LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 1 PHẦN 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài 1. Giải hệ phương trình
4
2
2
3 1 0
x
y x
y
xy y x
( , ).
x y
Bài 2 Giải hệ phương trình:
Bài 4 Giải hệ phương trình:
x y xy y
y x y x
2 2
2
2
4 1 0
7 2(1 )
.
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 2
Bài 5 Giải hệ phương trình:
.
Hd
x y y x
y x
3 3
2 2
4 16 (1)
1 5(1 ) (2)
Từ (2) suy ra y x
2 2
–5 4
(3).
Thế vào (1) được:
y
x x y y x
2 23 3
–5
. 16
Với x xy
2
–5 –16 0
x
y
x
2
16
5
(4). Thế vào (3) được:
x
x
x
2
2
2
16
5 4
5
x x x x
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1 (1)
(2)
x y
0
nên x y x y
2 2
0
)
Thay
x y
1
vào (2) ta được:
x x
2
1 (1 )
x x
2
2 0
x y
x y
1 ( 0)
2 ( 3)
y x x
x
x
x
2
9 5
1
3
1 7
x y
HD )
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0 (1)
2 (2)
. Ta có: (1) x y x y
2
( ) ( 4 ) 0
x y
x y
4
Với x = y: (2) x = y = 2
x y y x
y x y x
y x
x y
2 2
1
( ) 0
2 2
91 91
x y
x y x y
x y
x y
x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y
đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có:
2 2
91 2
x x x
x x
x
x
x = 3
Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
Bài 11.1 . Giải hệ phương trình:
3 2 2
2 3
3
x 2y x y 2xy
2 x 2y 1 y 14 x 2
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 4
Bài 11.2 . Giải hệ phương trình:
3 2 2
2 3
2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 5
x y
1 3 4 x y
1 1 3 3
2x
2 x y
2 x y
y x
xy 2
y x x y
xy
2.
1 3
1 1
( 4 )(2 4) 36
x y
x y
x y x y
ĐK :
, 0
x y
2 2
2 2
3 3 3 3
3 3
1 1 ( )( )
( )
1
x y
y x y xy x
x y x y
y xy x
x y x y
Hệ có nghiệm ( - 6;- 6); ( 2; 2)
Trường hợp
2 2
3 3
1
y xy x
x y
Do
2 2
0
y xy y
với
, 0
x y
nên nếu
( ; )
x y
là nghiệm thì
0
xy
Mặt khác
2 2
( 4 )(2 4) 36 2 4 9 4 16 36
Bài 16 Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
4
16
x y x y
x y x y
. Bài 17 (cơ bản) Giải hệ phương trình:
2 2
2( ) 6
( 2)( 2) 9
x y x y
xy x y
.
2
2 2
2 1
2
y xy x y x y
x y
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 7
Bài 19 Giải hệ phương trình:
2
2 1
2 3
x y y
x y x y y
HD: Bài.22, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
3 2 2
y x xy 6y 1 0
y x 8y x y x 0
.
HD
2
1
xy
và
2
y x
biết tích và tổng
theo y , do đó
2
3 (1)
1 3 (2)
y x y
xy y
. Từ (1)
2
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 9
Bài 24 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2
2 4 3
x y x y
x y x y
.
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 3 2 1 4 4 0
Với x = y+1 thế vào (1) ta được :
2
0 1
2 4 0
2 1
y x
y y
y x
Với
3
x y
thế vào (1) ta được :
2
1 2
.
Ta có (1)
2 2 2
2( ) 0 ( )( 2) 0 2 2
x y xy y y x x y x y y x y x y
+ Với x = y,
(2) 1 2 1 1
x x x x x x y
là nghiệm của hệ pt
+ Với x = 2- 2y,
2
0
(2) 2 2 1 2 2 2 3 3 2
8
3 3 4
3
x
y
y y y y y y y
y
x
1 6
1 1 9
xy y x y
y xy x xy y
2
2 2
1 6
1 9
xy y x y
xy y x y
3
x y y
thay vào (2) ta được
2
(3 ) 1 3
y y y y
3
1 0
y
y=1
2
3
x y y
=3-1=2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x, y)
= (2; 1).
Bài 27 Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8 63
2 2 9
x y
Bài 29 Giải hệ phương trình:
2
5 3
x y x y y
x y
HD ĐK: x + y 0 , x - y 0, y 0
PT(1)
2 2 2 2
2 2 4 2
x x y y x y y x
2
2 0 (3)
5 4 (4)y x
y xy
3
12 2 8 8
2 2 1 8 2
x y x y y
x y x y
Bài 31 Giải hệ phương trình:
2 0
1 4 1 2
x y xy
x y
Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
2 2 2 2
x = y (trong ngoặc luôn dương và x
vay đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có:
2 2
91 2
x x x
2 2
91 10 2 1 9
x x x
2
2
9 3
( 3)( 3)
2 1
91 10
x x
x x
x
x
( , )
x y R
HD . Đk:
3
2
x
,
0
y
. Pt thứ 2:
2
(2 ) 3 3 0
y x y x
.
