MỤC LỤC
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
I. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG.
1.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng
1.1.1 Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng
1.1.2 Tác dụng hiệu dụng của trường fecmion
1.2. Khai triển loop của tác dụng hiệu dụng
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt
Trường vô hướng
Trường Fecmion
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt
Đối với trường vô hướng
Đối với trường fecmion
1.3. Thế hiệu dụng
II. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN.
1.4 Cơ sở chính tắc lớn
1.5 Các phiếm hàm sinh
1.6 Các hàm Green nhiệt độ
Trường vô hướng
Trường fecmion 25
1.7 Hình thức luận thời gian ảo
1.8 Hình thức luận thời gian thực
CHƯƠNG II: MỘT SỐ TÍNH TOÁN TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
I. THẾ HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG
1
2.1 Thế hiệu dụng trong lý thuyết
4
φ
2.2 Thế hiệu dụng đối với trường fecmion

CJT Cornwall - Jakiw - Tomboulis.
QED Điện động học lượng tử ( Quantum Electron Dynamics).
QCD Sắc động học lượng tử ( Quantum Choromo Dynamics).
NJL Nambu - Jona - Lasinio.
SD Schwinger- Dyson.
1PI Bất khả quy một hạt ( One - particle Irreducible).
2PI Bất khả quy hai hạt ( Two- particle Irreducible).
BVA Gần đúng đỉnh thuần ( Bare vertex Approximation).
RPA Gần đúng pha ngẫu nhiên.
HF Hatree- Fock.
HFA Gần đúng Hatri-Foc ( Hatree- Fock Approximation).

4
MỞ ĐẦU
Ngày nay khái niệm chuyển pha đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của vật lý học, hoá học và thậm chí cả sinh học. Nói riêng trong
lĩnh vực vật lý, việc nghiên cứu chuyển pha đang là một trong những hướng
thời sự nhất cả về phương diện lý thuyết lẫn thực nghiệm, vì nó liên quan chặt
chẽ đến những vấn đề chủ yếu của lý thuyết trường lượng tử, vật lý hạt cơ
bản, vật lý trong các môi trường đậm đặc và vũ trụ học.
Để mô tả các quá trình của tự nhiên bằng lý thuyết trường lượng tử, thì
một phương pháp tỏ ra hữu hiệu cho việc giải các phương trình động lực
chính là khai triển nhiễu loạn. Phương pháp này đã rất thành công trong điện
động lực học lượng tử (QED), sắc động lực học lượng tử (QCD) ở năng lượng
cao và một số bài toán cụ thể khác. Nhưng nhiều hiện tượng vật lý quan trọng
lại không thể dễ dàng phát hiện bằng lý thuyết nhiễu loạn, chẳng hạn sự vi
phạm đối xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha, Do ở gần
điểm chuyển pha nhiều tính chất của các hệ vật lý có sự thay đổi một cách kỳ
dị mà ta không thể dễ dàng phát hiện được trong chuỗi nhiễu loạn. Điều đó
đòi hỏi phải có những phương pháp gần đúng mới. Phương pháp tác dụng

( qq
G
qq
G
qMiqL
vs
µ
γ
−+−∂=
,
trong đó M, q là khối lượng và toán tử trường Nucleon;
vs
GG ,
là hằng số
tương tác .
Trên cơ sở các kết quả đạt được, luận văn được viết gồm 3 chương sau:
Chương I: Trình bày phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không
và nhiệt độ hữu hạn.
Chương II: Dành cho việc vận dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để
tính toán một số ví dụ cụ thể.
Chương III: Nghiên cứu sự chuyển pha của chất hạt nhân theo mô hình bốn
nucleon trong phạm vi lý thuyết trường trung bình.
6
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét một cách tổng quan về tác
dụng hiệu dụng Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT) ở nhiệt độ không và nhiệt
độ hữu hạn. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tác dụng hiệu dụng CJT
ở nhiệt độ không cùng với khai triển chu tuyến (loop) của nó, tiếp đó là đề
cập tới tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn, hình thức luận thời gian

