Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƢỜNG
ĐẠI HỌC
SƢ
PHẠM
NGUYỄN XUÂN
HÒA
NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN
EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG
L
L

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƢỜNG
ĐẠI HỌC
SƢ
PHẠM
NGUYỄN XUÂN
HOÀ
NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN
EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG
Chuyên ngành: Giải
tích
Mã số:

H
Ọ
Ọ
C
C
Ngƣời
h
ƣ
ớng
dẫn khoa học:
PGS.TS.
TRƢƠNG
XUÂN ĐỨC
HÀ
Thái Nguyên - năm
2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .


2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
LỜI NÓI
ĐẦU
Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều
ứng
dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm
f
nửa liên tục
dưới
trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không
compact
thì hàm
f
có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric
đủ
X
, hàm
f
bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể
là
khi hàm
f
bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm

ε

, ta luôn tìm được điểm
x
là cực tiểu chặt của hàm nhiễu
của hàm ban đầu, đồng thời
f
(
x)
≤
f
(
x
ε

)

. Không những thế, còn đánh giá
được khoảng cách giữa x và
x
ε

.
Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều
lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí
thuyết điểm bất động, kinh tế, . . .
Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường
hợp hàm
f

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình
đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận
văn.
Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy,
Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm
2009
Học
viên
Nguyễn Xuân
Hoà
Chƣơng
1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN
Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển,
dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất
của hàm này.
Cho X là không gian tôpô và hàm
Kí hiệu:
f : X
→



∪

{


là tập mức của f .
epif
=

{
(

x,

a

)

∈
X
×

f
(

x

)

≤

a
}
là tập trên đồ thị của


)
≥ f
(
x
0
) .
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên
X
nếu f nửa liên tục dưới tại mọi
điểm của
X
.
Nhận xét 1.1
Hàm f là nửa liên tục dưới tại
x
0
khi và chỉ khi ∀ε >
0
tồn tại lân cận U của
x
0
sao cho
∀x
∈U
ta đều có
f
(

x

)

=


nếu x ≠2

0
nếu
x =
2
Ta thấy:
domf = 
.
L
1
f
=
{
x

∈


f (x)
≤

1
}



≤

a
}

là phần mặt phẳng nằm trên parabol có
phương trình
f
(
x) = 3x
2
−
2
hợp với đoạn thẳng AB trong đó
A

(

2,

0
)

,
B

(

2,10

vì
lim
inf
x

→2
f
(

x

)
=
10
≥ f (2)
. Do đó
f
là hàm nửa
Mệnh đề 1.1.
Cho
X
là không gian mêtric và hàm
sau là tương đương:
f : X
→

∪

{
+∞


)

≤

a
}
là tập đóng trong
X
×



.
(c)
L
a
f
=

{
x

∈
X f (x)
≤

a
}


,
a
n
)
=

(
x
0
,
a
0
)
. Ta cần chỉ
ra
n→∞
(
x
0
,
a
0
)
∈
epif . Thật vậy,
lim x
n
=
x
0

a )}
⊂

epif
nên
f
(
x )
≤

a
(

∀
n
∈



), nên
n
→∞
0 n n n
n
lim
inf
n→∞
f
(


.
Điều này chứng tỏ
(
x
0
,
a
0
)
∈
epif
.
(b)

⇒

(c). Giả sử epi
f
là tập đóng trong X
×


. Ta sẽ chứng minh mọi tập
mức của
f
đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử
L
a
f
=

⊂
L
a
f
Nên f
(
x
n
) ≤
a
hay ( x
n
,
a
)
∈
epif
(

∀n
∈

). Hơn nữa,
lim x
n
= x
0
nên
n→∞
lim(

f ta có điều phải chứng minh.
(c)

⇒
(a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong
X
. Ta cần chứng
minh
f
là hàm nửa liên tục dưới trên
f
. Giả sử phản chứng
f
không là nửa
liên tục dưới tại
x
0
∈ X . Khi đó có dãy{ x
n
}

⊂

X
sao cho
lim x
n
= x
0
,

x
0
)
−

ε

(

∀n > k
). Xét tập
mức
L
=

{
x

∈
X f (x)
≤
f (x
0)
−

ε
}
ta thấy
x
n


ε
(vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên
X
.

