Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh
Trường Đại Học Bách Khoa
BÙI VĂN ĐỒNG
PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
CHO BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG HỢP
LÝ CỰC ĐẠI – ÁP DỤNG TRÊN CÂY
SINH LOÀI NHỎ
Chuyên ngành: Khoa học Máy tính
LUẬN VĂN THẠC SĨ
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
Họ tên và chữ ký)
TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn TS. Đinh Đức Anh Vũ CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn
Cán bộ chấm nhận xét 1 :
Ngày 05 tháng 11 năm 2007
Bùi Văn Đồng
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 2
LỜI CẢM ƠN
Xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Minh Mẫn,
người Thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô đã dạy cho tôi trong thời gian qua. Tôi xin
cảm ơn các bạn đồng môn và đồng nghiệp đã quan tâm, chia sẻ trong suốt quá trình
học và làm luận văn.
Luận văn này như một món quà nhỏ đáp lại tình cảm của gia đình và bạn bè
thân thích.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 3
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Cây sinh loài mô tả lịch sử tiến hóa của một nhóm các loài với những đặc tính
khác nhau nhưng cùng có mối quan hệ họ hàng với nhau và cùng hình thành từ một tổ
tiên chung trong quá khứ. Đặc tính của mỗi loài được chúng ta quan tâm ở đây tương
ứng với các bộ gen. Gen là các chuỗi DNA được bao gồm từ các kí tự A, G, C và T
hợp thành. Cây sinh loài là một cây mà các nút lá (taxa) của nó có thể là các vật sống
hiện tại ngày nay, các nút trong của cây đó là các tổ tiên của các nút lá. Tái cấu trúc
cây sinh loài chính là tìm những gen phù hợp nhất để đưa vào các nút tổ tiên hoặc là
đưa ra một cây sinh loài phù hợp nhất để giải thích quá trình tiến hoá.
Tuy nhiên, việc nghiên cứu cây sinh loài cho nhiều hướng tiếp cận. Mỗi phương
pháp có những ưu điểm và khuyết điểm của nó. Phương pháp ước lượng hợp lý cực
đại được chọn ở đây là phương pháp phức tạp nhất nhưng lại là phương pháp cho kết
móng (U68496, U68497, U68498) 55
Bảng 3: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình
lược với trường hợp ((U68496,(U68497, U68498)) 55
Bảng 4: Các mẫu và số lượng từng mẫu trên 3 chuỗi gen HIVenvSweden với cây hình
lược với trường hợp ((U68498,(U68496, U68497)) 56Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 5
DANH MỤC HÌNH
Hình 1: Hai trường hợp xảy ra khi tung đinh bấm 26
Hình 2: Đồ thị của hàm hợp lý 27
Hình 3: Cây sinh loài của sự sống 30
Hình 4: Mô tả xác suất chuyển đổi trạng thái của chuỗi “DNA” 32
Hình 5: Cây sinh loài với các nút trong và xác suất chuyển đổi 32
Hình 6: Một trong những cây sinh loài 4 taxa 35
Hình 7: Cây sinh loài với dữ liệu trên nút lá và các khả năng xảy ra ở các nút tổ tiên.36
Hình 8: Cây sinh loài có gốc với 3 nút lá 42
Hình 9: Sơ đồ khối chương trình tìm cấu trúc cây sinh loài 53
Hình 10: Hai hình dạng cây 3 taxa có gốc 55
Hình 11: Cây sinh loài 4 taxa hình móng 68
Hình 12: Cây sinh loài 4 taxa hình cần trục 68
Hình 13: Một số cây sinh loài 4 taxa 68
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 6
Chương 3. ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ CỰC ĐẠI TRÊN MẪU QUAN SÁT 25
3.1. Ước lượng hợp lý cực đại là gì? 25
3.1.1. Đặt vấn đề 25
3.1.2. Khái quát về ước lượng hợp lý cực đại 25
3.1.3. Ví dụ về ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2. Giải bài toán ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2.1. Nguyên lý ước lượng hợp lý cực đại 26
3.2.2. Logarit hàm hợp lý 26
3.3. Tổng quát hóa bài toán ước lượng hợp lý cực đại 27
3.3.1. Ước lượng hợp lý cực đại trên mẫu quan sát 27
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 7
3.3.2. Một số phương pháp giải phương trình hợp lý 28
Chương 4. CÂY SINH LOÀI - MÔ HÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRÊN CÂY
SINH LOÀI 30
4.1. Giới thiệu sơ lược về cây sinh loài 30
4.2. Các nghiên cứu phát sinh sinh loài 31
4.3. Mô hình ước lượng hợp lý cực đại trên cây sinh loài 32
4.4. Mô hình tiến hóa 33
Chương 5. BẤT BIẾN TRÊN CÂY SINH LOÀI 37
5.1. Dẫn nhập 37
5.2. Mô hình xác suất trên cây sinh loài 38
5.2.1. Mô hình bài toán cây sinh loài 38
5.2.2. Nhóm Abel và sự liên hệ với các ma trận chuyển đổi 39
5.3. Biến đổi Fourier 40
5.4. Toạ độ Fourier 42
5.5. Áp dụng tìm bất biến trên một cây sinh loài 42
5.5.1. Mô hình bài toán 42
Phụ lục 4. Một số kết quả chương trình trên cây sinh loài 4 taxa 68
Phụ lục 5. Bảng đối chiếu Thuật ngữ Anh - Việt 69
Danh mục các tên 70
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 9
Chương 1. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
Chương này giới thiệu chung về bối cảnh, mục tiêu và kết quả thu được của đề
tài. Cấu trúc nội dung của quyển thuyết minh được trình bày ở cuối chương.
