Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyên đề 1 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa.
a) Giá trị tuyệt đối của một số:
Giá trị tuyệt đối của một số a, ký hiệu
a
, là số đo của khoảng cách từ điểm
biểu diễn số a đến điểm gốc trên trục số.
Ta thường viết định nghĩa dưới dạng:
a
a
a
≥

=

−

nÕu a 0
nÕu a < 0
b) Giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến:
Định nghĩa trên vẫn đúng nếu ta thay số a bởi biểu thức A(x), nghĩa là:
( ) ( )
( )
( ) ( )
A x A x
A x
A x A x
≥

đối. Ta có:
x y x y+ ≤ +
, dấu bằng xảy ra khi:
0xy ≥
.
*Tính chất 6: Giá trị tuyết đối của một hiệu lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt
đối. Ta có:
x y x y− ≥ −
, dấu bằng xảy ra khi:
0x y≥ ≥
hoặc
0x y≤ ≤
.
3. Dạng bài tập cơ bản thường gặp:
3.1.Dạng tính giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
Ví dụ: (Bài tập 29- sách bài tập toán 7, trang 8)
Tính giá trị của biểu thức M = a + 2ab - b với
1,5a =
; b = -0,75.
Giải:
Do
1,5a =
suy ra a = 1,5 hoặc a = -1,5. Ta xét hai trường hợp:
+Nếu a = 1,5 thì M = a + 2ab - b = 1,5 + 2.1,5.(-0,75) - (-0,75) = 0.
+Nếu a = -1,5 thì M = a + 2ab - b = -1,5 + 2.(-1,5).(-0,75) - (-0,75) =
1
1
2
.
3.2.Dạng rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có:
2 3 1 1 5
2 3 1 4
3 1 2
x
x
x
− + =
⇔ − =
⇔ − =
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì xảy ra hai trường hợp:
3 1 2 3 3 1x x x− = ⇒ = ⇒ =
hoặc:
1
3 1 2 3 1
3
x x x
−
− = − ⇒ = − ⇒ =
Vậy x = 1;
1
3
x
−
=
.
*Nhận xét: Làm bài tập dạng này thì GV nên nhắc lại cho HS nắm quy tắc dấu
ngoặc, quy tắc chuyển vế và các phép biến đổi đẳng thức.
Ví dụ 2: Tìm x biết rằng
5 3x x− − =

b) B =
2 2 3 1x x− − −
với x = 4;
c) C =
2 3x y−
với
1
2
x =
và y = -3.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Khi
1
2
x =
thì
3
4
A =
,
Khi
1
2
x = −
thì
3
2
4
A =
.

.
b)Khi
0a ≥
thì
0a a a a− = − =
.
Khi
0a <
thì
2a a a a a− = − − = −
.
c)Khi
0a ≥
thì
2
a a a a a× = × =
.
Khi
0a <
thì
2
a a a a a× = − × = −
.
d)Khi
0a >
thì
: : 1a a a a= =
.
Khi
0a <

2 0a b− ≥
. Ta xét 4
trường hợp:
+Trường hợp 1: a = 0 , thì b tuỳ ý.
+Trường hợp 2: 2 - b = 0 hay b =2, thì a tuỳ ý.
+Trường hợp 3: a > 0, thì 2 - b > 0 hay b < 2.
+Trường hợp 4: a < 0, thì 2 - b < 0 hay b > 2.
Bài 4: Tìm tất cả số a thoả mãn điều kiện:
a)
a a=
; c)
a a>
; e)
a a≤
.
b)
a a<
; d)
a a= −
;
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a)
0a
≥
. c) Không có giá trị nào của a. e) Mọi giá trị của a.
b)
0a
<
. d)
0a

1
2
x
−
⇒ =
.
3
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Vậy
1
2
x
−
=
.
c) Kết quả x = 0.
B. BÀI TẬP VỀ NHÀ.
Bài 1: Tìm giá trị các biểu thức
2
5 7 1
3 1
x x
M
x
− +
=
−
với
1
2

Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả:
Khi
1
4
x <
thì P = 2x + 5;
Khi
1
3
4
x≤ <
thì P = 7 - 8x;
Khi
3x
≥
thì P = -2x - 5.
Bài 3: (Thi HSG huyện Lệ Thuỷ năm học 2003 - 2004)
Tìm
x Q∈
, biết
2
2
3
x x+ =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả:
2
5

b) Kết quả:
0a
≥
và
0b
≥
.
Bài 6: Tĩm x và y biết:
a)
1 1 1
2 3 4
x y− + = − −
;
b)
9
0
25
x y y− + + =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Kết quả: Không tồn tại x và y thỏa mãn điều kiện bài ra;
b) Kết quả:
9
25
x y
−
= =
.
Bài 7: (Thi HSG huyện Lệ Thuỷ năm học 2001 - 2002)
4

5
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 2, 3 TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tỉ lệ thức.
1.Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau.
Dạng tổng quát:
a c
b d
=
với
0; 0b d≠ ≠
hoặc a : b = c : d.
Trong đó số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, số hạng b và c gọi là trung tỉ.
2.Tính chất:
*Tính chất 1:
a c
a d b c
b d
= ⇔ × = ×
.
*Tính chất 2: Từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
ta ruy ra được ba tỉ lệ thức là
; ;
a b d c d b
c d b a c a
= = =

với
; ; 0; 0; 0; 0;a b c d a b c d≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
Giải: Ta có thể giải bài này bằng các cách như sau:
*Cách 1:
Để chứng minh
a c
a b c d
=
− −
ta xét tích a(c - d) và c(a - b).
Ta có a(c - d) = ac - cd (1)
và c(a - b) = ca - cb (2),
Theo bài ra:
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra a(c - d) = c(a - b). Chứng tỏ
a c
a b c d
=
− −
(ĐCCM).
*Cách 2:
Đặt
;
a c
k a bk c dk
b d

= ⇒ =
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a b a b
c d c d
−
= =
−
, suy ra
a a b a c
c c d a b c d
−
= ⇒ =
− − −
.
*Cách 4:
Từ
1 1
a c b d b d a b c d a c
b d a c a c a c a b c d
− −
= ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− −
(ĐCCM).
II. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
1.Tính chất cơ bản:
Từ dãy tỉ số bằng nhau
3
1 2
1 2 3

a a
a a
b b b b
= = = =L
thì ta có thể lập được những tỉ số
bằng các tỉ số đã cho
3 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 2
n n n n n
n n n n n
a a k a k a k a k a k a k a
a a
b b b b k b k b k b k b k b k b
+ + + − + −
= = = = = = =
+ + + − + −
L L
L L
L L
.
3.Chú ý:
*Tránh sai lầm khi học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Từ dãy tỉ số
a c a c ac
b d b d bd
= ⇒ = =
.
*Nếu x, y , z tỉ lệ với các số a, b, c
x y z

a)
60
15
x
x
−
=
−
;
b)
( )
1 1
13 :1 26 : 2 1
3 3
x= −
;
c)
7 1
1 9
x
x
+
=
−
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Từ
( ) ( )
2 2
60

63 1 64 8x x x x x⇒ = + − − ⇒ = ⇒ = ±
.
*Chú ý: Trong lập luận trên ta sử dụng tính chất phân phối của phép cộng và
phép trừ đối với phép nhân, quy tắc dấu ngoặc.
Bài 3: Cho tỉ lệ thức
4 7
x y
=
. Biết xy = 112. Tìm x, y.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Có thể giải bài này bằng hai cách như sau:
*Cách 1:
Do xy =112 nên suy ra
0; 0x y≠ ≠
.
Từ
4 7
x y
=
, nhân cả hai vế đẳng thức này với x, ta có:
2 2
2
112
64 8
4 7 4 7
x xy x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
.
Khi x = -8 thì y = -28;
Khi x = 8 thì y = 28.

. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (với giả thiết
các tỉ lệ thức đều có nghĩa):
a)
2 3 2 3
2 3 2 3
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
;
b)
2 2
2 2
ab a b
cd c d
−
=
−
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
8
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
GV dựa vào ví dụ về các phương pháp chứng minh tỉ lệ thức để hướng dẫn
HS giải theo các cách như trên.
Bài 5: Cho tỉ lệ thức
a b c a b c
a b c a b c
+ + − +
=

+ +
= ⇒ + + = + − ⇒ = ⇒ =
+ −
(ĐCCM).
Bài 6: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
10 6 21
x y z
= =
và 5x + y - 2z = 28;
b) 3x = 2y, 7y = 5z và x - y + z =32.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
5 2 28
2
10 6 21 5.10 6 2.21 14
x y z x y z+ −
= = = = =
+ −
.
Suy ra:
2 20
10
x
x= ⇒ =
;

2 12
6
y

Từ
5 7
y z
=
, nhân cả hai vế với
1
3
, ta có:
15 21
y z
=
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
10 15 21
x y z
= =
, theo tính chát dãy tỉ số bằng nhau:
32
2
10 15 21 10 15 21 16
x y z x y z− +
= = = = =
− +
.
Suy ra x = 20, y = 30, z = 42.
Bài 7: (Bài 82 - Sách bài tập Đại số 7, trang 14)
Tìm các số a, b, c biết rằng:
2 3 4
a b c
= =


2 2
9.4 36 6b b b= ⇒ = ⇒ = ±
;

2 2
16.4 64 8c c c= ⇒ = ⇒ = ±
.
Mà theo bài ra:
2 3 4
a b c
= =
thì a, b, c cùng dương hoặc cùng âm.
Vậy x = 4, y = 6, z = 8 hoặc x = -4, y = -6, z = -8 là các giá trị cần tìm.
*Cách 2:
Đặt
2 ; 3 ; 4
2 3 4
a b c
k a k b k c k= = = ⇒ = = =
. Thay vào a
2
- b
2
+ 2c
2
=108, ta có:
(2k)
2
- (3k)

c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)
37 3
13 7
x
x
−
=
+
; c)
4 5
20 4
x
x
+
=
+
;
b)
( )
1 2
0,2 :1 : 6 7
5 3
x= +
; d)
1 2
2 3
x x
x x

 
=
 ÷
−
 
;
b)
3
3 3
3 3
a b a b
c d
c d
+ −
 
=
 ÷
+
−
 
.
Bài 5: Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức
a c
b d
=
nếu có một trong các đẳng thức sau
(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
a)
a b c d
a b c d

b c d
= =
. Chứng minh rằng:
3
a b c a
b c d d
+ +
 
=
 ÷
+ +
 
Bài 8: Cho ba tỉ số bằng nhau
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
, tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
11
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 4 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
NGHỊCH.
HÀM SỐ Y = AX (A
≠
0)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Đại lượng tỉ lệ thuận.
1. Định nghĩa:
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức y = ax với a là hằng
số khác không thì ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a.
2. Tính chất:

.
3.2/Nếu y =ax (a
≠
0)
1
x y
a
⇒ = ×
, nghĩa là nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số
tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
1
a
.
II. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
1. Định nghĩa:
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức
a
y
x
=
với a là hằng số
khác không thì ta nói đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a.
2. Tính chất:
Nếu
a
y
x
=
(a
≠

x
y
=
, nghĩa là nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ
số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a.
II. Hàm số y = ax (a
≠
0).
1. Nhắc lại về hàm số.
1.1/ Định nghĩa về hàm số: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay
đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn luôn xác định được một và chỉ một giá trị
tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
Ký hiệu: y = f(x)
1.2/ Các cách cho hàm số: Hàm số có thể cho bằng công thức, bằng bảng, sơ
đồ Ven, đồ thị,….
1.3/ Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp số
tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Từ định nghĩa đồ thị hàm số ta rút ra nhận xét: Cho hàm số y = f(x) và điểm
M(x
0
; y
0
).
+Nếu y
0
= f(x
0
)
⇔
Điểm M(x

2
3
3
2
1
y
x
Cho hình vẽ trên gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, với Ox và Oy là hai trục số
vuông góc với nhau tại điểm O. Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, điểm
O(0 ;0) gọi là gốc tọa độ.
Điểm M (3; 2): ta nói điểm M có tọa độ (3; 2), 3 gọi là hoành độ, 2 gọi là
tung độ của điểm M.
2.2/ Chú ý:
+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng 0 chính là trục tung.
+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng 0 chính là trục hoành.
+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng a chính là đường thẳng song song với
trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a.
+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng b chính là đường thẳng song song với
trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
x = a
a
o
y
x

