δG(p)
φ

( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
-1 -1
1 c
4
0 0 c
δV ( ) δ i d p

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 4 4
2 c c
2 4 4
4
4
2 2 4 4
c
4 4
δV ( ) δ λ d p d k
= { tr G p G p-k G k
δG(p) δG(p)
3! 2π 2π
3λ d k
+ tr G p G k }
4!
2π
λ d k 3λ d k
= tr G p-k G k + Tr G k .
12 4!
2π 2π
φ φ
 
 
 

I.4.2. Thế hiệu dụng đối với trường Fermion.
Ta hãy xét mô hình trường tương tác của 4 fermion là mô hình Nambu Jona
Lasinio (NJL) được mô tả bằng Lagrangien đối xứng Chiral:

2
2 2
5
(1.89)
G
ˆ
Lψi ψ [(ψψ) (ψiγ τ ψ) ],
2
+= ¶ +
r
ở đây
ψ
là trường quark với hai hương
( )
f
N =2
và ba màu
( )
c
N =3
, G là hằng
số tương tác có thứ nguyên [Khối lượng]
-2
,
$
μ μ