Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
MỤC LỤC
PHẦN TRANG
MỤC LỤC 1
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2
II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 4
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15
I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15
II. BÀI TẬP LUYỆN: 15
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 23
I - LÍ THUYẾT 23
II - BÀI TẬP 25
BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 26
I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 26
II - BÀI TẬP 27
ĐẠI SỐ TỔ HỢP 27
I - LÝ THUYẾT 27
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 29
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 33
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 1
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa:
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong
khoảng đó ta có: F'(x) = f(x).
+Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C:
F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b).
+Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y =

→ F(x) = tgx + C
7. y = f(x) = e
x
→ F(x) = e
x
+ C
8. y = f(x) = a
x
→ F(x) =
aln
a
x
+C
+Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Người ta
kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C =
∫
dx).x(f
2. Vi phân:
Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x)
trên khoảng (a, b). Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý. Tại điểm cho số gia ∆x, sao cho x
+ ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương
ứng với số gia ∆x.
+dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx.
Ví dụ:
+d(x
2
) = 2x.dx
+ d(sinx) = cosxdx.
-Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y'
u(x)

+
∫ ∫ ∫
−=− dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra:
∫
+= C)x(F))x(F(d
4. Công thức Newton - Lepnit:
∫
−=
b
a
)a(F)b(Fdx).x(f
5. Định nghĩa tích phân xác định:
+Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị không âm xác định trên khoảng (a, b),
hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox và các đường thẳng x = a, x
= b.
+Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi
các điểm x
0
, x
1
, , x
n
. Ta gọi ∆x
i
= x
i
- x
i-1
. Từ các điểm x

i
- x
i-1
). Suy ra diện tích toàn phần hình cong là:
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
0
x
y
a
b
Trang 3
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
S = S
1
+ S
2
+ + S
n
=
∑
n
1
i
S
+Nếu n càng lớn thì ∆x
i
càng nhỏ và độ chính xác càng lớn.
S =
∑
=

Đặt ∆
i
= x
i
- x
i-1
(1 ≤ i ≤ n).
Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆
i
.
Trong mỗi đoạn [x
i-1
, x
i
] chọn một điểm ε
i
tùy ý: x
i-1
≤ ε
i
≤ x
i
.
Lập tích f(ε
i
).∆
i
trên mỗi đoạn chia.
Lập tổng
∫

+Tính chất của tích phân xác định:
∫ ∫
=
b
a
b
a
dx)x(fCdx)x(f.C
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
-Nếu f(x) ≤ g(x) thì:
∫∫
≤
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(f
-Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì:
∫
−≤≤−
b
a

2
6.
∫
xdxtg
2
7.
∫
xdxsin
3
8.
∫
dx.xcos.xsin
2
9.
dx.xa.x
22
∫
−
10.
∫
+
dx
1x
x
4
3
11.
∫
−
−+

5
17.
dx
2x2x
1
2
∫
++
18.
∫
+
+
dx
)x1(x
)x1(
2
2
19.
dx.
xx
|x1|
2
∫
−
20.
∫
+ dx)ba(
2xx
21.
∫

2
26.
∫
+
dx
4e
e
x2
x
27.
∫
+ )1x(x
dx
2
28.
∫
+
+++
dx
1x
2xxx
6
456
29.
∫
+
+
dx
e1
)e1(

+
dx
x
5x3
4.
∫
− dx)x21(x
43
5.
∫
+ dx)xln1.(x
x
6.
∫
+
dx
xcos1
xcos.xsin
2
3
7.
∫
+++
−
dx
1x4x4x
xx
246
3
8.

