LÒÌ CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan

, người đã tận tình
giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này.
Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi
những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời
gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã
luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận
văn này.
Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Ảnh

, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên ngành Vật lí lí
thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tửSU(3)’\

là kết quả nghiên cún và thu thập của
riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng vói các tác giả khác.
Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa
học.
Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Thị Vân Anh
MỤC LỤC
MỞ ĐÀU

2
chưa biến dạng. Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với
thực nghiệm hơn.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đại số lượng tửSU(3)”
2. Mục đích nghiên cún
Mục đích nghiên cún của đề tài: “ đại số lượng tử SU(3)” là đi nghiên cứu đại
số lượng tử SU(3) biến dạng một hoặc nhiều thông số.
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU(3)
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tủ’ SU(3)q và đại số lượng tử SU(3)pq
5. Phương pháp nghiên cún
Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán. Sử dụng các
phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tủ’.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1 : Hình thức luận dao động tử lượng tử Chương 2: Đại số lượng tử
SU(3)q Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq
3
NỘI DƯNG
CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ
• • •
Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tống quan về các dao động tử lượng tử,
dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q và
tính phổ năng lượng của các dao động tử.
1.1Dao động tử điều hòa
1.1.1 Dao động tử Boson
Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đon mode có dạng:
Trong đó:
a


Như vậy:
[/v,ß] = -a
^N,a+~ị = a+
Không gian Fock là không gian mà vector cơ sở của nó là những trạng thái
với số hạt xác định. Trong không gian Fock, trạng thái chân không Ịo) được định
nghĩa là trạng thái thỏa mãn điều kiện:
fl|0) = 0 (1.1.4)
Đưa vào không gian Fock với \n)

là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n
dao động tử ứng với trị riêng n:
n=0,l,2, (1.1.5)
Ta chứng minh:
= n\n)
Thật vậy:
Nịỉì) =a+a\rỳ = a+a-j=(a+^ Ịo)
= —L=a+a(a+) |0) = —h=a+ a,(a+) lo)
4n\

v ; 1 7 4n\

L v
}

-I' '
= —!=a+n(a+) |o) = —p=rịa+) lo)
4n\

v ; 1 '



+

như sau:
ô=jSữ++ữ)
p = i

^ộ_ụ,_

a

j

Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p
là:
[Q,p]=ỉ— (tf
+
+ữ)(tf
+
-aj
ỉh
6
=n(a
+
^ (1.1.6)
Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy ra :
[Q,p] = ih (1.1.8)
Toán tủ’ Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán
tử sinh, hủy dao động tử a


H\n) = En\n)
H\n)J-f(2N + \)\n)
= ^f(2n + ỉ)\n)
Suy ra:
„ hú)/ \
E,

t

=-—(2/1 + 1) n = 0,1,2,
(1.1.9
7
(1.1.1
Nhận xét:

Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao động
tử diều hòa một chiều
Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg:
fr_
4 4 (1.1.11)
Thật vậy, ta dễ dàng thấy
(Q) = {n\Q\n) = 0 p) =
(n\p\n) = 0
((Ạpf) = (ịp-{p)f)
(a+-a} nj
((Aổ)
2
)((AP)
2
) = ^(2n + l)

' a
+
a
+
nj + {ìi\aa\n^Ị + (n a
+
a lĩ^ + (n
aa
+
n^Ịj a
+
n +1^4-^/7|íĩ|/7-1^ + (n a
+
a
ĨĨ^Ị + (n aa
+
n) +
h
((n|2W + l|
n)) (2/1 + 1)
2
m
ú
= p
hmũ)
/ •
——
ịẬn a+a++ (n aa\nj - (n a+a\nj - (n aa+
hmco (
ịịn a+ \n +1^ + (n a\n -\^-ịn a^aịn^ — ịn

2
tim
a
+
a nj
+
(n ((ti|2W +
1|/i)) (2 n
(1.1.1
(1.1.1
[N,b] = Nb-bN
=
b

+

bb-
bb

+

b
=
-b{\-
2bb*)
1
— —b + 2bbb+
= —b
[_N,b+~\ = Nb*-b+N
= b*bb* -b'b'b

(1.1.1):
= 1
Toán tủ’ số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:
N\n) cì=n\n) (1.2.2)
và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[N,a] = -a,
r 1 (1.2.3)
[N,CI
+
J = a
, \ («+)" , V
\n) = -^Uo) (1.2.4)
Đưa vào không gian Fock với I /z) là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n
dao động tử ứng với trị riêng n:
Ở đây ta ký hiêu: \n] ——

^—(1.2.5)
' q-q
Ta có:
[0] = 1,
Dễ dàng chÚTLg minh được rằng:
a a\n)q=[n\\n)q, aa
+
\n) =
[n +1] ịn)
Với n = 0:
«♦fl|0)=0|0> = [0l|0> .
(1.2.
a+a\\) = a+a r


= í-|2) + tío>
1
w = (,-'+,)|2) = [2]j2);
Suy ra: a+a|2) = [2]j2)
Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n = 0, 1, 2.
Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n = k ,
tức là:
a+a\k}<l=[kll\k)íl
I
Với n =
1
a
+
Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n = к +1
nghĩa là: a