1.1. Giới thiệu
Phát sinh sinh loài đó là tái tạo lịch sử tiến hóa dựa trên các phương pháp toán
học nhằm suy luận lịch sử tiến hóa sự sống trên hành tinh chúng ta. Việc tái cấu trúc
này liên quan đến việc nhận diện chỉ định những đặc tính đồng dạng (homologous
characters) được chia sẻ giữa các loài sinh vật khác nhau và suy luận cây phát sinh
sinh loài từ việc so sánh các đặc tính thông qua việc sử dụng các phương pháp tái cấu
trúc có độ tin cậy cao. Độ chính xác của quá trình suy luận vì thế phụ thuộc rất lớn vào
độ tin cậy của các mô hình dùng để đánh giá sự tiến hóa của các đặc tính này.
Trước đây việc tái tạo cây tiến hóa chủ yếu dựa trên phân tích hình thái và các
đặc tính siêu cấu trúc. Trong nửa cuối thập niên 1980 nguồn dữ liệu trình tự DNA gia
tăng cộng với sự phát triển ngành công nghệ thông tin, từ đó giúp nhà nghiên cứu có
được những công cụ mạnh mẽ và nhằm giải quyết vài bài toán phát sinh sinh loài đang
chưa có lời giải.
Trong việc suy luận phát sinh sinh loài có 2 bước cơ bản đó là:
- Chỉ định những đặc tính đồng dạng là những đặc tính chung truyền từ một tổ
tiên chung cho đến các thế hệ hiện tại.
- Tái cấu trúc cây tiến hóa bằng việc sử dụng các phương pháp thích hợp.
Các dạng đặc tính có thể sử dụng là cấu trúc hình thái, siêu cấu trúc của tế bào,
gene, trình tự DNA và protein miễn rằng chúng thỏa điều kiện là Đồng dạng.
Có 3 nhóm phương pháp thường được dùng để tái cấu trúc cây phát sinh sinh
đó tìm được thành phần bất biến trên cây sinh loài và giải bài toán.
¾ Xây dựng được một chương trình kiểm nghiệm.
¾ Chương trình đã giải quyết được bài toán MLE để tái cấu trúc cây sinh loài trên
một số cây sinh loài nhỏ 3 taxa và trường hợp đặc biệt với cây 4 và 5 taxa.
1.2. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày trong các chương sau:
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI
Chương này giới thiệu chung về bối cảnh, mục tiêu và kết quả thu được của đề
tài. Cấu trúc nội dung của quyển thuyết minh được trình bày ở cuối chương.
CHƯƠNG 2: CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CƠ BẢN - CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản của toán học đại số và xác suất
thống kê được sử dụng vào các chương sau của đề tài. Các khái niệm về các cấu trúc
đại số như: nhóm, vành, trường, vành đa thức, ma trận, vectơ, …. Các khái niệm về
xác suất thống kê như: xác suất, đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối, các đặc trưng
của các đại lượng ngẫu nhiên, lý thuyết mẫu,…và ước lượng hợp lý cực đại.
CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ CỰC ĐẠI
Chương này chúng ta tìm hiểu kỹ hơn về MLE trên mô hình thống kê. Dẫn ra
một vài ví dụ về ước lượng hợp lý cực đại trên một số mẫu dữ liệu quan sát và giải bài
toán.