y = b
b
x
y
o

Nếu a là số hữu tỉ, giả sử
( )
( )
, , 0; , 1
m
a m n Z n m n
n
= ∈ ≠ =
, cho giá trị x = n suy
ra
m
y n m
n
= × =
. Do đó điểm M (n; m) thuộc đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0). Vậy đồ
thị hàm số y =ax (a
≠
0) là đường thẳng OM.
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số
3
2
y x=
.
Giải:
Ta cho x = 2 suy ra
3
.2 3
2

b
Gọi quãng đường xe con đi đến chỗ gặp nhau là s
1
(km) và vận tốc là v
1
(km/h).
14
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Gọi quãng đường xe tải đi đến chỗ gặp nhau là s
2
(km) và vận tốc là v
2
(km/h).
Vì cùng xuất phát một lúc nên thời gian hai xe đi đến chỗ gặp nhau là như
nhau, do đó quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Ta có:
1 1 1 2
2 2 1 2
s v s s
t
s v v v
= ⇒ = =
(chính là thời gian cần tìn).
Xem quãng đường AB là đơn vị quy ước (AB = 1 đơn vị), thì s
1
+ s
2
= 1,
1
1

v
t
=
. Nếu chuyển động trên
cùng một quãng đường (s không đổi) thì v, t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch;
nếu có cùng thời gian chuyển động (t không đổi) thì s và v là hai đại lượng
tỉ lệ thuận; nếu chuyển động cùng một vận tốc (v không đổi) thì s và t là
hai đại lượng tỉ lệ thuận.
+ Nếu đơn vị của ba đại lượng s, v và t chưa thống nhất thì ta phải tiến
hành đổi đơn vị cho thống nhất.
Bài 2: Mức nước sinh hoạt của gia đình bạn Thủy được thống kê ở bảng sau:
Thời điểm Cuối tháng
6
Cuối tháng 7 Cuối tháng 8 Cuối tháng 9
Chỉ số đồng
hồ đo mức
nước (m
3
).
204 220 237 250
BiÕt tæng sè tiÒn níc nhµ b¹n Thñy ph¶i tr¶ trong quÝ III lµ 92000 ®ång. TÝnh
sè tiÒn níc ph¶i tr¶ trong th¸ng 7, 8, 9.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có số m
3
nước mà nhà bạn Thủy đã dùng trong từng tháng:
+Trong tháng 7: 220 - 204 = 16 m
3
.
+Trong tháng 8: 237 - 220 = 17 m

Gọi thời gian xe ô tô II đi hết quãng đường AB là t
2
giờ.
Ta có
1 2
3
5
t t− =
giờ. Với cùng quãng đường AB thì vận tốc và thời gian là
hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, nên ta có:
2 1 2 1 2
2
1
3
50 3
5
3
60 60 50 60 50 10 50
t t t t t
t
t
−
= ⇒ = = = = ⇒ =
−
giờ.
Vậy quãng đường AB dài 50. 3 =150 km.
Bài 4: Một số A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5, 2, 4. Biết tổng lập
phương của ba số đó là 9512. Hãy tìm A?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Gọi ba phần là x, y, z, ta có:

Bài 5: Đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0) đi qua điểm A(4; 2).
a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Cho B(-2; -1) và C(5; 3), không cần biễu diễn B và C trên mặt phẳng tọa
độ Oxy, hãy cho biết A, B, C có thẳng hàng hay không?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Do đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0) đi qua điểm A(4; 2) nên ta có:
2 = a. 4
1
2
a⇒ =
. Vậy hàm số đã cho là
1
2
y x=
.
Để vẽ đồ thị hàm số ta vẽ điểm A(4; 2). Đường thẳng OA là đồ thị hàm số
1
2
y x=
.
y =
1
2
x
2
x

2
y x=
.
Vậy A, B, C không thẳng hàng.
Bài 6: Cho các hàm số y = 2x và
18
y
x
=
. Không vẽ đồ thị hãy tìm giao điểm của hai
đồ thị hai hàm số này.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Gọi M(x
0
; y
0
) là giao điểm hai đồ thị hai hàm số trên.
Thì M(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = 2x
0 0
2y x⇒ =
(1)
và M(x
0
; y
0
) cũng thuộc đồ thị hàm số

khoảng bằng
1
2
khoảng cách từ xe máy đến M.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có sơ đồ sau:
x
2x
d
m
b
c
a
s
1
s
2
Với t
AC
= t
BD
; v
1
= 65 km/h; v
2
= 40 km/h.
Suy ra
1 2 1 2
1 2
270 270 2 540 2 270 2

