PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương trình:
2
1 2 3
0
xx
aa
  
  

Đặt
x
ta
, điều kiện t >0. Dạng 2: Phương trình:
1 2 3
0
xx
ab
  
  
, với
.1ab

Đặt
x

x
a ab
) Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
2
2
21
1
7.2 20.2 12 0
x
x


  

Đặt
2
1
2
x
t


, vì
2
2 1 1
1 1 2 2 2

2
1
cot
sin
4 2 3 0 1
x
x
  

Điều kiện:
 
sin 0 , .x x k k Z

    

Vì
2
2
1
1 cot
sin
x
x

, nên pt (1) được viết lại dưới dạng:
 
22
2cot cot
2 2.2 3 0 2
xx



           




Nghiệm đó thỏa mãn (*).
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:




 
2 3 2 3 4 1
xx
   

Nhận xét rằng:
  
2 3. 2 3 2 3 2 3 1     

Đặt


23
x
t 
, điều kiện t > 0

2
2
1
2 3 2 3
2
x
x
x
x
t
t t t
t
t
x
x
xx


  



       


  


  


xx
    

Nhận xét rằng:
 
  
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
  
  

Đặt
 
23
x
t 
, điều kiện t > 0
 
1
23
x
t
  
và
 
2
2
7 4 3 2 3 t   


3
3 5 16 3 5 2 1
xx
x
   

Chia 2 vế của phương trình cho
20
x

, ta được:
 
3 5 3 5
16 8 2
22
xx
   


   
   
   

Nhận xét rằng:
3 5 3 5
1
22
  



2
35
8 16 0 4 4 log 4
2
x
t t t x



        




Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình:
 
2 2 2
1 1 1
2.4 6 9 1
x x x  


Biến đổi phương trình về dạng:
 
 
 
 
22
2
Đặt
2
1
3
2
x
t





, vì
2
11
2
3 3 3
11
2 2 2
x
xt

   
     
   
   

Khi đó pt (3) có dạng:

2 1 2 2
2 9.2 2 0 1
x x x x  
  

Chia hai vế của phương trình cho
22
20
x

, ta được:
 
22
22
22
2 2 1 2
22
22
2 9.2 1 0
19
.2 .2 1 0
24
2.2 9.2 4 0 2
x x x x
x x x x
x x x x
   


  

tt
x
t
xx






    


      






  






Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình:
 

2
2
2
x
x
t 
, điều kiện t > 0,
3
3
33
3
2 2 2 2
2 2 3.2 . 2 6
2 2 2 2
x x x x
x x x x
tt
   
       
   
   

Khi đó pt (1) có dạng:
 
3
2
6 6 0 1 2 1 2
2
x
x

x x x
    

Điều kiện:
22
1 2 0 0 2 1 0
xx
x      

Đặt
2 sin
x
t
, với
0,
2
t







Khi đó phương trình có dạng:


22
1 1 sin 1 2 1 sin .sint t t    


cos t t
t t t
cos co
tt
cos
t
cos l
t
x
x
t
t
in


   
  


  











x
x


Biến đổi phương trình về dạng:
 
2
77
6. 7 1
10 10
xx
   

   
   

Đặt
7
10
x
t




, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:
 
2
7


   
   

Biến đổi phương trình về dạng:
21
11
12 0
33
xx
   
  
   
   

Đặt
1
3
x
t




, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:
 
2
3
1

xx


  

 
2
2.2 6.2 8 0 1
xx
   

Đặt
2
x
t 
, điều kiện t >0
Khi đó pt (1) có dạng:  
2
4
2 6 8 0 2 4 2
1
x
t
t t x
tl



Khi đó pt (1) có dạng:
 
 
2
1
4 3 0
3
tl
tt
tl


   





Vậy, pt có vô nghiệm
Ví dụ 14: Giải phương trình:
31
125 50 2
x x x


Biến đổi phương trình về dạng:
 
125 50 2.8 1
x x x






, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
 
 
 
3 2 2
2
1
5
2 0 1 2 2 0 1 0
2 2 0
2
x
t
t t t t t x
t t VN



           


  




t
  

Khi đó pt (1) có dạng:




   
 
sin
21
sin
2
sin sin
2
2 3 2 3
7 4 3 2 3
23
1
4 4 1 0
23
7 4 3 2 3
2 3 2 3
x
x
xx
t
t t t
t



   
 
sinx 1
sinx
2 3 2 3
sin 1
0,
sinx 1
2
2 3 2 3
x
cosx x k k Z




  



       




  



 
   
 
1
2
5 24 5 24 5 24 5 24
5 24
1
10 10 1 0
5 24
5 24 5 24 5 24 5 24
xx
xx
t
t t t
t
t


     



        





     

2
20
x

, ta được:
 