CHƯƠNG 4: CÂY SINH LOÀI – MÔ HÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRÊN
CÂY SINH LOÀI
Chương này giới thiệu cây sinh loài, mô hình xác suất thống kê trên cây sinh
loài. Ngoài ra cũng giới thiệu một số mô hình thường sử dụng hiện nay trên cây sinh
loài như mô hình Neyman 2 trạng thái, Jukes – Cantor, Kimura với 2 và 3 tham số.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 11
CHƯƠNG 5: BẤT BIẾN TRÊN CÂY SINH LOÀI
Trong chương này, giới thiệu tổng quát hóa mô hình xác suất thống kê trên sinh
=
với mọi
,,
x
yz G∈ .
(ii) Có một phần tử
e , được gọi là phần tử trung lập, có tính chất G∈
x
eexx
=
=
với mọi
x
G∈ . Phần tử e còn được gọi là phần tử đơn vị của G .
(iii) Với mọi
x
G∈ , có một phần tử
,
x
G
∈
, được gọi là nghịch đảo của x sao
cho
,,
x
xxxe
=
=
với mọi
,
x
yG∈ .
Định nghĩa 4
: Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một
đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa 5
: Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm được định
nghĩa như sau:
'
:GG
ϕ
→
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 13
,1
:{ : () } ()
,
K
er x G x e e
ϕϕϕ
−
=∈ = =
Im : { ( ): } ( )
x
xG G
ϕ
≠
∅cùng với hai phép toán hai
ngôi, gồm phép cộng
:
(, )
R
RR
x
yxy
+
×→
+
và phép nhân
:
(, )
R
RR
x
yxy
•
×→
thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
(i) R là một nhóm Abel đối với phép cộng.
(ii) Phép nhân có tính kết hợp.
(iii) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng:
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy
R⊂
có tính hấp thụ đối với
phép nhân từ bên phải, tức là
,,ar A r R a A
∈
∀∈ ∀∈
(iii) Nếu vành con
A
R⊂
vừa là một iđêan trái, vừa là một iđêan phải thì nó
được gọi là một iđêan (hai phía) của R.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 14
Định lí : Giả sử A là một iđêan của vành R, thì:
(i) Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc
vào sự lựa chọn của các phần tử x, y từ các lớp đó.
(ii) X/A cùng với 2 phép toán
(, )
(, )
x
AyA xyA
x
Ay A xy A
+
++
++ +
(ii) Mỗi thể giao hoán được gọi là một trường.
Chúng ta đã biết một số trường số quen thuộc như: .
,, QRC
2.1.4. Vành đa thức
Định nghĩa 13
: Vành P được gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A,
hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trên A, và kí hiệu là A[x]. Các phần tử của vành đó
gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức
01
01
()
n
n
f
xaxax ax=+++
các gọi là các hệ tử của đa thức. Các được gọi là các hạng tử
của đa thức. Đa thức có tất cả hệ tử bằng 0 gọi là đa thức 0.
, 0, 1, ,
i
ai n=
i
i
ax
Định nghĩa 14
: Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Ta đặt
11
1
[]
[]
nnn
A
gọi là một đa thức của n ẩn
12
, , ,
n
x
xx
lấy hệ tử trong vành A, người ta kí hiệu bằng
12
(, , , )
n
f
xx x
hay
…
12
( , , , )
n
gx x x
Định nghĩa 15
: Giả sử
12 12
(, , , ) [, , , ]
nn
f
xx x Axx x
∈
là một đa thức khác 0
12 11 1
( , , , )
aa
i
cx x
i
x
số mũ
i1 in
aa
+
+
của các ẩn.
Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các
hạng tử của nó. Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của
12
(, , , )
n
f
xx x
có cùng bậc k thì
12
(, , , )
n
f
xx x
gọi là
một đa thức thuần nhất cấp bậc k hay một dạng bậc k. Đặc biệt một dạng bậc nhất gọi
là dạng tuyến tính, một dạng bậc 2 gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc 3 gọi là
dạng lập phương.
Các số được viết thành m dòng và n cột, chúng mang hai chỉ số: chỉ số i nói
lên dòng và j nói lên cột mà được đặt trong bảng. Mỗi được gọi là một thành
phần của ma trận. Một ma trận kiểu (m, n) là một ma trận có m dòng và n cột. Khi m =
n thì ta bảo ta có một ma trận vuông cấp n.
ij
a
ij
a
ij
a
Ma trận chuyển vị của ma trận A được kí hiệu là
T
A
được định nghĩa như sau:
11 21 1
12 22 2
12
m
m
T
nm nm
aa a
aa a
A
aa a
⎡
⎤
aa a
A
aa a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Định thức của ma trận A là gọi là det(A) hay
||
A
được định nghĩa như sau theo
cách triển khai theo dòng i:
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 16
det( )
E là một tập hợp mà các phần tử là
,,, .
x
yz
Giả sử cho 2 phép toán:
- Phép cộng:
(, )
E
EE
x
yxy
×
→
+
và
- Phép nhân: Một phần tử của K với một phần tử E:
(,)
K
EE
x
x
λ
λ
×
→
thỏa mãn các tính chất sau với mọi
x
λ
μλμ
=
(v)
1
x
x= , 1 là đơn vị của trường K.
