CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng :
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
a
n
=
.
n
a a a
1 2 3
; a
m
.a
n
= a
m+n
; a
m
: a
n
= a
m –n
( a
≠
0, m
≥
n)
(a

= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a
2
+… + a
n

b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1

. . .
n n
c c c
a a a a a a
−
+ + +
với a
2
– a
1
= a
3
– a
2
= … = a
n

n
a
a
+
−
−
b) Áp dụng
1 1
( )
.
c c
a b k a b
= −
với b – a = k
Ta có : A =
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
n n
c c c
k a a k a a k a a
−
− + − + + −
=
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( )
n n
c
k a a a a a a

2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….+ n
2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
= ( n(n+1):2)
2
Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A =
1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
b)
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2

115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+

















−






+
+






−−
7
2
14
3
1
12:
3
10


2012 2010 1
1 1 1 2011
1 2 2011
MS
⇒ = + + + + + + −

2012 2012
2012 2011
2 2011
= + + + −
=
1 1 1 1
2012( )
2 3 4 2012
+ + + +
c)
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
−++−+−
−

7
3
4.
31
11
1


















−






25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2










−








2
1
2
1
2
1
20042002424642
<−++−+−+−=
− nn
S
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7

Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-
. .
a c
a d b c
b d
= ⇔ =

-Nếu
a c e
b d f
= =
thì
a c e a b e
b d f b d f
± ±
= = =

2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
Bài 2: Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2

= ac+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= c( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
+
+
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc
dc
ba
ba

+ + +
= =
− − −
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=
−
+

Bài 4: BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d
≠
0 Chứng minh rằng :
a c

a b a b
c d c d
+ +
=
+ +
(1)

2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
=
2 2
2 2
2 2
2 2
ab a ab b
cd c cd d
− +
= =
− +
2
2
2
( )
( )
( )


Xột 2 TH i n pcm
Bi 5 : Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng:

22
22
dc
ba
cd
ab


=
và
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=

b
dcba
a
dcba 2222
+++
=
+++
=
+++
=
+++
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+ + + + + + + + + + + +
= = =
Nu a + b + c + d = 0

a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)



cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
= -4

z
cba
y
cba
x
+
=
+
=
++
4422
Thì
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++ 4422
b) Cho:
d
c
c
b
b
a


2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
+ + + +
= =


2 2(2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c a
x y z x y z
+ + + +
= = =
+ +
(1)

2( 2 ) (2 ) 4 4
2 2
a b c a b c a b c b
x y z x y z
+ + + +
= = =
+ +
(2)

4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
+ + + +

=
++

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.

zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
HD T
zyx
t

= = =
Nu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4
Nu x + y + z + t

0 thỡ x = y = z = t

P = 4
Bi 9 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin :
y z x z x y x y z
x y z
+ + +
= =
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B =
1 1 1
x y z
y z x


+ + +
ữ
ữ ữ


Bi 10 : a) Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011

f
=
c) Cho 3 s a, b, c tha món :
2009 2010 2011
a b c
= =
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a )
2

Mt s bi tng t
Bi 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+

5 12
y y
x x
=

vi y = 0 thay vo khụng tha món
Nu y khỏc 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc:
1 3 2
12 2
y y
y
+
= =

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
1
15

Vậy x = 2, y =
1
15

thoả mãn đề bài
Bi 3 : Cho
a b c
b c a
= =
v a + b + c 0; a = 2012.
Tớnh b, c.
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7

Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
Bài 5 : Tìm x, biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
HD : Từ
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
x x
+ + + + − + + + + − +
= = = =
− + −

Suy ra :
1 1
1
6 6
x
x
= ⇒ =
Bài 6: T×m x, y, z biÕt:
zyx
yx
z
zx
y

2
- x , z + x =
1
2
- y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm
x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3
64
3
8
3 zyx
==
vµ
122
222
=−+ zyx
Bài 8 : Tìm x , y biết :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ − + −
= =