+

aịk + Ýf =ịk +
iị

I& + 1)
a+a|k + l) =—=LÜ=ra+ |k) = ,
’ ,FT vFĩ
a+
■í ^

Ik) +q ị =

=[к] Ik)

q-q
Với n =
1
aa
+
к
N
+ qa
+
aj\k)
N+1 -(N+ỉ)
= я_ -я
q-q~x
=iN+ll
Với n =
1
Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái |n) thì:
a+a = \ N ] ,
q

(1.2.7)
aa

+

= [iV + 1]
Đe khử N từ phương trình (1.2.1)
ta đưa vào các toán tử sinh, hủy
A


Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiếu Arik - Coon [9]:
(1.2.
(1.2.
Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A+, A, biểu diễn không gian Fock trở
thành:
A|0) = 0
Nịn)

= /71 /2^
2 n

2
trong đó: [n

] = —

2

là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson).
C Ị — \
Trong không gian Fock ta có:
A+A = [N]B,
AA*=[N + if
Xét các toán tử b, b+ liên hệ với a, a+theo hệ thức:
Qua vài biến đổi đon giản chúng ta sẽ thu được:
[b,b*] = 1,
[N,b] = -b [N,b+]=b,
N = b*b.
Đây chính là đại số dao động tử Boson thông thường. Như vậy, chúng ta có
thể kết luận rằng các toán tủ’ hủy, sinh của hệ Boson q - biến dạng và không biến

= »([N + ^-[N1).
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
p có dạng:
H = — P1 + -ma>1Q1 2
m 2
= —hcoịa+a + aa
+
)
=ịMK+[/v+,U
Phổ năng lượng của dao động tủ’ điều hòa biến dạng q được xác định như sau:
\nco([Nị+[N + \ị)\n)q = E„\n)q
=> E

= — h(o{\n\

+[/í + ll )
" 2 V 9 V (1.2.18)
n - 0,1,2,
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về phổ
năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
E, ,= ịlìco(2n + \) n =
0,1,2,
1
(1.2.1
1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode
Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc
mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản.
Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy a

+

-

a]

Do đó:
[/v.,ay] = a,+<2J.<2( ịỏị- +a'Ịa

j

)a

i
= a. a a■ - ổ a. - a+ajữ■
=~ỗỉPi
Khi ỉ = j thì [Nna.] = -an
Hay [N,a] = -a
Tương tự: [#,.,0}] = ^«} (1.2.23)
1
a
(1.2.2
Khi ỉ

= j

thì n N ị

, CL

^ = aj,
Hay |^iV,ứ+J = a+


,a.

theo hệ thức:
\ _ NJ2 „ *+ + Nj l 2
/I T /i/;\
Aị=q

' dị,A

= d j q ' . (1.2.26)
Biểu diễn a%a. thông qua A%AỊ ;
_ —NỊ/2 \ + _ A+ — N;/2 /1 r)
d ị = q ' A^a^A^q ệ (1.2.27)
Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N. với toán tủ' A

+

, A

.:
= qN'n[Nl,aị\
= -^At
2
\Ni,A]~] = [Ni,qN‘na]'] (1.2.28)
= r2[",^
2
= q^
= v ;
Thay (1.2.27) vào phương trình (1.2.19) ta có:

-IH+I]A;A=^.
Suy ra:
A
A;-[(^-I)^
J +
I]A;A=^.
và thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[w„A,]=^v|>(,A;]=<vt;.
7.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q
1.2.2. ỉ Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode
Dao động tử Fermion biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy
b+,b như sau:
bb+ + qb+b = q~N
è
2
=(ỉ>*)
2
= 0
và toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[ N , b ] = -b,
[N,b*~\=b*
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N như sau:
N Ì n ) = n \ n ) (1.2.32)
\/CỊ I / q
Các trạng thái riêng đã được chuẩn hóa của toán tủ’ N được xác định theo
công thức:
2
(1.2.29
(1.2.30
(1.2.31

[ b +) = 0
Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng
p có dạng:
H = — P1 + -mo)1Q1 2m 2
= —tiũ)ịa*a + aa*\
2 (1.2.36)
= L
h ứ )
( [ N f
+
[ N
+
l f )
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q được xác định như sau:
H \ n ) = E \ n )
I / a
1 1
I / a
2
(1.2.3
n

= 0,1,2,
Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tô điều hòa biến dạng qsẽ
trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:
£„= 1^(2« + 1) (1 238)
n = 0,1,2,
1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode
Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử
sinh, hủy f


„/,] = -/„hay [iV,/] = -/,
Tương tự: [*,./;] = «ự/* (1-2-43)
Khi i = j thì ỊX/,+] = /,+ , hay [w,/*] = /*,
(L2J7)
2
Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N với các toán tử sinh, hủy /+,/. lại trở
về dao động tử fermion đơn mode thông thường.
Toán tủ' số dao động tủ* điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:
N.ịn^ = n . ị ỉ ĩ f (1.2.44)
và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
<y,.
IX/;]=v/ c-2-45)
Có những dạng khác của hệ thức
(1.2.39) khi q là số thực. Để khử N
trong phương trình (1.2.39) ta dùng các toán tử sinh, hủy F

+

,F

được định nghĩa theo
công thức đưa vào toán tử F

+

,F

có liên hệ với /