17
b
1
-1
y =
x
2
x
y
o
1
A
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Kết quả: Đường cao tương ứng với cạnh 25 cm dài 28,8 cm và đường cao
tương ứng với cạnh 36 cm dài 20 cm.
Bài 4: Để làm xong một công việc thì 21 công nhân làm trong 15 ngày. Do cải tiến
công cụ lao động nên năng suất lao động của mỗi người tăng thêm 25%. Hỏi
18 công nhân làm bao lâu mới xong công việc.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
*Nếu năng suất lao động như cũ:
Số công nhân Số ngày làm
21 18
15 x
Với cùng một công việc và năng suất lao động mỗi người không đổi thì số
công nhân và số ngày làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, kết quả: x = 17,5
ngày.
*Giữ nguyên số công nhân là 18:
Năng suất lao động Số ngày làm
100% 17,5
125% y

= ±
;
c) Lập luận f(x) = f(-x) = 4x
2
- 5, với mọi
x
∈
¡
.
Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = -3x rồi xác định điểm A(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số
biết:
a) x
0
+ y
0
= -4;
b)
0 0
4x y+ =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
*Vẽ đồ thị: Học sinh tự vẽ.
a) Do A(x
0
; y
0

0
0
x khi x
y x
x khi x
≥

= =

− <


Đồ thị:
18
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 5 ÔN TẬP - KIỂM TRA
TIẾT 1:
A. ÔN TẬP
I. Đại số.
1. Câu hỏi khắc sâu lý thuyết.
Câu 1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x)?
Câu 2: Nêu các phương pháp chứng minh một tỉ lệ thức?
Câu 3: Nêu tính chất của dãy tỉ số bằng nhau?
Câu 4: Khi giải bài toán liên quan đến các đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch ta có
chú ý gì ?
*GV nêu lần lượt các câu hỏi cho HS trả lời và thảo luận, GV thống nhất và đưa ra
các kết luận.
2. Bài tập rèn luyện.
*Các bài tập này tùy tình hình học lực của học sinh mà GV chọn bài để ôn tập, các
bài còn lại ra về nhà cho HS tự giải. Lưu ý rèn kĩ năng trình bày bài giải hoàn

x x
−
= =
.
b) Biến đổi:
3 7 3 7
0
5 3 5 3
x x x x+ − − = ⇔ + = −
Hoặc
3 7 7 3
0.
5 3 3 5
x x x+ = − ⇔ = − −
, điều này không xảy ra với các giá trị của x;
Hoặc
3 7 7 3 26 13
2 2
5 3 3 5 15 25
x x x x x
 
+ = − − ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
.
Bài 2: Cho
ax by
M
cx dy
+

c d
=
, nngiax là a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức.
*Chú ý: HS làm xong bài này GV nêu vấn đề điều ngược lại của bài toán có
đúng không? Nghĩa là nếu bốn số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức thì
ax by
M
cx dy
+
=
+
có giá trị không phụ thuộc vào x và y.
Trả lời: Điều ngược lại cũng đúng.
Bài 3: Cho
a b c d
b c d a
= = =
với
0a b c d+ + + ≠
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2a b b c c d d a
c d a d a b b c
− − − −
+ + +
+ + + +
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
1

− − − −
+ + + = + + + =
+ + + +
.
Bài 4: Chu vi của một tam giác là 60 cm. Các đường cao có độ dài 12cm, 15cm và
20cm. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác này.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
20cm
15cm
12cn
x
y
z
Ta có hình vẽ như trên.
Gọi các cạnh tam giác tương ứng với các đường cao dài 12cm, 15cm và
20cm lần lượt là x, y, z. Điều kiện x, y, z < 60.
Theo bài ra: x + y + z = 60cm.
Ta có trong một tam giác thì độ dài mỗi cạnh và đường cao tương ứng là hai
đại lượng tỉ lệ nghịch, cho nên:
1 1 1
: : : : 5 : 4 : 3
12 15 20
x y z = =
.
Suy ra:
60
5 25; 20; 15
5 4 3 5 4 3 12
x y z x y z
x y z