2
55
22
22
xx
   

   
   

Đặt
5
2
x
t




, điều kiện t > 0
Khi đó pt (2) có dạng:
 
2
1


Biến đổi phương trình về dạng:
32
4.3 3.3 1 3
x x x
  

Với điều kiện (*) thì
0 3 1
x


Đặt
3
x
cost 
, với
0,
2
t







Khi đó pt (2) có dạng:
 
32



  

   





  


   




   
  





Ta có: 2
2

     

Vậy, pt có nghiệm

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ 1: Giải phương trình:
 
 
2
3 2 9 .3 9.2 0 1
x x x x
   

Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2
2 9 9.2 0
xx
tt   

2














Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
 
22
22
9 3 .3 2 2 0 1
xx
xx    

Đặt
2
3
x
t 
, điều kiện
1t 











Giải (2):
2
2
33
3 2 log 2 log 2
x
xx     

Giải (3)
2
2
31
x
x
, ta có nhận xét:
2
2
11
31
0

b. Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
2 3 2 2
. 3 . 2 . 0m t mt m t m    

   
3 2 2
3 1 2 0t t m t m t     

Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m, ta được:
   
2
2
1
1
2
2 0 2
1
m
t
t
m
t
f t mt t m

x
t
x
f t t t VN



     

   



Vây, với m = 2 pt có nghiệm b. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

phương trình (2) có 2 nghiệm phân
biệt dương khác
1
m
và m > 0
2
'
10
0
2
0
0













Vậy với 0 < m < 1 phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
 
2 3 1 3
4 2 2 16 0 1
x x x
   

Đặt
2
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
43
2 4 3
2 8 16 0
4 2 .4 2 0

t
x
t
  



     


  





  
      

  



Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình:
   
9 2 2 .3 2 5 0 1
xx
xx    


Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình:
 
2
3 3 5 5 1
xx
  

Đặt
3
x
t 
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
 
 
 
2
2
2
2
2 2 4
2
55
55
50
05
5 2 1 .5 1 0 2
55
tt

 
2
2
2
22
2
2
2 1 2 1
50
51
2
2 1 2 1 5 1
40
2
1 17
1 17 1 17
2
3 log
22
1 17
2
x
tt
u
t t l
t
t t t t
tt
u
tl

    









Vây, pt có nghiệm
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x     
  

Viết lại phương trình dưới dạng:
  
2 2 2 2
22
2
2
3 2 6 5 3 2 6 5



    

  




  








Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
22
5 6 1 6 5
2 2 2.2 1
x x x x   
  

Viết lại phương trình dưới dạng:
22
5 6 1 7 5
2 2 2 1

x
u
uv
v











Khi đó, pt tương đương với:
  
2
2
5 6 2
2
1
1
1 1 1 0
1
3
2 1 5 6 0
2
11
21









Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
2
2
2
3
2
21
2
9 3 3 1
xx
x
x


  

Đặt
2
2
3

2
2
2
21
43
93
33
33
xx
xx
x
xx
xx
u
v







   

Khi đó, pt tương đương với:
  
2
2
2
2

u v u v v
v
v
x
xx
x
x
x







       








  







Đặt
2
2
1
4
,0
2
xx
x
u
uv
v











Nhận xét rằng:
 
 
2
2
2 2 2

x
u
u v uv u v
v
x
xx
x
x
x




       







  

   







Khi đó, pt tương đương với:
  
3
8 3 24 3 8 0
8
3 3 1
3
28
x
x
u
u v uv u v
v
x
x


       













x
x
u
uv
v











Nhận xét rằng:
  
1 1 1 1
. 2 1 2 1 2 2 2
x x x x
uv u v
   
       

Khi đó, pt tương đương với hệ:
8 1 18 2
8 18
9
9

2 1 2
x
x
x











 Với
9
9
8
uv  
, ta được :
1
1
2 1 9
4
9
21
8
x
x

Đặt
6vu
, điều kiện
2
66v v u   

Khi đó, pt (2) tương đương với hệ:
    
2
22
2
6
10
6
10
uv
u v u v u v u v
vu
uv
uv



         







2
5 0 2 log
22
1 21
2
x
u
u u x
ul






       




Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
 
2
3 3 5 5 1
xx
  

uv



         








  


 Với u = -v , ta được:
 
2
3
1 21
1 21 1 21
2
5 0 3 log
22
1 21
2
x
u
u u x

ul






       






Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình:
 
3
1
27 2 3 3 2 1
xx
  

Đặt
3
x
u 
, điều kiện u >0
Khi đó, pt (1) tương đương với:
 

u v u v u v u uv v
v u v u
uv
uv
u uv v VN





           

   






  

   


 Thay u = v vào (3), ta được:
 
 
 
32
2