Chuyên đề 10: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.BÀI TOÁN 1 : ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TÓM TẮT GIÁO KHOA
Phương pháp chung:

Để vẽ đồ thò của hàm số có mang dấu giá trò tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trò tuyệt đối .
Bước 2: Sử dụng đònh nghóa giá trò tuyệt đối để khử dấu giá trò tuyệt đối
Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trò tuyệt đối
( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức)
Bước 3: Vẽ đồ thò từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ) * Các kiến thức cơ bản thường sử dụng:
1. Đònh nghóa giá trò tuyệt đối : ⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
0A nếu
0A nếu
A

⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
54

Dạng 1: Từ đồ thò
)(:)()(:)(
1
xfyCxfyC =→=

Cách giải

B1. Ta có :
⎩
Dạng 2: Từ đồ thò
))(:)()(:)(
2
xfyCxfyC =→=
( đây là hàm số chẵn)
Cách giải B1. Ta có :
⎩
⎨
⎧
<−
≥
==
(2) 0x nếu
(1) 0x nếu
)(
)(
))(:)(
2
xf

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
1
+−= xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
Minh họa:

x

3
-3x+2
23:)(
3
2
+−= xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
y
y
x
x
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
Δ
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:
( ) ( )
A
AA
y y kx x y kx x y−= − ⇔= − +
A
(*)

Bước 2: Đònh k để ( ) tiếp xúc với (C). Ta có: Δ

y
x
−
=
−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số Δ
xxxy 32
3
1
23
+−=
tại điểm uốn và
chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Δ
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
1
2
+
−+
=
x
xx
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2:)(

++
=
+

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Bài 5: Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
(C)
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò (C) vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
Bài 6: Cho hàm số
3
1
23
1
23
++= x
m
xy
(C
m
)

x
x
OO
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1)
chính là số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).

57

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
). Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
⇔
(C
Áp dụng:
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
1
12
+
−
=
x
x
y
và đường thẳng
13:)(
−
−= xydMinh họa:
f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=2
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-20
-15
-10b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số :
Đònh lý :

(C
1
) tiếp xúc với (C
1
)
⇔
hệ : có nghiệm
''
f(x) g(x)
f(x) g(x)
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩

58
f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số (1)
2
(1)( )yx xmxm=− + +

2
+
−−
=
x
xx
y
(1)
Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số
2
41
2
xx
y
x
++
=
+

Tìm các giá trò của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thò hàm số tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của đồ thò.
Bài 8: Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
++
=

=
−
cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho
diện tích tam giác OAB bằng 8.
Bài 11: Cho hàm số
2
3
1
x
y
x
+
=
+

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;
2
5
) sao cho (d) cắt đồ thò (C) tại hai điểm
phân A,B và M là trung điểm của AB.
Bài 12: Cho hàm số
)1(2
33
2
−
−+−
=
x
xx
y

=
x
xx
y
(C)
Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm
)1;
2
1
(I

Bài 16: Cho hàm số
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y
(C) và hai đường thẳng
3:)(&:)(
21
+
=
+
−
=
xydmxyd

60
3.
BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm
000


y - y
0
= k ( x - x
0
)

Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
) Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm uốn của nó 33
3
+−= xxy

`b. Dạng 2:

0
= k ( x - x
0
) ta sẽ được pttt cần tìm.
(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
Δ

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song,
tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .

(C): y=f(x)
Δ
x
y
ak /1
−
=
O
baxy
+=
Δ
:

Đònh lý 1: Nếu đường thẳng ( ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (
Δ
Δ
) là: ka
Δ
=62Đònh lý 2: Nếu đường thẳng ( ) đi qua hai điểm Δ
BA
( ; ) và B(x ; ) với x x
AA B B
A
xy y ≠ thì hệ số
góc của ( ) là :
Δ

B
A
B
A
yy
k
x

32
11
2
32
yx x x
=+−−
4
3

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2.
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
1
3
2
+
+
=
x
x
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)(
−
=
Δ

c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A

Δ
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:
( ) ( )
A
AA
y y kx x y kx x y−= − ⇔= − +
A
(*)

Bước 2: Đònh k để ( ) tiếp xúc với (C). Ta có: Δ

A
'
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f( )
A
y
xk
+
⎧
⎪
Δ⇔
⎨
=
⎪
⎩

Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

1
2
+
−+
=
x
xx
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2:)(
−
=
Δ
xy

Bài 3: Cho hàm số
1
63
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
xyd
3

3
1
23
1
23
++= x
m
xy
(C
m
)
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C): 23
23
+−= xxy
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) 63
4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

•=
•Δ = Δ

Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Δ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (
Δ
) và (C)
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) Minh họa:
y
x
0
x
)(
1
C
)(
2
C
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1

•=
•Δ = Δ

Bước 2: Vẽ (C) và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ Δ

Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (
Δ
) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m
Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). Minh họa:

65
x
y
Δ
ky
=
);0( k
K
1
M
O

m
x
=
−

Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

3232
33xxkk−+ +− =0
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

3
32xmx−+=0
Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

2
2432 1xx mx−−+ −=0
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

32
2
32logxx m−+ −− =0
Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
3
2
23
3
x
xx
e

);(
000
yxM
⇔
),(
00
mxfy
=
(1)
)(
m
C
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
Cụ thể:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

•
Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong )(
m

Bước 1
: Gọi là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C);(
000
yxM
m
) đi qua. Khi đó phương trình:
nghiệm đúng ),(
00
mxfy =
∀
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0=+ BAm m
∀

Dạng 2:
0
2
=++ CBmAm m
∀

Áp dụng đònh lý: (2)
0=+ BAm
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔∀

Bài 1: Cho hàm số
2
36
2
xx
y
x
++
=
+

Tìm trên đồ thò hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên .
Bài 2: Cho hàm số
2
22
1
xx
y
x
++
=
+

Tìm điểm thuộc đồ thò hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng
cách từ đó đến trục tung .
Bài 3: Cho hàm số
21
1
x
y

Tìm điểm thuộc đồ thò hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là
nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hàm số
42
2321
y
xxx=−++
Tìm trên đồ thò hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ
nhất.
Bài 7: Cho hàm số
1
1
yx
x
=+
−
(C)
Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Bài 8: Cho hàm số
2
2
1
xx
y
x
++
=
−

Tìm trên đồ thò hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm

1
1
2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên
làm tâm đối xứng.
Bài 2: Cho hàm số
22
2
1
2
x
mx m
y
x
++
=
+
(C
m
)
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc
toạ độ
Hết

68