φφ
φ
, (1.2)
ở đây ta đã dùng ký hiệu

∫
= xdxJxJ
4
)()(.
φφ
. (1.3)

][JZ
chính là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm
hàm của nó cho:

[ ]
[ ]
0
12

JZ
1
=J
n
n
n
JJJi
JZ
δδδ

φ
:

[ ]
=≡
φ
δ
δ
J
JW

)(x
φ
, (1.6)
thì tác dụng hiệu dụng
][
φ
Γ
sẽ nhận được bằng phép biến đổi Legendre

[ ]
JJW . ][
φφ
=Γ
. (1.7)
Cũng như (1.3), ở đây

J.
φ
=

∫






++
=
φφφφ
φ

2
1
.)(
],[
KJSi
eDKJZ
, (1.10)
ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính chất Composite của trường.
Tương tự như trên, bằng cách đưa vào trường cổ điển
)(x
φ
theo (1.6) và
hàm truyền G bởi hệ thức:
8

[ ]
( )
[ ]

ở đây ta cũng dùng kí hiệu giống như (1.3):

∫
≡ xdxJxJ
4
)()(.
φφ
,

∫
≡ yxddyyxKxK
44
)(),()(
φφφφ
,

],[ KGTr

≡
∫G
( ) ( )
yxddyxKyx
44
,,
. (1.13)
Các phương trình (1.6) và (1.11) có thể xem như phép đổi biến từ (J, K) thành
các biến tự nhiên (
G,
φ
) của phép biến đổi Legendre loại II (1.12).

. (1.15)
Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài và do
đó được xác định bởi phương trình khe (Gap):

[ ]
0
,
==
Γ
KJ
G
φδ
φδ
= 0 (1.16)
và phương trình Schwinger-Dayson (SD):

[ ]
0
,
==
Γ
KJ
G
G
δ
φδ
= 0. (1.17)
Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite
thì thay cho tác dụng hiệu dụng
[ ]

ηη
Z

≡

inout
ΟΟ
=
∫
++ ).],[(
ψηηψψψ
ψψ
Ii
eDD
, (1.18)
ở đây I=
∫
£[
ψψ
,
]d
4
x
là tác dụng của trường fecmion.
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết xác định bởi phiếm hàm W[
η
,
η
]
liên hệ với

x
W
σψ
δη
ηηδ
=≡
, (1.20)
ta được tác dụng hiệu dụng
[ ]
)(),( xx
σσ
Γ
bằng phép biến đổi Legendre loại I

[ ] [ ]
)(.).(,)(),( xxWxx
σηησηησσ
−−=Γ
, (1.21)
ở đây
)(x
σ
, và
)(x
σ
là các biến tự nhiên của biến đổi Legendre loại I và các
đạo phiếm hàm của
[ ]
)(),( xx
σσ

Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:
Z[
η
,
η
,
ζ
] =
[ ] [ ]
( )
∫
+++Ι
=
ψζψψηηψψψζηη
ψψ
,,, iiW
eDDe
. (1.24)
Từ đó bằng cách đưa vào các trường cổ điển
)(x
σ
,
)(x
σ
theo (1.20) và hàm
truyền S thoả mãn:

[ ]
+≡= )()(
,,

 
Γ
 
= − −
, (1.27)

, ,
.
S
δ σ σ
η ζ σ
δσ
 
Γ
 
= − −
, (1.28)

, ,S
S
δ σ σ
ζ
δ
 
Γ
 
= −
. (1.29)
Trạng thái cơ bản của trường sẽ được mô tả bằng các phương trình Gap:


===
ξηη
δ
σσδ
S
S
.
1.2 Khai triển loop của tác dụng hiệu dụng.
Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt và hai hạt
của tác dụng hiệu dụng. Điều này rất cần thiết cho các tính toán tác dụng hiệu
dụng trong những trường hợp cụ thể về sau.
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt.
Trường vô hướng
Xét phiếm hàm