Định nghĩa 1.2
Cho tập
S
trong không gian mêtric
(
X
,

d
)
. Hàm chỉ của tập
S
là hàm:

+∞
S
l
(

x

)

=

U
của
x
0
mà
l
S
(
x)
≥
l
S
(
x
0
)
−

ε

,

∀
x
∈
U
.
Khi
x
0


∀
x

∈

B(
x
,
r)
thì
x

∉
S
. Do
đó
l
(
x)
≥

l
(
x )
−

ε

,

+∞
}
đạt cực
tiểu trên
X
, tức là
∃x
∈ X
sao cho
f (x) ≥ f
(x),
∀x ∈ X
. Trước hết, ta nhìn lại kết
quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm
f
nửa liên tục dưới trên
tập compact.
Mệnh đề 1.3.
Cho hàm
f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên tục dưới trên tập

n
)
=
a
. Do
n
→∞
X
compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi { x
n
} là dãy hội tụ đến
2
x
∈ X
. Ta sẽ chứng minh
f (x)
=
a
. Thật vậy, do
f
là nửa liên tục dưới tại
x
nên
lim

inf
n→∞
f
(


f (x) =
a
Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.2
Xét hàm số:
f : X =  ×

 \

{(2,1)} → 
x =
(x
1

, x
2
)  f (x) = (x
1
−
2)
4
+ (x
−1)
2
Ta dễ dàng thấy rằng
f
liên tục trên
X
và

ε

<

ε
ε
4
tức là ta có
inf

X
f = 0 . Tuy vậy
không tồn tại
x
∈
X
để f (x) = 0 . Thật vậy, giả sử có
x
0
∈

X
sao cho
f
(
x
0
)
=



−

xấp xỉ cực tiểu của f
(x)
trên
X
nếu
inf

X
f
≤
f
(
x
ε

)
≤

inf

X
f + ε .
Điểm
ε

−


f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử
ε

>
0
và
x
ε

∈

X
thoả mãn:
f
(
x
ε

)




ε



d

(
x, x )
≤
f
(
x
)
.


f
(
x)
+



ε




,
a
1
) ≥
(
x
2
,
a
2
) ⇔ (a
1
− a
2
)
+

α

d

(
x
1
, x
2
)
≤
0.
Cho

S
luôn có phần tử
(

x,

a)

∈

S
Sao cho
(
x, a)
≥

(
x
0
,
a
0
)
và
(

x,

a)
là phần tử cực đại trong S theo nghĩa

Ta ký hiệu:
(
x
0
,
a
0
)
∈
S
cho trước, giả sử
(
x
n
,
a
n
)
đã biết.
S
n
=

{
(

x,

a)



∈
S
n
}
.
Ta có
S

n
là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy
(

x
n

+
1
,

a
n

+
1
)
∈
S
n
sao cho:

≤

m
n

+
1
. Và
như vậy ta có {
S

n
} là dãy các tập đóng giảm dần trong
S
,
{
m
n
} là dãy giảm
dần trong  và bị chặn dưới và (1.1) có thể viết lại thành:
a
n
−
m
n
≥

a
−
m

1
−
m
.
n+1
n+1

2
2
n
Mặt khác
(
x, a) ≥
(

x
n

+
1
,
a
n
+
1
)
nên ta lại có:
a
n
+

S

n
} là dãy các tập đóng
thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong
X
×

(là không gian metric đầy
đủ). Do đó tồn tại
(

x,

a)

∈

S
thoả mãn:
{
(

x,

a)
}

=


,

∀n
∈

do
đó
(
x, a)
≥

(
x
0
,
a
0
)
. Giả sử có (x, a) >
(

x,

a)
với (x, a)
∈

S
và (x, a) ≠
(

là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề.