2
( 4)
x
. Pt có 2 nghiệm
1
2
4
( 1) 2011 ( 4)
2 3 1
x
x x
x x
TH1:
4 5
x y
. TH2:
2
1
( 1) 2011
2 3 1
x
2 2
2 2
3 3 3 3
3 3
1 1 ( )( )
( )
1
x y
y x y xy x
x y x y
y xy x
x y x y
x y
Trường hợp x = y thay vào phương trình:
( 4 )(2 4) 36
x y x y
ta được phương trình:
nên nếu
( ; )
x y
là nghiệm thì
0
xy
Mặt khác
2 2
( 4 )(2 4) 36 2 4 9 4 16 36
x y x y x y xy x y
2 2
2( 1) 4( 2) 9 18
x y xy
(*)Do
0
xy
nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-6; -6) , (2 ; 2)
Bài 34 Giải hệ phương trình
2 6 2
2 3 2
x
y x y
HD §iÒu kiÖn x>0
2 2
2 2 0
2 5 2 0
3 2 4 5
3 2 4 5
2
2
3 2 4 5
6 5( )
1
2
2 0
2
4 9 5
3 2 4 5
x y x y
x xy y
x y x y
x y x y
y x
1 1 3 3
2 x y
2 x y
y x x y
xy
1 3
1 3
2x
2x
y x
y x
x y
1 3
x y 1
x y
2x
x x
x y 1
xy 2
2
x 2,y 2
y1 3
2x
x
y x
x 2, y 2
x 3
2x
2 x
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 14
Bài 38 Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8 2
3 3( 1)
x x y y
x y
HD Ta có (I)
3 3
2 2
2 ( 4 )(1)
3 6 (2 )
x y y
x y
6 6
( 4 ; )
13 13
,
6 6
(4 ; )
13 13
Bài 39 Giải hệ phương trình :
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y
Đặt z = 2/y
x = -1 hoặc x = 2
Từ x = z = 2/y
2
1 2
2
2 1
y
y
y
y
(x ; y ) là (-1 ; -2) ; (2 ; 1)
Bài 40 Giải hệ phương trình
2 2
3
8xy
x y 16
x y
x x x y 3 0
1
2 2
x y x y 8xy 16 x y
2
2 2 2 2
x y x y 4 x y x y 16 x y
vào PT(2) ta được:
3
x 2x 3 0
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 15 2
(x 1)(x x 3) 0
2
x 1
x x 3 0 (VN)
Với
x 1 y 3
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)
Bài 41 . Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2
1
2 20
1
5
x y x y
x y
x y x y
x y
ĐS
4 10 3 10 4 10 3 10
2;1 , ; , ;
3 3 3 3
2
xy
x y
x y
dk x y
x y x y
2 3
2
1 2 1 0 2 2 0
xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y
1
1; 0
2; 3
1
x y
x y
x y
x y
……
Bài 43 Giải hệ phương trình
4 2 2 2
2
y 2xy 7y x 7x 8
3y 13 15 2x x 1
2
;
2
15
y 8
2
nên
2
x y 8
. Khi đó (1)
2 2
y x 1 0 y x 1
.
Thế
2
y x 1
vào phương trình dưới, ta được
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 16 3x 16 15 2x x 1
3x 16 15 2x x 1 2x x 1 15 2x
3; 2 , 3;2
.
Bài 44 Giải hệ phương trình:
y x y
x x y
4
19 20
2 2
Bài 45 Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
4 2 0
(x,y R)
8 3 4 0
Bài 47 Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
x 4 16
1 5 1
y y x
y x
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 18
Bài 48 Giải hệ phương trình:
3 2 0
5 5 1 4
x y xy
x y
HD Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
2 2 2 2
91 91 2 2
x y y x y x
2 2
2 2
( )( )
2 2
91 91
x y y x
y x y x
y x
x y
2 2
1
9 3
( 3)( 3)
2 1
91 10
x x
x x
x
x
2
1 1
( 3) ( 3) 1 0
2 1
91 10
x x
x
x
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2 4 2 2
( ) 4( ) 3 0 ( )( 3 ) 0.
x y x y y y x y y x y y
*)
2
0,
x y y
hay
2
.
x y y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
2 2
2
1 1(ktm)
1 1 0
1 2.
y y
y y y y
y y
hay
2
3 .
x y y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2 2 2 2
1 1 0 1 1
y y y y y y y y
2 2
2 2 2 2
1 0 1 0
1.
1 ( 1) ( 1)( 3 3) 0
y y y y
y
y y y y y y y y
Suy ra
( , )
x y R
Đk:
3
2
x
,
0
y
. Pt thứ 2:
2
(2 ) 3 3 0
y x y x
.