∫
+
dx
xln1x
xln
14.
dx
x
x1
6
∫
+
15.
dx
x
x1
4
3
∫
+
16.
∫
−
2/32
)x1(
dx
17.
∫
+
dx

∫
+ ax
dx
2
24.
∫
+
−
dx
1x
1x
4
2
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 6
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
25.
∫
xdxcos
5
26.
dx.xtg
6
∫
27.
∫
xdxcosxsin
3
28.
∫

∫
+
+
33.
∫
+
dx
x2cos2
xcos
34.
∫
+
dx
xsinbxcosa
xcosxsin
2222
(a ≠ b ≠ 0)
35.
dxx1
2
∫
+
36.
∫
+
dx
x1
x
3
2

44
4
∫
+
41.
dx
xcos2
xsinx
2
∫
+
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 7
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Các vấn đề lý thuyết:
+Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có:
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vdu|v.uudv
+Để tính tích phân f(x)dx:
-Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv.
-Tính du và v.
-Tính tích phân của v.du.

4.
∫
xdxln
5.
∫
xdxsine
x
6.
∫
dx
xcos
x
2
7.
∫
dx)xcos(ln
8.
∫
+
dx
x1
xarcsin
9.
∫
dx)arctgx(x
2
10.
∫
+
++

)1x(
x
34
8
16.
∫
dx)
x
xln
(
3
17.
∫
dx.xsinex
x2
18.
dx.bx
2
∫
+
19.
dxxa
22
∫
−
20.
dx
e
earcsin
x

∫
+
dx
x1
arctgx.x
2
4
26.
dx.xsin.x
∫
27.
dx
x1
arctgx.x
2
2
∫
+
28.
∫
−
dx
x1
xarccos.x
2
3
29.
∫
+ dx).xcos1ln(.xcos
30.

36.
dx).xsin(
3
∫
37.
∫
−
dx.x3cos.e
x2
38.
∫
dx.xln.x
3
39.
∫
−
dx.e.x
2/x
40.
∫
+ dx).x1ln(
41.
∫
++ dx)1xxln(.x
2
42. Tìm a để:
[ ]
12dxx4x).a44(a
1
0

Tương đương với:
nn
)ax(
N

ax
A
)ax(
1
−
++
−
=
−
+Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định:
Tích phân
∫
α
−
dx
)ax(
A
=
∫
+α−
−
=−−
+α−
α−
1



+
−
=
−
ax
ax
ln.
a2
1
au
du
22
Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau:
2 2
1
.
du u
arctg
u a a a
=
+
∫
b. Bài tập luyện:
1.
∫
+++
+−
dx

+ )1x.(x
dx
2
6.
∫
+
210
)1x.(x
dx
7.
∫
+
−
dx
1x
xx
8
5
8.
∫
+
+
dx
1x
1x
6
4
9.
∫
+−

+
−
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 10
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
13.
∫
+1x
dx
6
14.
∫
−
dx
1x
x
8
15.
∫
+−
++
dx
)1x)(2x(
13x2x2
22
2
16.
∫
+++
2

−
dx
1xxxx
1x
234
2
22.
∫
+
−
dx
)x1(x
x1
7
7
23.
∫
+
dx
)x1(
x
24
7
24.
∫
−
dx
)1x(
x
5

29.
∫
−
25
xx
dx
30.
∫
++
+
dx
29x10x
3x5
2
31.
∫
++
+
dx
1x2x5
1x
2
32.
∫
+−
−+
dx
)1x)(1x(
1x2x
2

2.
∫
++ xcos3xsin53
dx
3.
∫
+ xcosxsin4xsin
xdxcos
2
2
4.
∫
dx
3
x
sin.
2
x
sin.xsin
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 11
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
5.
∫
dx
xsin
xcos
3
4
6.

xcosxsin
dx
4
13.
∫
xsinxcos
dx
4
14.
∫
xcosxsin
dx
4
15.
∫
−− 1xsinxcos
xdx2sin
23
16.
∫
+ xcosbxsina
dx
2222
17.
∫
xcos.xsin
dx
4
18.
∫