Chứng minh định lí 1.1
Đặt S =
epif
=
{
(

x,

a)
∈ X
×


f
(
x)
≤

a
}

.
Dễ thấy
(
x
ε


(
x
ε
)) , ta luôn tìm được
(

x,

a)
sao cho
(

x,
a) ≥
(
x
ε

, f
(
x
ε
))
và
(

x,

a)
là phần tử lớn nhất trong

ε

d

(
x, x)
≥

0

, mà
(

x,
a)
λ
là phần tử lớn nhất trong
S
nên ta có
f (x)
=
a
, vậy
(x, f
(x))
là phần tử lớn nhất trong
S
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có:
ε


)

.
Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
ε

ε
Mặt khác, từ
f (x)
−
f
(
x
ε

)
+

λ

d

(
x, x
ε

)
≤


f
(
x
ε

)
−
f
(
x)
≤

ε
do đo đó
d

(
x, x
ε

)
≤

ε
λ
hay
d

(
x, x

,
∀x ≠ x do đó
f
(
x)
+

ε

d

(
x, x)
>
f
(
x)
,
λ
∀x ≠ x .
Vậy (iii) được chứng minh. 
Nhận xét 1.2
Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
f
(
x)
+

ε


nếu λ lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm x , nhưng hàm
f
(
x)
+

ε

d

(
x, x)
có
λ
thể không sai khác nhiều so với hàm
f
(x)
ban đầu.
Hằng số
λ
trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn
λ

=
Định lí 1.2. [1]
ε ta có kết quả sau:
Cho
(
X
,

f
(
x
ε

) <
inf

X
f + ε
(i)
d

(
x, x
ε

)
≤
ε
.
(ii)
(iii)
f
(
x)
+
f (x)
+
ε


không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân:
Định lí 1.3. [1]
Cho
(
X
,

d
)
là không gian mêtric đủ và hàm
f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi
ε

>

0
tồn tại

p
≥
1. Giả sử ε > 0 và
x
∈



N
thoả mãn:
ε
ε
f (x )
≤
inf
N

f
+
ε .
p
g

(

a

)

N

f (x
ε

)
.
(iii)
f
(
x)
+

ε
λ
p
x −
x
ε
≥
f
(
x)
+

ε
λ
p
x −
x
ε
p

lim
x
→+∞
g(x) = +∞ .
Lấy
a

∈



N
bất kì, xét tập
L g
=

{
x

∈



N
g
(x)
≤

g


L
g
(

a
)
g không bị chặn


N
, khi đó tồn tại dãy {x }
⊂

L g
sao cho
x
→

+∞

. Do
g
thoả mãn điều
n
g

(

a
)

(a)
n
→∞
n
n
g

(

a
)
n
(∀n ∈
N
)
, suy ra lim
g

(
x
n
) ≤
g

(a)
n
→∞
(mâu thuẫn). Vậy L
g
(


a
)
g thì
g(x) > g(a) ≥ g(x) . Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của
g trên

. Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí.

1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (Flower-
Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí
biến phân Ekeland.
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 1.3. [1]
Cho
X
là không gian Banach. Với bất kì
x
∗

∈
X
∗

\
{0}
và bất kì
ε



(x)
}
là nón Bishop-Phelps liên kết với
x
∗

và
ε

.
Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
x
∗

∈
X
∗

là bị
chặn trên
S
. Khi đó với mọi

∗

,

ε
)
+
y




.
Chứng minh
Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm
điểm thoả mãn :
x
∗

( x)
f ( x)
=

− +
l
|| x
∗

||
S


∈
S
∩



K
(x
∗

,

ε
)
+

y




. Thật vậy, từ (i) suy ra
y

∈
S
. Mặt
khác
0


y




.
Tiếp theo ta chứng minh
S
∩




K
(x
∗

,

ε

)
+

y






)
+

y




. Suy ra
y
′

−

y

∈

K
(
x
∗

,

ε

)
Ta có:

x ( y
′
)
+

ε
y
′

−
y
≤

−

x ( y)
|| x
∗

|| || x
∗

||
điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh. 
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental)
Định nghĩa 1.4. [1]
Cho X là không gian Banach và
Ta gọi:
a,


(0,
+∞
)
và
a,

b
∈ X
.
Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi.
Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
a

∈
S
và