2
( 4)
x
Bài 53 Giải hệ phương trình
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
2 3
1 1
5 4 3 2( ) 0
TH1:
1 1
1
x x
x y xy y x y
v
y y
xy
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 20
3 3 2 2
8 2 0 2 2 4 0
x y xy x y x y x xy y xy
Trường hợp 1:
2 0 2
x y x y
thế vào (*) ta được
2 2
12 12 1 1 2
y y y x
Trường hợp 2:
2
2
2 2
0
15
; 2; 1 , 2;1
x y
Bài 55 Giải hệ phương trình sau:
3 3
2 2
2x - 9y = (x - y)(2xy + 3)
x + y = 3 + xy
3 3 2 2
2 2
2 9 ( )(2 )
3
x y x y xy x y xy
Hpt
x y xy
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
2 9 8
12
4)3()1(3
22
yxyx
xyyyxx
R),(
yx
HD Ta có PT (1) : x
2
-3x(y-1) + y
2
+ y(x-3) = 0
(x-y)
2
+ 3(x-y) - 4 + 0
4
1
yx
yx
* Với x- y = 1, ta có
2
3 9 1
1 2 1
x y y
x y y
Bài 58 Giải hệ phương trình:
03
05
2224
2
xyyxx
xyxyx
Rx y ,
Hpt
2
2
2
2
yy
x
yxyx
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 21
11
2
0
y
y
x
x=0 suy ra y=0 y=2 suy ra x=1 và x=2 y=11 không có x thỏa mãn
thử lại vào hệ thấy thỏa mãn Vậy hệ có 3 nghiệm: (0; 0) , (1; 2) và (2; 2).
Bài 59 Giải hệ phương trình
x y y xy x y x y y x y
x y
x y x y
x y
( loại do đk)
Với
2 0 4
x y x y
Thay vào PT (2) ta có PT:
4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 2 2 1 1
1
2 1 0
2
2 2 1 2 1
5
2 1 2
2
y y y y y y y
y
y
y y
y
x y
x y
y x y x
.
3 3
2 2
8 63 (1)
2 2 9 (2)
x y
y x y x
Nhân phương trình (2) với -6 rồi cộng vế theo vế với phương trình
(1), ta được
3 3
1
4
2
x y
. Vậy, nghiệm của hệ là: (2;1),
1
; 4
2
Bài 61 Giải hệ phương trình:
2
3 2 4 5
2
2 5
x y x y
y
x y
x
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 22
2 2
2 2 0
2 5 2 0
(*)
3 2 4 5
3 2 4 5
x y x y
x xy y
x y x y
x y x y
2
6 5( )
1
2
2
4 9 5
y x
x x VN
y
x
x y
y y
16 ( )( 2) (1)
( )( 4) 2.16 (2)
x y x
x y xy
Thế (1) vào (2) được:
x y xy 4 2 x y x 2
0
x y
x y
(*) Ta có:
2 2 2 2
2 2 2
8
1 2 2 16 8
64 16
x
x x y x y x
x y x x
2
8
64 16 3
x
y
+ Với x = -24, thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm
; 8;8 ; 8; 8
x y
Bài 64 Giải hệ phương trình :
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
2 3
1 1
5 4 3 2( ) 0
TH1:
1 1
1
x x
x y xy y x y
hoac
y y
xy
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 23
2 3 2 3 2 2
Vậy hệ có bốn nghiệm
2 2 2 2
1 1
5 5
; ; ;
1 1
2 2
5 5
x x
x x
y y
y y
3 3
3 3
5x 7y 2xy 38
(x, y )
4x 3y 7xy 4
HPT
3 3 3
3 3 3 3
5x 7y 2xy 38 43x 43xy 86
4x 3y 7xy 4 5x 7y 2xy 38
3 3 3 3 2 2
x y (xy 2)(4 xy) x y x y 2xy 8
2 2
(xy 2)(x y 3xy 4) 0xy
x y xy (Voâ nghieäm vì )
2 2
2
3 4 0 7 0
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 24
ới
xy 2
. Thay vào (I) ta được:
Bài 68 Giải hệ phương trình
3 1 2 7 2
( , )
2 4 5
x x y y x
x y
x y x y
y = 1 y = 1
x = 2 (tmđk)
+ 3x y + 1= 0 y = 3x+1
(2) trở thành:
7 1 7 2 5
x x
2
1
7
49 21 2 11 7
x
x x x
1 11
17
7 7
17
25
25
3
x y x xy
x y
x x y y
.
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 25 Bài 70 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3 2 2 3 2 0
(x,y R)
5 2 5 3 3 2
x xy y x y
x xy y x y
7 7
x y x y
Với
2 2
x y
thế vào (1) ta có:
4 6
( ; ) (1;0); ( ; ) ( ; )
7 7
x y x y
Kết luận: Hệ có 4 nghiệm:
5 3
(0;1), ( ; )
7 7
,
4 6
(1;0), ( ; )
7 7
Bài 71 Giải hệ phương trình:
3 3
3 3
5 7 2 38
(x,y R)
4 3 7 4
x y xy
Copyright: Tài liệu đại học ©