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế


≤ −

;
( )
A m
A m hay m A m
A m
≤

≤ ⇔ − ≤ ≤

≥ −

với m > 0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A
2n

≥
0 với mọi A ; - A
2n

≤
0 với mọi A
A
m
= A
n

⇔


2011.2012
. 2012.2013
2
x⇒ =

2.2013
2011
x⇒ =
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =

( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x− + − + − + − +
⇒ + + =

2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
( 2012)( ) 2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
2 : ( ) 2012
2011 2010 2009 2008

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra
các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a)
2011 2012x x− = −
b)
2010 2011 2012x x− + − =
HD : a)
2011 2012x x− = −
(1) do VT =
2011 0,x x− ≥ ∀

nên VP = x – 2012
0 2012x≥ ⇒ ≥
(*)
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012):2
x x v ly
x x x
− = − =
 
⇒ ⇒
 
− = − = +
 
Kết hợp (*)
⇒
x = 4023:2
b)

Bi 4 : tỡm x bit :
a)
1 4x
b)
2011 2012x
Dng : S dng BT giỏ tr tuyt i
Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit :
1 3 5 7 8x x x x + + + =
b) Tỡm x bit :
2010 2012 2014 2x x x + + =
HD : a) ta cú
1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x + + + + + + =
(1)
M
1 3 5 7 8x x x x + + + =
suy ra ( 1) xy ra du =
Hay
1 7
3 5
3 5
x
x
x






do x nguyờn nờn x

2006 2012 0x y x +
HD : ta cú
2006 0x y
vi mi x,y v
2012 0x
vi mi x
Suy ra :
2006 2012 0x y x +
vi mi x,y m
2006 2012 0x y x +


0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
x y
x y x x y
x
=

+ = = =

=

Bi 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
2004 4 10 101 990 1000x x x x x= + + + + + + +
Dng cha ly tha ca mt s hu t
Bi 1: Tỡm s t nhiờn x, bit :
a) 5
x

3
x -1
(1 + 5) = 162

3
x 1
= 27

x = 4
Bi 2 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
HD : a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x



2y


x = 2y
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2
m
+ 2
n
= 2
m

+n
b) 2
m
– 2
n
= 256
HD: a) 2
m
+ 2
n
= 2
m

+n

⇒
2


⇒ = =

− =


b) 2
m
– 2
n
= 256
⇒
2
n
( 2
m – n
- 1) = 2
8

Dễ thấy m
≠
n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1
⇒
n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n
≥
2 thì 2
m – n
– 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa

( )
1 10
8
6
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
+
 
 ÷
 
=

 =

+

2012
2011 ( 1) 0x y y− + − ≥
với mọi x,y . Mà
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =

⇒

2011 0
2011, 1
1 0
x y
x y
y
− =

⇒ = =

− =

Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a)
2012
5 (3 4) 0x y+ + − =
b)
2 2
(2 1) 2 8 12 5.2x y x− + − − = −
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :
1 . Các kiến thức vận dụng:

b) T
22
23)2004(7 yx =
(1)
do 7(x2004)
2


0
2 2
23 0 23 {0,2,3,4}y y y
Mt khỏc 7 l s NT
2
13 7y M
vy y = 3 hoc y = 4 thay vo (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoc x = 2003, y = 4
c) Ta cú xy + 3x - y = 6

( x 1)( y + 3) = 3

1 1
3 3
x
y
=


+ =

hoc

2
-2y
2
=1
2 2 2
1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y = + =
do VP = 2y
2
chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t
1 2 3
1 2
x y x
x y y
+ = =
= =

Bi 2 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7
b) Tỡm
,x y Ơ
bit:
2 2
25 8( 2012)y x =

HD : a) T x y + 2xy = 7

2x 2y + 2xy = 7


+ =


5 ( x + y) = xy (*)
5
5
5
x
xy
y




M
M
M
+ Vi x chia ht cho 5 , t x = 5 q ( q l s t nhiờn khỏc 0) thay vo (*) suy ra:
5q + y = qy

5q = ( q 1 ) y . Do q = 1 khụng tha món , nờn vi q khỏc 1 ta cú
5 5
5 1
1 1
q
y Z q
q q
= = +