∫
dx
4
x
cos
4
x
sin
22
25.
∫
xdxcos
6
26.
∫
+ xcosxsin.xcos.xsin
dx
44
27.
∫
+ tgx34
dx
28.
∫
xdxcos.xsin
55
29.
∫
+
−

xsin
55
5
∫
+
3. Tích phân của các hàm vô tỷ:
a. Các vấn đề về lý thuyết:
Giả sử tính tích phân của f(x)dx.
+
)x,x,x,x(f)x(f
cba
=
Thì đặt
tx
s
=
với s là BSCNN của (a, b, c, )
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 12
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
+
)
dcx
bax
,
dcx
bax
,x(f)x(f
nm
+

)u,u()x(f
22
−α=
đặt u = α.sint
Nếu
)u,u()x(f
22
α−=
đặt u =
tsin
α
+Phép thế ơcle: Dùng để biến đổi
cbxax
2
++
.
-Phép thế 1: Nếu ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm và a > 0 thì đặt
tx.acbxax
2
+±=++
-Phép thế 2: Nếu c > 0: Thì đặt
ctxcbxax
2
±=++
-Phép thế 3: Nếu x
0
là một nghiệm của ax
2

3
4.
∫
−++
−−+
dx
1x1x
1x1x
5.
∫
+1xx
dx
22
6.
∫
++
dx
1x1
x
3
4
3
7.
∫
++ 21x2
xdx
2
8.
∫
−−

x1
4
13.
∫
+
dx
x1
x
3
6
14.
∫
−−−
4
x21x21
dx
15.
∫
+
−
x
dx
.
x1
x1
16.
∫
−
2/32
)x1(

2
2
3
xx21
dxx
22.
∫
++
+
2x2x
dx)x4x(
2
2
23.
∫
−+ 11x
dxx
3
2
3
24.
∫
−+−
22
xx21)1x(
xdx
25.
∫
−−− 1xxx
dx

dx
2x3xx
2x3xx
2
2
31.
∫
−−+
2
xx211
dx
32.
∫
+++ 2x2x1
dx
2
33.
dx.`2x2xx
2
∫
+−
34.
∫
−+
2
))x2.(x1(
dx
35.
∫
+++ 1xxx

b
a
b
a
vdu|uvudv
4. Tính chất:
+
∫ ∫
−
=
b
b
b
0
dx)x(f.2dx)x(f
với f(-x) = f(x).
+
∫
−
=
b
b
0dx)x(f
với f(x) = -f(-x).
+
∫ ∫
−
=
+
b

∫ ∫
−=
b
a
a
b
dx)x(fdx)x(f
+
∫ ∫
π π
π
=
+
=
+
2
0
2
0
mm
m
mm
m
4
dx
xcosxsin
xcos
dx
xsinxcos
xsin

2.
∫
+
3
1
3
3
dx
x
x4x
3.
dx
x
1x
4
2
2
3
∫
+
4.
dx
x1
3
x
1
2/1
2/2
2
2

π
3/
6/
22
xcos.xsin
dx
8.
dx
xsin
xsin1
4/
6/
2
3
∫
π
π
−
9.
∫
−
−
3
3
2
dx|1x|
10.
∫
−+
2

2.
∫
−
2
1
5
dx)1x2(
3.
dx
)1x(
x
1
0
33
2
∫
+
4.
∫
π
+
4/
0
2222
xsinbxcosa
dx
5.
∫
π 4/
0

−
10.
∫
π
π
4/
6/
dx.gxcot
11.
∫
π 2/
0
3
dx.xcos.xsin
12.
∫
+
1
0
4
x1
dx.x
13.
∫
π 2/
0
xsin
dx.xcos.e
14.
dx.xcos.xsin41

x
1
0
3
3
2
∫
+
19.
dx
x
1xln
e
1
∫
+
20.
∫
π
+
2/
0
xsin2
dx
+) Dùng phương pháp tích phân từng phần:
1.
∫
1
0
x4

dx.xarcsin
7.
∫
e
1
dx).xcos(ln
8.
∫
π
0
x
dx.xsine
9.
∫
π 2/
0
x
dx.xcose
10.
∫
π 4/
0
2
dx
xcos
x
11.
∫
+
1