[ ]
[ ]
( )
( . )
i S
i
i W J J
e e D e
δ φ
φ φ φ
δφ
φ
φ
φ
 

2
1
SiG +
−
(1.31)
thì với
0=
φ
phương trình (1.30) sẽ có dạng:

[ ]
[ ]
1
0 int
0
1
. .
2
0
i iG S
i
e D e
φ
δ φ
φ φ φ φ
δφ
φ
−
=
 

e D e
δ φ
φ φ φ φ φ φ
δφ
φ
φ
−
 
 
Γ
 
 ÷
 
+ −
 
 ÷
 
Γ
   
=
∫
%
% % % %
%
%
. (1.33)
Tiến hành phép đổi biến:

φφφ
−=

     
+ = + + +
     
% % % % %
, (1.35)
trong đó
φδφδ
δ
φ
S
iG
2
1
0
)( =
−
thì (1.33) trở thành:

[ ]
1
1
.( )
{ }
S
i S
i S
e D e
δ φ δ φ
φ φ
δφ δφ

[ ]
φφ
,
int
S
và hàm truyền
)(
1
0
φ
−
G
.
Trường Fecmion
Xét phiếm hàm sinh

( )
, ,
, ( .( )}
, { , . .
i I
i i W
e e D D e
δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ σ ψ σ
σ σ η η σ η η σ
δσ
δσ
ψ φ
   

, (1.39)
thì với
0==
σσ
phương trình (1.38) trở thành
1
0 int
0
1
[ , ] [ , ]
. . [ , ] . .
[0,0]
i iS I
i
e D D e
σ σ
δ δ δ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ
ψ ψ
−
= =
 
 
Γ Γ
 
− + − +
 
 ÷
Γ

Γ
=
∫
. (1.40)
Ta lại tìm một phiếm hàm
[ ]
σφ
,
1
Γ
thoả mãn phương trình tương tự như (1.40)
và trở nên trùng với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng tương
tác và hàm truyền tức là thoả mãn:
13

[ ] [ ]
1 1
1
0 int
1
, ,
. . , , , . .
,
i iS I
i
e D D e
δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ σ σ ψ ψ
σ σ
δσ δσ

, (1.42)
và khai triển tác dụng cổ điển
],[
ψψ
I
quanh
,
σ σ
:

[ ]
[ ]
[ ] [ ]
1
0 int
, ,
, ,
, . . . ( , ). , , , ,
I I
I I
I iS I
ψ ψ ψ σ ψ σ
δ σ σ δ σ σ
σ σ ψ ψ ψ σ σ ψ ψ ψ σ σ
δσ δσ
−
 
= + + =
 
 

δ σ σ δ σ σ
δσδσ δσδσ
−
= − +
(1.44)
thì phương trình (1.41) trở thành

[ ] [ ]
{ }
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1
1
, , , ,
, . .
, ,
I I
i I
i I
e D D e
δ σ σ δ σ σ δ ς σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δσ δσ
σ σ σ σ
ψ ψ
 
   
Γ Γ
 
− + − +

σσψψ
,,,
int
I
và hàm truyền
),(
1
0
σσ
−
S
.
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt.
Đối với trường vô hướng
Xuất phát từ phiếm hàm sinh

{ }
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
, . . . , . . . .
,
2 2 2
2
i
i W J K J K Tr G K i S J K K
Tr GK
i G

 
     
 
− − − − −
 
 
 
   
∫
, (1.47)
14
với các ràng buộc (1.14) và (1.15); đồng thời bằng cách biểu diễn tác dụng cổ
điển
[ ]
φ
S
theo (1.31) thì với
0=
φ
phương trình (1.47) sẽ có dạng:

[ ]
[ ]
[ ]
1
0 int
0
0,
1
. . . . .