(5) , t ú tỡm c y, x

c
a



=
Do a, b, c nguyờn dng nờn c = 1( vỡ nu c >1 thỡ 5
b 1
- 1 khụng chia ht cho 5
do ú a khụng l s nguyờn.) . Vi c = 1

a = 2 v b = 2
Bi 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2 2 2
5 2013 5
p p
q+ = +
HD :
2 2
2 2 2 2 2
5 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1)
p p p p p p
q q q+ = + = =
Do p nguyờn t nờn
2 2
2013 25q M
v 2013 q
2
> 0 t ú tỡm c q

Xột n = 3k+2 khi ú 2
n
1 = 2
3k +2
-1 = 4.8
3k
1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7 .
Vy n = 3k vi
*
k N
* Tỡm x , y biu thc cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht:
Bi 1 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
b)
313 <−m
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Nếu m < -2 thì
1 2 1m m− < +
, suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Vậy m
∈
{ -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để
1 2 1 2( 1) 2 1 (2 1) 3 2 1 3 2 1m m m m m m m− + ⇒ − + ⇒ + − + ⇒ +M M M M
b)
313 <−m

⇒
- 3 < 3m – 1 < 3

x
x
. HD: A =
3
21
+
−
x
x
=
1 2( 3) 6 7
2
3 3
x
x x
− + +
= −
+ +
Bài 3: Tìm x nguyên để
2012 5
1006 1
x
x
+
+

HD :
2012 5
1006 1
x

2009 :1006 1 2009x + =
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2

≥
0 với mọi a,b
* a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2

≥
0 với mọi a,b
*A
2n

≥
0 với mọi A, - A
2n

≤
0 với mọi A


≥
0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012 = 2(x
2
– 2.x. + 1
2
) + 2010 = 2( x – 1)
2
+ 2010
Do ( x - 1)
2

≥
0 với mọi x , nên P(x)
≥
2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1
b) Q(x) = x

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
= a(
2 2
2
4 4
) ( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
x x
a a a
− −
+ + ≥ ∀
Vậy Min P(x) =
2
4
4
ac b
a
−
khi x =
2
b
a
−
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a
2
+ 3a + 4
b) B = 2 x – x
2

Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P =
2
2012
4 2013x x+ +
b) Q =
2012
2012
2013
2011
a
a
+
+
* Dạng vận dụng A
2n

≥
0 với mọi A, - A
2n

≤
0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)
2
+ ( y – 2012)
2012


và
2
( 2 ) 0. ,x y x y− ≥ ∀
suy ra : Q
≥
2012 với mọi x,y

⇒
Min Q = 2012 khi
2
2
( 3) 0 2
1
( 2 ) 0
x y x
y
x y

+ − = =


⇔
 
=
− =



Bài 3 : Tìm GTLN của R =
4

12 15x⇒ −
nhỏ nhất và
12 15 0x − >

2x⇒ =
Vậy Max C =
3 23 8
(1 )
4 9 3
+ =
khi x = 2
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè
32
87
−
−
n
n
cã gi¸ trÞ lín nhÊt
HD : Ta có
7 8 7 2(7 8) 7 14 16 7 5
. . (1 )
2 3 2 7(2 3) 2 14 21 2 14 21
n n n
n n n n
− − −
= = = +
− − − −
Để
32

≥
0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)
2
+
y x−
+ 3
b) B =
2011
2012 2010x− −
HD: a) ta có
2
( 2) 0x − ≥
với mọi x và
0y x− ≥
với mọi x,y
⇒
A
≥
3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
2
( 2) 0
2
2
0
x
x
y

2011 2012A x x= − + −
b)
2010 2011 2012B x x x= − + − + −
c) C =
1 2 100x x x− + − + + −
HD : a) Ta có
2011 2012A x x= − + −
=
2011 2012 2011 2012 1x x x x− + − ≥ − + − =

với mọi x
1A
⇒ ≥
với x . Vậy Min A = 1 Khi
( 2011)(2012 ) 0 2011 2012x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤
b) ta có
2010 2011 2012B x x x= − + − + −
( 2010 2012 ) 2011x x x= − + − + −
Do
2010 2012 2010 2012 2x x x x− + − ≥ − + − =
với mọi x (1)
Và
2011 0x − ≥
với mọi x (2)
Suy ra B
( 2010 2012 ) 2011x x x= − + − + −