Lúc đó ta bảo E cùng với hai phép toán: Cộng trong E và nhân đối với một phần
tử trong trường K, thỏa tính chất (i), (ii), (iii), (iv) và (v) là một không gian vector trên
trường K hay K – không gian vector (cũng gọi tắt là không gian vector khi không cần
chỉ rõ K). Các phần tử của E gọi là các vector; các phần tử của K gọi là vô hướng.
Phép toán + gọi là phép cộng vector, phép toán nhân với một phần tử của trường K
được gọi là phép nhân vector với vô hướng.
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Giả sử là n vectơ của K – không gian vector E và
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
12
, , ,
n
λ
λλ
là n phần tử của trường K. Vectơ
11 2 2
nn
n
λ
λλ
. Trong trường hợp K là một trường số, các
i
λ
sẽ gọi là hệ số thay cho hệ tử.
Hệ n vectơ trong K không gian vectơ E gọi là độc lập
tuyến tính khi vectơ 0 chỉ có một biểu thị tuyến tính, đó là biểu thị tuyến tính tầm
thường, qua hệ vectơ đó. Vậy hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ
khi
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
12
, , , ( 1)
n
xx x n≥
1
0
n
ii
i
x
λ
=
=
∑
kéo theo
hệ đã cho nếu nó là một hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vector
()
i
x
iIJ
∈
−
nào vào hệ con đó thì ta đều được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
Cho hệ hữu hạn vector
()
iiI
x
∈
trong K- không gian vector E. Người ta chứng
minh được rằng số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó bằng nhau
và gọi là hạng của hệ vector đã cho. Hạng của vectơ (0) được coi bằng 0.
Hạng của ma trận
Ma trận A có m dòng và n cột với
ij
aK
∈
. Hạng của A là hạng của hệ vector
cột và người ta chứng minh nó cũng bằng hạng của vectơ dòng và bằng cấp cao nhất
của các định thức con khác 0 của nó.
Nếu A chứa một ma trận vuông cấp p có định thức khác 0, sao cho mọi ma trận
vuông cấp p+1 chứa nó có định thức bằng 0, thì ma trận có hạng là p.
Cơ sở và số chiều của một K – không gian vector
Ở đây chúng ta chỉ đề cập tới các không gian vector có hữu hạn chiều.
Giả sử E là một K – không gian vector. Giả sử tồn tại trong E một hệ vector độc
Fz z z i s
=
=
trong đó là các đa
thức của các biến số
i
F
1, , ) (
j
zj n=
Nếu các đều là bậc nhất đối với tất cả các
i
F
j
z thì ta có đa tạp tuyến tính. Nếu
các hệ số của là số hữu tỉ (thực, phức) thì ta có đa tạp đại số hữu tỉ (thực, phức).
i
F
2.2. Các khái niệm về xác suất thống kê
2.2.1. Định nghĩa về xác suất
1) Một số khái niệm
Trong xác suất thống kê, thực hiện một phép thử nghĩa là làm một thí nghiệm,
thực hiện một quan sát, thực hiện một cơng việc, một hành động nào đó.
- Phép thử mà ta khơng khẳng định được một cách chắc chắn kết quả của nó
trước khi thực hiện phép thử gọi là phép thử ngẫu nhiên.
- Các phép thử có thể xảy ra của phép thử gọi là các biến cố.
- Các biến cố khơng thể phân tích được nữa gọi là biến cố sơ cấp.
- Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ta
kí hiệu biến cố chắc chắn là
Ω
Định nghĩa xác suất dạng thống kê
Làm đi làm lại một phép thử nào đó n lần, thấy có m lần biến cố A xuất hiện thì
tỷ số
m
n
gọi là tần suất của biến cố A.
Phương pháp đại số cho bài toán ước lượng hợp lý cực đại - Áp dụng trên cây sinh loài nhỏ
Bùi Văn Đồng Trang 19
Khi n thay đổi, tần suất
m
n
cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một số
cố định nào đó, n càng lớn thì
m
n
càng gần số cố định đó. Số cố định ấy được gọi là
xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P(A)
bởi
m
n
.