 
 
 ÷
 
Γ
   
=
∫
. (1.48)
Thêm một hằng số

( )
1
1 1
1
2
0 0
0
1 1
. . ln
ln
2 2
G Tr G
DetG
D e e e
φ φ
φ
−
− −
−

1
0 int
0
1
0
0,
1
. . . .
2
0,
. .
2
.
k
G
i iG S
G
G
iTr G
G
i
iG
D e
e
D e
ϕ
δ φ
δ
φ φ φ φ φ φ
δφ δ

φ
Γ
thoả mãn phương trình giống (1.50) và trở nên đồng nhất với nó khi
làm một số các thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức
là:

2 2
1
int
2
1
2 0
1
,
1
. . , . .
,
2
, ln
2
. .
2
.
K
G
i iG S
G
G
i
iTr G

Γ
 
 
 
 
 
 
 
Γ −
 
 
 
 
   
=
∫
∫
% % % % % %
% %
%
%
. (1.51)
Viết lại phương trình đồng thời sử dụng khai triển tác dụng cổ điển quanh giá
trị
φ
theo (1.35) ta sẽ có:

[ ]
{ }
1

 
   
 
 
   
   
 
     
Γ Γ Γ
   
     
 ÷
 ÷
 
− + − − +
   
 ÷
 ÷
 
   
 
   
   
=
=
∫
% % %
(1.52)
So sánh (1.52) và (1.47) ta thu được khai triển bất khả quy hai hạt của tác
dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite:


[ ]
[ ] [ ]
{ }
, , . . .
, ,
i W Tr S
i S
e e
η η ζ σ η ησ σ ζ σ ζ
σ σ
− − − −
Γ
=
=
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
∫
−−+−+++−+
′
−
σψζσψσψζσησζησψψψζ
ψψ
,IiSiTr
eDDe
=
[ ]
[ ]
( )
[ ] [ ]

Γ
σψ
δ
σσδ
σψσψ
δσ
σσδ
σδ
σσδ
σψψψ
δ
σσδ
ψψ
S
S
Ii
S
S
SiTr
eDDe
(1.54)
trong đó chú ý các ràng buộc (1.27), (1.28) và (1.29). Với tác dụng cổ điển
(1.39) thì khi
0
==
σσ
, phương trình (1.54) có dạng:

[ ]
[ ]

− −
= =
 
 
Γ Γ
Γ
 
 Γ
− + − − + −
 ÷
 
 
 ÷
Γ
 
 
   
=
∫
. (1.55)
Thêm một hằng số

( ) ( )
1 1
1
0 0
0
ln ln
. .
DetS Tr S

Γ +
 
 
= ×

[ ]
[ ] [ ]
[ ]
{ }
1
0 int
0
1
0
, ,
0,0,
. . , . .
.
S
iS I
S
i iS
D D e
D D e
ζ ζ
σ σ
δ σ σ δ σ σ
δ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δ

thoả mãn
16

[ ]
[ ]
{ }
=
−
+Γ
1
02
ln,, SiTrSi
e
σσ
[ ]
2
, ,S
iTr S
S
e
δ σ σ
δ
Γ 
 
 
×

[ ] [ ] [ ]
{ }
2 2 2

 ÷
 
 
 
−
×
∫
∫
% % % %
% % %
%
%
%
%
%
%
(1.58)
Sử dụng khai triển quanh
σ
và
σ
như (1.43) viết lại (1.58) ta sẽ nhận
được:

[ ] [ ]
[ ]
{ }
=
−
++Γ

I S I
i I iS iS
S
D D e
ζ
δ σ σ
δ σ σ δ σ σ δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ σ σ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δ δσ δσ
ψ ψ
− −
 
Γ 
Γ Γ 
 
+ − + − − + −
 ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
  
 
 
∫
% % % %
% % %
(1.59)
So sánh (1.59) với (1.54) ta có khai triển bất khả quy hai hạt:


,,
~
,
~
int
I
và hàm truyền S.
Từ khai triển (1.53) của
[ ]
G,
φ
Γ
, bằng cách lấy đạo phiếm hàm theo G và
chú ý đến (1.15) ta sẽ thu được phương trình SD cho hàm truyền:

[ ]
∑
−−=
−−
GiKGG ,)(
1
0
1
φφ
, (1.62)
với:

[ ]
[ ]
∑

.