π=
+
=
+
2/
0
mm
m
2/
0
mm
m
4/dx
xcosxsin
xcos
dx
xsinxcos
xsin
∫
−
=
a
a
0dx)x(f
nếu f(x) = -f(-x).
∫ ∫
−+=
b
a
b

xsinx
4.
∫
π
+
4/
0
dx
xcosxsin
xcos
5.
∫
−
−
+1
2/1
2/1
dx.
x1
x
ln.xcos
6.
dx
xcos
1xx7x3x
4/
4/
2
357
∫

2/
x
∫
π
π−
+
3. ĐHTN A/99:
Chứng minh với mọi n nguyên dương ta có:
∫
=−
−+
1
0
xx1x2
0dx.e.)1x2(
2
4. ĐHSPII.99:
Tìm nguyên hàm của f(x) =
x2sin3x6sinx4sin3
xsin
3
−+
5. ĐHKTQD-99:
Tìm họ nguyên hàm:
f(x) = tgx +
1x21x2
1
−++
6. ĐHTDTT 99:
Tính

+
3/
4/
dx
x2sin3
xsinxcos
b.
dx
1x
1x
1
0
6
4
∫
+
+
c.
dx.
5xcos3xsin4
6xcos7xsin
2/
0
∫
π
++
++
d.
∫
π

2
dx.xcos).1x2(
10. ĐHY 99:
a. Biết
C)3xxln(
3x
dx
2
2
+++=
+
∫
Tìm nguyên hàm F(x) =
dx.3x
2
∫
+
b.
∫
π
π
3/4
2
x
sin
dx
11. HVBCVT 99:
∫
−
+

b.
∫
++−
2
1
2
dx.|ax)1a(x|
(a là một số cho trước)
14. ĐHTS 99:
∫
π
+
2/
0
2
dx.xsin).1x(
15. ĐHTM 99:
∫
+
4
1
2
)1x(x
dx
16. ĐHXD 99:
a. Cho f(x) =
1x
x
2
2

dx
3x
9x2
1
0
∫
+
+
20. ĐHNN 99:
∫
π
+
+
3/
0
3
dx
1x3
1x
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 19
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
21. ĐHNT 99:
∫
++
1
0
2
)2x3x(
dx

24. HVKTMM 99: a.
dx).1xxln(.xcos
2/
2/
2
∫
π
π
++
b.
dx
1x
1x
1
0
6
4
∫
+
+
c.
∫
π
π
3/
6/
4
xcos.xsin
dx
d. Chứng minh:

xln2
xln
x
e
x3
t
dt
t2
dt
27. ĐH AN NINH 99:
∫
+
4
7
2
9x.x
dx
28. ĐH THỦY LỢI 2000: y =
∫
π
+
+
2/
0
22
dx.
xcos4xsin3
xcos4xsin3
29. TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 2000:
dx.

6
xsin(.xsin
dx
31. ĐH BÁCH KHOA 2000: I =
dx.
1e
e
2ln
0
x
x2
∫
+
32. ĐH GTVT 2000:
∫
π
π−
−
+
2/
2/
2
dx.
xsin4
xcosx
33. ĐH THƯƠNG MẠI 2000: I =
dx.
)xcosx(sin
xsin.4
2/

π
−+
2/
0
44
dx).xsin.xcosx10sinx10(cos
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 20
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
I
2
=
∫
+
2
1
3
x1x
dx
I
3
=
∫
++
1
0
n nn
x1)x1(
dx
( n = 1, 2, )

2
=
∫
π 4/
0
4
dx.xtg.x
39. ĐH LÂM NGHIỆP 2000:
∫
π
++
2/
0
xcosxsin2
dx
40. ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000:
∫
π
++
4/
0
3
dx.
)2xcosx(sin
x2cos
41. CĐSPHN 2000: I
1
=
∫
−