()
m
PA
n
≈
Một số tính chất của xác suất
0()1
3) Công thức nhân xác suất
:
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, với n biến cố
12
, , ,
n
A
AA
ta có:
12 1 2 1 3 12 12 1
( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / )
nn
PAA A PAPA A PA AA PA AA A
−
=
n
4) Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Giả sử là một nhóm đầy đủ các biến cố. Xét biến cố A sao cho A
xảy ra chỉ khi một trong các biến cố xảy ra. Khi đó
12
,,,
n
BB B
12
,,,
n
BB B
1
Bùi Văn Đồng Trang 20
2.2.3. Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối
1) Định nghĩa
: Một đại lượng (hay một biến) nhận các giá trị của nó với xác suất
tương ứng nào đấy gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên.
Phân loại các đại lượng ngẫu nhiên: Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận
ta phân các đại lượng ngẫu nhiên ra làm 2 loại chính: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến
ngẫu nhiên liên tục. Tuy nhiên, với vấn đề quan tâm của đề tài, chúng ta chỉ xét đến
các biến ngẫu nhiên rời rạc.
2) Biến ngẫu nhiên rời rạc, bảng phân phối xác suất
Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một tập gồm một số hữu hạn
hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên
ξ
nhận các giá trị
12
, , , ,
n
x
xx
và
(),1,2,
ii
Pxpi
ξ
==∀=
Để mô tả biến ngẫu nhiên rời rạc
ξ
E
ξ
và được xác định như sau:
ii
i
E
xp
ξ
=
∑
trong đó
(),1,2,
ii
Pxpi
ξ
==∀=
Ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên
nhận hay là trọng tâm của phân phối xác suất.
2) Phương sai
: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên
ξ
là một con số không
âm, được kí hiệu là
D
ξ
và được xác định như sau:
2
()DE E
(, , ,
n
)
X
XX
được gọi là mẫu ngẫu
nhiên, n gọi là cỡ mẫu (số lần quan sát). Như vậy mẫu ngẫu nhiên cỡ n thực chất là n
biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối như biến ngẫu nhiên X.
Ta gọi
i
x
là kết quả quan sát được ở lần thứ i. Khi đó
12
(, , , )
n
x
xx
là n giá trị
cụ thể ta quan sát được. Đó là giá trị cụ thể mà mẫu ngẫu nhiên
12
(, , ,
n
)
X
XX
nhận.
2) Các đặc trưng mẫu
Giả sử ta cần nghiên cứu biến ngẫu nhiên X với EX, DX mà ta chưa biết và đang
phải đi tìm chúng. Ký hiệu
=
Kỳ vọng mẫu
'
1
1
n
i
i
XEX X
n
=
==
∑
Do
12
(, , ,
n
)
X
XX
là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối như X nên
kỳ vọng mẫu là một biến ngẫu nhiên. Do đó ta lại tìm kỳ vọng và phương sai của
X
1
11
n
i
i
()
nn
ii
ii
2
s
DX X X X X
nn
==
== −= −
∑∑
22
1
2
11
{( ) ( )} ( ) ( )
11
n
ii
ii
Es E X X E X E X
nn
DX n
nDX DX DX
nnn
μμ μ μ
σ
=
không thể ước lượng cho
θ
dựa vào mẫu ngẫu nhiên trên.
Ta sẽ dùng một hàm nào đó của mẫu, tức là một hàm nào đó của n biến
12
, , ,
n
X
XX
để là ước lượng cho
θ
- Kí hiệu hàm đó là
*
12
( , , , )
n
X
XX
θ
. Như vậy
*
12
( , , , )
n
X
XX
θ
là một biến ngẫu nhiên vì
12
, , ,
θ
.
2) Ước lượng không chệch
Vì
*
12
( , , , )
n
x
xx
θ
là một biến ngẫu nhiên nên ta không thể đòi hỏi
*
12
( , , , )
n
x
xx
θ
đúng bằng giá trị
θ
cần tìm được. Lẽ tự nhiên ta đòi hỏi
*
12
( , , , )
n
Exx x
θ
θ
dung phương pháp như sau:
Ta xét biến ngẫu nhiên
ξ
và đối với nó ta xác định:
(, ) ( , )
f
xPx
θ
ξθ
=
=
θ
là tham ẩn của phân phối của biến ngẫu nhiên
ξ
. Trước hết ta xét trường hợp
θ
là
tham ẩn một chiều.
Copyright: Tài liệu đại học ©