Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGUYỄN XUÂN HÒA

NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG L
L
U
U
Ậ

T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C
Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T
O
O

Lời nói đầu
Chƣơng 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chƣơng 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI NÓI ĐẦU
Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng
dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm
f

f

nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ
X
thì với mọi điểm

- xấp xỉ cực tiểu
x

, ta luôn tìm được điểm
x
là cực tiểu chặt của hàm nhiễu
của hàm ban đầu, đồng thời
()fx

()fx

. Không những thế, còn đánh giá
được khoảng cách giữa
x
và
x

.
Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều
lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí
thuyết điểm bất động, kinh tế, . . .
Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường
hợp hàm

luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy,
Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009
Học viên
Nguyễn Xuân Hoà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN

Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển,
dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất
của hàm này.
Cho
X
là không gian tôpô và hàm
 
:fX  

Kí hiệu:

 
 
domf x X f x   

liminf
xx
fx


0
()fx
.
Hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới trên
X
nếu
f
nửa liên tục dưới tại mọi
điểm của
X
.

Nhận xét 1.1
Hàm
f
là nửa liên tục dưới tại
0
x
khi và chỉ khi
0


tồn tại lân cận




nếu
2x 

Ta thấy:

domf  
.

 
 
1
( ) 1 1,1L f x f x    
là tập mức của hàm
f
.

   
 
,epif x a f x a   
là phần mặt phẳng nằm trên parabol có
phương trình
2
( ) 3 2f x x
hợp với đoạn thẳng AB trong đó
A
 
2,0

liên tục dưới trên

.

Mệnh đề 1.1.
Cho
X
là không gian mêtric và hàm
 
:fX  
, khi đó các khẳng định
sau là tương đương:
(a)
f
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
.
(b)
   
 
,epif x a X f x a   
là tập đóng trong
X  
.
(c)
 
()
a
L f x X f x a  
là tập đóng trong

00
lim ,lim
nn
nn
x x a a
 

và hàm
f
là nửa liên tục dưới tại
0
x
nên
nếu x ≠2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
liminf
n
n
fx


0
()fx
, mà dãy
{( , )}
nn
x a epif
nên

lim
n
n
a



0
a
.
Điều này chứng tỏ
00
( , )xa
epif
.

(b)

(c). Giả sử epi
f
là tập đóng trong
X  
. Ta sẽ chứng minh mọi tập
mức của
f
đều đóng trong
X
. Thật vậy, giả sử
 
()

Nên
()
n
fx
a
hay (
n
x
,
a
)
epif
(
n
). Hơn nữa,
0
lim
n
n
xx


nên
,0
lim( ) ( , )
n
n
x a x a



. Giả sử phản chứng
f
không là nửa
liên tục dưới tại
0
xX
. Khi đó có dãy{
n
x
}
X
sao cho
0
lim
n
n
xx


,
 
liminf
n
n
fx

0
()fx
. Chọn
0

0
lim
n
n
xx


nên
0
x 
L
, do đó
0
()fx
0
()fx


(vô lí). Vậy
f
là nửa liên tục dưới trên
X
.
Định nghĩa 1.2
Cho tập
S
trong không gian mêtric

Khi
0
xS
, từ định nghĩa hàm
S
l
ta có
0


tồn tại lân cận
U
của
0
x
mà
0
( ) ( ) ,
SS
l x l x x U

   
. Khi
0
xS
, vì
S
là tập đóng nên
0
( , ) 0d x S 

đạt cực
tiểu trên
X
, tức là
xX
sao cho
( ) ( ),f x f x x X  
. Trước hết, ta nhìn lại kết
quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm
f
nửa liên tục dưới trên
tập compact.

Mệnh đề 1.3.
Cho hàm
 
:fX  
là hàm nửa liên tục dưới trên tập
X
compact. Khi
đó
f
đạt cực tiểu trên
X
.
Chứng minh
Đặt
 
inf ( )a f x x X
. Khi đó có một dãy {

n
n
f x f x


. Kết hợp với
lim ( )
n
n
f x a


ta suy ra
()f x a
( điều đó
chứng tỏ
a  
). Mặt khác theo định nghĩa của
a
ta có
()f x a
. Vậy
()f x a

và
x
là điểm cực tiểu của hàm
f
trên
X

2
x



thoả mãn
()
4
fx




tức là ta có
inf 0
X
f 
. Tuy vậy
không tồn tại
xX
để
( ) 0fx
. Thật vậy, giả sử có
0
xX
sao cho
0
( ) 0fx 

thì đưa tới


trên
X
nếu
inf ( ) inf
XX
f f x f


  
.
Điểm


xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu
f
bị chặn dưới. Tuy nhiên,
khi
X
là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng
ta có thể làm nhiễu hàm
f
để thu được một hàm đạt cực tiểu trên
X
. Sau đây
ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí
này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định lí 1.1. (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2]