0
23
dxx1x
44. ĐHSP VINH - A – 2001: a)
∫
π
+
+
+
2
0
xcos1
dx
xcos1
)xsin1(
ln
b)
∫
π
π
−
3
3
2
dx
xcos
xsinx
45. ĐHSP VINH - D - 2001
∫
π




π
3
2
0
3
dxxsin
49. ĐH TL – 2001:
∫
π
+
4
0
.dx)tgx1ln(
50. ĐHNNI – 2001:
∫
π
π
2
4
4
6
dx
xsin
xcos
51. ĐHNNI - B - 2001 a)
∫
−

10
1
2
xdxlgx
54. ĐHNT - A – 2001:
∫
π
+
4
0
66
dx)
xcosxsin
x4sin
(
55. ĐHTM – 2001:
dx
e1
e
1
0
x2
nx2
∫
+
−
. Với n
N∈
56. ĐHAN – 2001:
∫

60. ĐHSP TPHCM - A – 2001:
∫
−
1
0
35
dxx1x
61. ĐHNT TPHCM - A - 2001
Tìm họ nguyên hàm của f(x) =
xsin1
gxcot
9
+
62. ĐHQG TPHCM - A - 2001
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 22
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
Đặt I =
∫
π
+
6
0
2
xcos3xsin
xdxsin
và J =
∫
π
+

+
32
5
2
4xx
dx
65. TSĐH - B – 2003:
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
66. TSĐH - A – 2004:
∫
−+
2
1
dx
1x1
x
67. TSĐH - B – 2004:
∫
+
e
1

y
y = f(x)
Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
+Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích của hình thang
cong A'B'BA bằng diện tích của hình thang cong
A'B'B
1
A
1
là hình đối xứng của hình thang cong đã
cho qua trục hoành khi đó ta có:
S = S
A'B'BA
=
11
BA'B'A
S
=
∫ ∫
=−
b
a
b
a
dx)x(fdx)x(f
b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của hình phảng
giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y
1
= f
1

β
−
b
21
dx)x(f)x(f
(*)
Để tính tích phân
∫
β
α
− dx)x(f)x(f
21
ta chú ý rằng voiứ mọi x ∈ (α, β) thì f
1
(x) - f
2
(x)
≠ 0. Vì f1(x) và f2(x) đều liên tục trên (α, β) nên
f
1
(x)-f
2
(x) luôn mang một dấu
Nếu f
1
(x)-f
2
(x) > 0 thì:
∫
β

12
=
∫
β
α
− dx))x(f)x(f(
21
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
∫
β
α
− dx)x(f)x(f
21
=
∫
β
α
− dx))x(f)x(f(
21
Do đó (*) trở thành:
S =
∫
−
b
a
21
dx)x(f)x(f
=
∫
α

Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3, y =0, x = -1, x =
2.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường:
f
1
(x) = x
3
- 3x và f
2
(x) = x
c) Diện tích hình tròn và elip
2) Thể tích của các vật thể
a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung
quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T. Thiết diện của vật thể T với mặt phẳng
vuông góc với ox tại điểm x là một hình tròn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết
diện S(x) =
2
yπ
. Vậy:
V =
∫
π
b
a
2
dxy
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của
hình giới hạn bởi trục ox và đường y = sinx (0 ≤ x ≤ π)
b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm số liên tục

, y = 0.
e) y = lnx, y = 0, x = e.
f) x = y
3
, y = 1, x = 8.
g) x =
2
π
, x = π, y = 0, y = cosx.
h) y = x(x - 1)(x - 2), y = 0.
i) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0).
k) y = e
x
, y = e
-x
, x = 1.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x
2
- 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm
M(3, 5) và oy.
Tài liệu luyện thi đại học môn Toán
Trang 25