2≥
. Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra
dấu “=” hay

 
 
− − ≥ ≤ ≤
 
⇔
 
 
 
− − ≥ ≤ ≤
 
50 56x⇔ ≤ ≤ Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết
1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2
n
, 3
n
,4
n
, 5
n
,6
n
, 7
n
, 8
n

n n n n
ì ì = ì ì
= 10( 3
n
-2
n
)
Vy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
+
M
10 vi mi n l s nguyờn dng.
Bi 2 : Chng t rng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100
HD: A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 = 75.( 4
2005

2
= n + 2
+ Nu m + n khụng chia ht cho p , t ( 1)

(m + n)(m 1) = p
2
Do p l s nguyờn t v m, n

N
*


m 1 = p
2
v m + n =1

m = p
2
+1 v n = - p
2
< 0 (loi)
Vy p
2
= n + 2
Bi 4: a) Số
410
1998
=A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng:

33
= ( 7.6 1)
33
= 7.q 1 ( q

N
*
)
Suy ra :
3338
4136 +=A
= 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q)
7M
Bi 5 :
a) Chứng minh rằng:
nnnn
2323
42
++
++
chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c
M
17 nếu a - 11b + 3c
M
17 (a, b, c Z)
Bi 6 : a) Chứng minh rằng:
17101723 MM baba ++
(a, b Z )
b) Cho đa thức

b) Cho
12 +
n
là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh
12
n
là hợp số
HD : b) ta cú (2
n
+1)( 2
n
1) = 2
2n
-1 = 4
n
-1 (1) .Do 4
n
- 1 chia hờt cho 3 v
12 +
n
là số nguyên tố
(n > 2) suy ra 2
n
-1 chia ht cho 3 hay 2
n
-1 l hp s
Chuyờn 7 : Bt ng thc
1.Kin thc vn dng
* K thut lm tri : Nu a
1

1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a
⇔ < <
+ −
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2

≥
0 , * a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2

≥
0 với mọi a,b
2.B ài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng:
ac
c
cb
b
ba
a
M

− + +
+ + +
= 3 – N Do N >1 nên M < 2
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng :
2a b ab+ ≥
(1) ,
3
3a b c abc+ + ≥
(2) với a, b, c
0
≥
HD :
2a b ab+ ≥
2 2 2 2 2 2
( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0a b ab a ab b ab a ab b a b⇔ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
a)
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ + ≥
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥
(2)


Lại có
2; 2; 2
a b b c a c
b a c b c a
+ ≥ + ≥ + ≥
Suy ra
1 1 1
( )( )a b c
a b c
+ + + +

3 2 2 2 9
≥ + + + =
Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
Bi 4 : a) Cho z, y, z là các số dơng.
Chứng minh rằng:
4
3
222

++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y

cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2( ff
. Biết rằng
0213
=++
cba
HD : f( -2) = 4a 2b + c v f(3) = 9a + 3b + c

f(-2).f(3) =(4a 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhn thy ( 4a 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0


( 4a 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vy f(-2).f(3) = - ( 4a 2b + c).( 4a 2b + c) = - ( 4a -2b + c)
2


0
Bi 3 Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị
nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyờn

x + a
2
x
2
+ + a
4018
x
4018
Khi ú A(1) = a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018

do A(1) = 0 nờn a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018
= 0
Bi 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +
HD : t A =

i lng y v i lng x c gi l hai i lng t l nghch khi :
x.y = a
1 1 2 2 3 3
. . . .
n n
x y x y x y x y a = = = = =
( a l h s t l )
- Tớnh cht dóy t s bng nhau.
2. Bi tp vn dng
*Phng phỏp gii :
- c k bi , t ú xỏc nh cỏc i lng trong bi toỏn
- Ch ra cỏc i lng ó bit , i lng cn tỡm
- Ch rừ mi quan h gia cỏc i lng ( t l thun hay t l nghch)
- p dng tớnh cht v i lng t l v tớnh cht dóy t s bng nhau gii

Bi 1 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi vn
tc 5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh
vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy
Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây,
Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu
học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau.
Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng
vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bi 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với
Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Bi 5 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon thnh cụng vic
ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca mi
cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ?

Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
- Hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th 3 ti mt im
- Hai ng thng i qua mt im v song song vi ng thng th 3
- Da vo tớnh cht 3 ng trung tuyn, phõn giỏc, trung trc, ng cao
4. Chng minh hai ng thng vuụng gúc
P
2
: - Tớnh cht ca tam giỏc vuụng, nh lớ Py ta go o
- Qua h gia ng thng song song v ng thng vuụng gúc
- Tớnh cht 3 ng trung trc, ba ng cao
5 . Chng minh 3 ng thng ng quy( i qua mt im )
P
2
: - Da vo tớnh cht ca cỏc ng trong tam giỏc
6. So sỏnh hai on thng, hai gúc :
P
2
: - Gn hai on thng , hai gúc vo mt tam giỏc t ú vn nh lớ v quan h gia cnh v
gúc i din trong mt tam giỏc , BT tam giỏc
- Da vo nh lớ v quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu, ng xiờn v ng
vuụng gúc .
II. Bi tp vn dng
Bi 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC

BE
HD:

( Hai gúc i nh) v
à
ả
0
1 1
90I D+ =


Cn CM
à
ả
1 1
B D=
( vỡ ABE = ADC)
Li gii
a) Ta cú
ã
ã
ã
0
90BAE BAC DAC= + =


ã
ã
DAC BAE=
, mt khỏc AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ABE = ADC(c.g.c)

DC = BE

*Khai thỏc bi 1:
T bi 1 ta thy : DC = BE và DC

BE khi ABD v ACE vuụng cõn, vy nu cú ABD v
ACE vuụng cõn , T B k BK

CD ti D thỡ ba im E, K, B thng hng
Ta cú bi toỏn 1.2
Bi 1. 1: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . T B k BK

CD ti K
Chng minh rng ba im E, K, B thng hng
HD : T bi 1 chng minh c DC

BE m BK

CD ti K suy ra ba im E, K, B thng hng
*Khai thỏc bi 1.1
T bi 1.1 nu gi M l trung im ca DE k tia M A thỡ MA

BC t ú ta cú bi toỏn 1.2
Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im ca DE k tia M A . Chng minh
rng : MA



CM : ABC = DNA ( c.g.c)



Cú AD = AB (gt)
Cn CM : ND = AE ( = AC) v
ã
ã
BAC ADN=
+ CM ND = AE



CM : MDN = MEA (c.g.c)
+ CM
ã
ã
BAC ADN=



ã
ã
0
180EAD ADN+ =
vỡ
ã
ã
0

ã
0
180EAD BAC+ =


ã
ã
BAC ADN=

Xột ABC v DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN v
ã
ã
BAC ADN=
( chng minh trờn )

ABC = DNA (c.g.c)


ả
ã
1
N ACB=
Xột AHC v DQN cú : AC = DN ,
ã
ã
BAC ADN=
v
ả
ã
1

( Cựng ph
ã
BAH
)
AD = AB (gt)

AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)


DQ = AH (1)
+
ã
ã
ACH EAR=
( cựng ph
ã
CAH
)
AC = AE (gt)

AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)


ER = AH ( 1) . T (1) v (2)

ER = DQ
Li cú
ả
ả
1 2

0
' 180BAC ABA + =
( cp gúc trong cựng phớa)
M
ã
ã
0
180DAE BAC+ =

ã
ã
'DAE ABA =
Xột DAE v ABA cú : AE = AB , AD = AB (gt)
ã
ã
'DAE ABA=


DAE = ABA(c.g.c)