m
d
b
o
e
x
y
a) Theo tính chất đoạn thẳng chắn ta có AB = DM; AC = ME; AD = BM;
AE = MC. Do đó ED = BC suy ra
ABC MDE∆ = ∆
(c - c - c).
b) Gọi O là giao điểm của AM và BD.
Ta có
AOD MOB
∆ = ∆
(g - c - g) suy ra OD = OB và
¶
µ
1 1
D B=
.
Suy ra
DOE BOC
∆ = ∆
(c - g - c) suy ra
·
·
DOE BOC=
.
Ta có

Hình vẽ
21
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
d
a
b
m
c
c'
A'
b'
a) Ta có
AMC DMB
∆ = ∆
(c - g - c)
·
·
;AC BD CAM MDB⇒ = =
do đó AC // BD
(vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Suy ra
·
·
0
180BAC ABC+ =
, theo bài ra:
·
µ
0
' 180BAC A+ =

1 7
4 2
x +
=
.
Bài 2: Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d
≠
0.
Biết
b c d c d a a b d a b c
k
a b c d
+ + + + + + + +
= = = =
. Tính giá trị của k.
Bài 3: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe
chạy với vận tốc 54 km/h thì đến sớm được 1 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc
63 km/h thì đến sớm được 2 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định
đi.
Bài 4: Cho hàm số
( )
1
2
y f x x
−
= =
.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên;
b) Chứng ninh rằng với x
1

x x x x
+
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ±
.
0,5
0,5
22
Cỏc chuyờn bi dng hsg toỏn 7
Bi 2:
(2,0 )
*Cỏch 1: T gi thit suy ra:
1 1 1 1
0
b c d c d a a b d a b c
a b c d
b c d a c d a b a b d c a b c d
a b c d
Do a b c d a b x d
+ + + + + + + +
+ = + = + = +
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + = = =
Vy:
3
3
b c d a a a a
k
a a a
+ + + +

1
l thi gian i t A n B vi vn tc 54 km/h.
Gi t
2
l thi gian i t A n B vi vn tc 63 km/h.
Theo bi ra t
1
- t
2
= 1 gi.
Vỡ cựng quóng ng AB nờn thi gian v vn tc l hai i
lng t l nghch.
Suy ra:
2 1 2
1
54
63 63 54
t t t
t
= =
.
Theo tớnh cht dóy t s bng nhau:
1 2 1 2
1
1
63 54 63 54 9
1
63 7
9
t t t t

y

= ì =
, nờn im A(2; -1) thuc th
hm s. th hm s trờn l ng thng OA.
0,25
0,25
0,5
23
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
o
y
x
2
-1
a
y =
1
2
x
b) Chứng ninh rằng với x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
Ta có:

f(x
1
) > f(x
2
).(Do
1
0
2
−
<
và
1 2
0x x− <
).
0,25
0,25
0,5
Bài 5:
(3,0 đ)
*Vẽ hình đúng và ghi đủ GT, KL:
Hình vẽ
b
m
d
c
n
o
a
a) DC // AB.
Xét

(c - g - c)
·
·
AOM CON⇒ =
và OM = ON (1).
Mà
·
·
0
180NOA CON+ =
suy ra
·
·
0
180NOA AOM+ =
chứng tỏ N, O,
M thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra O là của MN.
0,25
0,25
0,75
0,25
0,5
0,5
0,5
24
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 6: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ BÉ NHẤT
A- TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Định nghĩa:

II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số
1) Dùng tính chất
AA ≥
. Dấu “=” xãy ra
⇔
0
≥
A
.
Ta có:
+
A
≥
0. Dấu “=” xãy ra khi A = 0
+
yx +
≤
x
+
y
. Dấu “=” xãy ra khi xy
≥
0
+
yx −
≥
x
-
y
. Dấu “=” xãy ra khi x = y

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho:
+ y = M -
[ ]
g(x)
2n
, n
∈
Z+
⇒
y
≤
M
Do đó y
max
= M
⇔
g(x) = 0
+ y = m +
[ ]
h(x)
2k
, k
∈
Z+
⇒
y
≥
M
Do đó y
min