( , )d x x



.
(ii)
( ) ( , ) ( )f x d x x f x







.
(iii)
( ) ( , ) ( )f x d x x f x






,
xX
\
{}x
.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. [2]

Sao cho
00
( , ) ( , )x a x a
và
( , )xa
là phần tử cực đại trong
S
theo nghĩa
( , )xa


( , )xa
,
( , )x a S
và
( , )xa 
( , )xa
.
Chứng minh
Dễ dàng chứng minh quan hệ ”

” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Ta xây dựng dãy
( , )
nn
xa
trong
S
bằng quy nạp như sau:
Bắt đầu từ


sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
2
nn
nn
am
aa



(1.1)
Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên
1nn
SS


do đó
1nn
mm


. Và
như vậy ta có {
n
S
} là dãy các tập đóng giảm dần trong




   
.
Mặt khác
11
( , ) ( , )
nn
x a x a


nên ta lại có:
1
1
1
( , ) .
2
n
n
n
aa
am
d x x







ta có
( , ) ( , )
nn
x a x a
,
n
do đó
00
( , ) ( , )x a x a
. Giả sử có
( , )xa 
( , )xa
với
( , )x a S
và
( , )xa 
( , )xa
. Khi đó
( , )
n
x a S
(
n
), vì vậy
( , )xa
n
n
S




Ta áp dụng bổ đề 1.1 với




và phần tử
( , ( ))x f x

, ta luôn tìm được
( , )xa

sao cho
( , )xa

( , ( ))x f x

và
( , )xa
là phần tử lớn nhất trong
S
.
Từ định nghĩa của
epif
ta luôn có
( , ( ))x f x S
,
xX
. Mặt khác
()f x a

()fx

.
Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
Mặt khác, từ
( ) ( ) ( , ) 0f x f x d x x



  
ta có
( , ) ( ) ( )d x x f x f x




. Hơn nữa
()fx


inf
X
f


nên
( ) ( )f x f x







,
xx
.
Vậy (iii) được chứng minh.
Nhận xét 1.2
Điểm
x
tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
( ) ( , )f x d x x



. Nếu


nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của
x
so với điểm
x

ban đầu, nhưng khi
đó hàm nhiễu
( ) ( , )f x d x x


 
:fX  
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử
0


và
xX


thoả mãn:
( ) inf
X
f x f




Khi đó tồn tại
xX
sao cho:
(i)
( , )d x x



.
(ii)
( ) ( , ) ( )f x d x x f x



tồn tại
x
sao cho:
( ) ( , ) ( )f x d x x f x


,
xX
\
{}x
.

1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều
Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến
phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục).

Định lí 1.4. [19]
Cho
: { }
N
f   
là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới,
0


và
1.p 
Giả sử

( ) ( )
p
p
f x x x f x



  
.
(iii)
()
p
p
f x x x



  
()
p
p
f x x x




,
N
x
.

N
ga
L g x g x g a  
do
g
là hàm nửa liên tục
dưới nên
()ga
Lg
là tập đóng trong
N

.
Ta chứng minh
()ga
Lg
là bị chặn
N

. Thật vậy, giả sử
()ga
Lg
không bị chặn
N

, khi đó tồn tại dãy
{}
n
x 
()ga

n
n
g x g a


(mâu thuẫn). Vậy
()ga
Lg
là đóng và bị chặn
trong
N

,
g
là hàm nửa liên dưới trên tập compact
()ga
Lg
nên tồn tại điểm cực
tiểu
x
của
g
trên
()ga
Lg
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh
x
chính là điểm cực tiểu của
g

Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (Flower-
Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí
biến phân Ekeland.

1.3.1. Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 1.3. [1]
Cho
X
là không gian Banach. Với bất kì
\{0}xX


và bất kì
0


chúng ta
gọi:
( , )Kx



 
|| |||| || ( )x X x x x x




là nón Bishop-Phelps liên kết với
x

y
tức là :
{ } ( , )y S K x y



  

.

Chứng minh
Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm
()
( ) ( )
|| ||
S
xx
f x l x
x


  
. Giả sử
z
là
điểm thoả mãn :
( ) inf
X
f z f