ã
ã
AA'ADE B=
m
ã
ã
ã
ã
0 0

b) Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung
điểm I của MN

Cn cm IM = IN


Cm MDI = NEI ( g.c.g)
c) Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A xung BC , O l giao im ca AH vi ng thng
vuụng gúc vi MN k t I

Cn cm O l im c nh
cm O l im c nh


Cn cm OC

AC
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7


Cn cm
ã
ã
0
90OAC OCN= =


Cn cm :
ã
ã

gúc vi AK , ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im
ca DE .
a) Chng minh rng : AI

BC
b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao?
*Phõn tớch tỡm li gii
a) Gi H l giao im ca BC v AI
cm AI

BC

Cn cm
à
ã
0
1
90A ACK+ =
cm
à
ã
0
1
90A ACK+ =


Cú
ã
ã
0

ã
1
A AEK=
v
ã
ã
ACK CAK=

m
ã
ã
0
90AEK EAK+ =


à
ã
0
1
90A ACK+ =


AI

BC
b) ta cú BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)
M AI

AK
DE BC

AHE =
∆
AHF (g-c-g) nên HF =
1
2
EF; AF = AE
Suy ra:
2
2 2
4
EF
AH AE+ =
Tõ
AEH AFH∆ = ∆
Suy ra
µ
µ
1
E F=

XÐt
CMF
∆
cã
·
ACB
lµ gãc ngoµi suy ra
·
·
µ

Suy ra AE = AF và
µ
µ
1
E F=

Từ C vẽ CD // AB ( D
∈
EF ) =>
( ) (1)BME CMD g c g BE CD∆ = ∆ − − ⇒ =
Lại có:
µ
·
1
E CDF=
(cặp góc đồng vị) Do đó
·
µ
CDF F= ⇒
CDF
∆
cân
⇒
CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia
AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.


⇒
Cần cm
·
·
MAB NAD=
Để cm
·
·
MAB NAD=

⇑
Cần cm
∆
ABM =
∆
ADN (c.g.c)
c) Gọi là giao điểm của BC và Ax

⇒
Để cm BH + CK
≤
BC

⇑
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
1
C
H
M


Cn cm EM = AH v HC = AN
+ cm EM = AH

cn cm AEM =BAH ( cnh huyn gúc nhon)
+ cm HC = AN

cn cm AFN =CAH ( cnh huyn gúc nhon)
b) cm EN // FM



ã
ã
EFAEF N=
( cp gúc so le trong)
Gi I l giao im ca AN v EF


cm
ã
ã
EFAEF N=
Cn cm MEI = NFI ( g.c.g)
Bi 7 : Cho tam ABC vuụng ti A , đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm
D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song
với AC cắt đờng thẳng AH tại E.



Cm CI // AE


Cm AMB = DMC ( c.g.c)
+ cm (2) : AF = AC


Cm AFI = ACI ( Cnh huyn gúc nhn)
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
+ Cm (3) :
ã
ã
EAF ACB=
( vỡ cựng ph
ã
HAC
)
*Khai thỏc bi toỏn :
T bi 7 ta thy AH

AM

HE

AM + BC = 3AM ( vỡ AM = MB = MC)
Vy HE ln nht = 3AM =
3
2

BEI cõn ti B


à
ã
E BEI=


Cú
ã
ã
BIE ABF=
( cp gúc ng v
) m
à
ã
AFE E=
vỡ AEF cõn ti A
c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF m CF = BC v AE = AF


2 AE = AB + AC hay
2
ACAB
AE
+
=

Bi 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 90
0

ta có BK
⊥
KC
- Xét TH góc A>90
0
*Khai thác bài toán :
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC
là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó
AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.
HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được
vị trí điểm M trên cạnh BC.

Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135
o
. Gọi M là trung điểm của BC. Về
phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường
thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng
minh rằng Q là trung điểm của BP.

HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ
- Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c)

⇒
BQ = CH (1) và
·
·
MBQ MCH=


Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
b)
∆
ABC cân tại A, mà
µ
0
20A =
(gt)
nên
·
0 0 0
(180 20 ): 2 80ABC = − =

∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
20
0
M
A
B
C
D