(1.64)
Khi đó có thể biểu diễn tác dụng hiệu dụng
[ ]
G,
φ
Γ
dưới dạng

4
, ( , )
c eff c
G V G d x
φ φ
 
Γ = −
 
∫
. (1.65)
( , )
eff c
V G
φ
được gọi là thế hiệu dụng và từ khai triển (1.53) ta nhận được thế
hiệu dụng trong không gian xung lượng:

( , )
eff c
V G

Điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản sẽ là:

( , )
0
eff c
c
V G
φ
φ
∂
=
∂
, (1.67)

( , )
0
eff c
V G
G
φ
∂
=
∂
. (1.68)
Các lập luận trên đây cho trường vô hướng tự động mở rộng cho trường
fecmion.
II. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN.
Hình thức luận được sử dụng trong lý thuyết trường thông thường rất
thích hợp để mô tả các đại lượng quan sát được trong không-thời gian trống.
Tuy nhiên vào thời kỳ đầu của vũ trụ, khi mà nhiệt độ rất cao và môi trường

A
A
A
βαρ
−Φ−=
∑
. (1.69)
Trong đó
log [exp( )]
A A
A
Tr Q H
α β
Φ = − −
∑
là hàm Massieu,
,
AA
βµα
−=
và
Τ
=
1
β
là các thừa số Lagrange, T là nhiệt độ và
µ
là thế hoá.
Dựa vào (1.69) ta sẽ xác định được trung bình chính tắc lớn của một toán
tử F bất kỳ:

exe
−
→
= ),0(
φ
, (1.72)
ở đây
tx =
0
được kéo dài giải tích sang mặt phẳng phức.
Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trị trung bình chính tắc lớn của
T-tích của các toán tử trường, tức là:

))() ()(().,, ,(
2121
n
xxxTxxxG
n
c
φφφ
=
, (1.73)
trong đó T-tích (được biểu diễn bằng toán tử T
c
) có nghĩa là các toán tử
trường được sắp xếp có trật tự dọc theo đường C trong mặt phẳng t phức.
Ví dụ, T-tích của hai toán tử trường được định nghĩa là:

)()()()()()())()((
0000

∂
∂
=
z
t
c

Như thường lệ, ở đây cũng có thể áp dụng các quy tắc của hình thức luận
phiếm hàm với
)()(
)(
)(
300
→→
−−= yxyx
xj
yj
C
δδ
δ
δ
và phiếm hàm sinh
],[ KJZ
β
cho các
hàm Green toàn phần sẽ là:

4 4 4
[ , ] exp ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
2

Phiếm hàm sinh cho các hàm Green bất khả quy hai hạt (2PI)
[ ]
G,
φ
β
Γ
nhận
được bằng biến đổi Legendre loại II có dạng:

[ ]
G,
φ
β
Γ
=
],[ KJW
β
∫
−
c
xJxxd )()(
4
φ∫ ∫
−−
c c
yxKyxyGxddyyxKxyxdd ),(),(
2

),(
,
),()()(
2
1
yx
yxK
KJW
yxGyx
φφ
δ
δ
φφ
β
≡=+
. (1.79)
Ta cần chú ý ở đây là các trung bình đều theo nghĩa trung bình chính tắc lớn.
Từ (1.77) ta thu được hệ phương trình

[ ]
∫
−−=
Γ
C
yxKyydxJ
x
G
),()()(
)(
,

x
G
φδ
φδ
β
= 0, (1.82)

[ ]
0
)(
,
==
Γ
KJ
xG
G
δ
φδ
β
= 0. (1.83)
21
Hệ phương trình này cho các giá trị khác không của trường và hàm truyền, do
đó xác định sự vi phạm đối xứng.
Ta nhận xét là khi K=0 thì tác dụng hiệu dụng cho toán tử Composite
[ ]
G,
φ
β
Γ
sẽ trở về tác dụng hiệu dụng thông thường, tức là

G,
φ
β
Γ
có dạng:

[ ]
G,
φ
β
Γ

1 1
0 0 2
ln 1 ,
2
i
S Tr GG GG G
β
φ φ
− −
 
   
= − − + +Γ
   
 
(1.85)
Trong trường hợp bất biến tịnh tiến
c
φφ

và hệ phương trình xác định sự vi phạm đối xứng:

[ ]
,
0
eff c
c
V G
β
φ
φ
∂
=
∂
, (1.87)

[ ]
,
0
( )
eff c
V G
G x
β
φ
∂
=
∂
. (1.88)
Tương ứng với (1.85) ta có khai triển 2 loop của thế hiệu dụng

+
),(
2
GV
c
φ
β
(1.89)
1.6 Các hàm Green nhiệt độ.
22
Trong mục này dựa vào định nghĩa hàm Green nhiệt độ (1.73) ta sẽ xem
xét các hàm Green của trường vô hướng, trường fecmion là cơ sở để xây dựng
các quy tắc Feynmann cho lý thuyết trường nhiệt độ.
1.6.1 Trường vô hướng.
Nếu ta đòi hỏi hàm Green giải tích theo t thì không phải mọi đường lấy
tích phân đều được chấp nhận. Sử dụng (1.74) ta sẽ có hàm Green hai điểm
của trường vô hướng theo định nghĩa (1.74):

0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
c
c c
G x y x y G x y y x G x y
θ θ
+ −
− = − − + − −
(1.90)
trong đó

)()()( yxyxG

0000
)0()(
β
φ
φ
iyxiEyxiE
mn
eenmeyxG
. (1.92)
Để tổng hội tụ thì phải có
0)Im(
00
≤−≤− yx
β
và điều này đòi hỏi
0 0
( ) 0
c
x y
θ
− =
khi
0 0
Im( ) 0x y− >
. Một cách tương tự, sự hội tụ của
)(
00
yxG −
−
đòi hỏi

−
thoả mãn
23

),(),(
→
−
→
+
=− xtGxitG
β
. (1.93)
Đó là hệ thức Kubo- Martin- Schwinger [8].
Bây giờ ta tính hàm Green hai điểm (1.90) cho trường vô hướng
)(x
φ
mà
biểu diễn của nó qua các toán tử sinh và huỷ (tức là tích phân Furie) có dạng:

( )
( )
3
1
3
2
2
( ) ( ) ( )
2 2
ipx ipx
p

Lấy đạo hàm theo thời gian của (1.94) ta thu được hệ thức giao hoán

)(),(),,(
3
→→→→
−=






yxiytxt
δφφ
. (1.96)
Từ đó ta nhận thấy các toán tử sinh và huỷ thoả mãn các hệ thức giao hoán

[ ]
)()(),(
→→
+
−= kpkapa
δ
(1.97)
và xác định được Hamiltonian của trường:

3
3
( ) ( )
(2 )

B
n
là hàm phân bố Bose

)(
ω
B
n
1
1e
βω
=
−
. (1.100)
Để chứng minh (1.99) ta hãy xét một trạng thái được lấp đầy bởi các Boson ở
cùng năng lượng
ω
và ký hiệu trạng thái này là
n
. Các toán tử sinh và huỷ
24
được ký hiệu là a
+
và a. Khi đó tác dụng của chúng lên trạng thái
n
cho kết
quả như sau:

1 1
1 ;

0 0
1
( )
1
H H n
n n
Tr e n e n e
e
β β βω
βω
∞ ∞
− − −
−
= =
= = =
−
∑ ∑
,
và

2
0
( )
(1 )
H n
n
e
Tr e a a ne
e
βω

(2 )
c ip x y
c B
d p
G x y p e x y n p
ρ θ
π
− −
 
− = − +
 
∫
, (1.101)
ở đây ta đã định nghĩa

[ ]
)()()(2)(
2200
mpppp −−−=
δθθπρ
.
Giá trị cụ thể của hàm Green (1.101) phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến C và
do đó tương ứng với hai hình thức luận: thời gian ảo và thời gian thực.
1.6.2 Trường fecmion.
Đối với trường fecmion, hàm Green nhiệt độ theo định nghĩa (1.90), sẽ là

−+
−−−==−
αβαββααβ
θθψψ